当前位置:首页 >> 数学 >>

新编各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学:4数列2

各地解析分类汇编:数列 2

1.【云南师大附中高三高考适应性月考卷(三)理科】(本小题满分12分)

已知数列{an}的前n项和为Sn,且有a1=2,3Sn= 5an ? 4an?1 ? 3Sn?1(n ? 2)

(I)求数列an的通项公式;

(Ⅱ)若 bn=n·an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn。

【答案】解:(Ⅰ) 3Sn

? 3Sn?1

? 5an

? 4an?1(n≥2) ,?an

?

2an?1

, an an?1

?

2

,………………(3

分)

又 a1 ? 2 ,?{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,……………………………(4 分)

?an ? 2 ? 2n?1 ? 2n . ……………………………………………………………………(5 分)

(Ⅱ) bn ? n ? 2n ,

Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? n ? 2n,

2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1 .……………………………………………(8 分)

两式相减得: ?Tn ? 21 ? 22 ? ? 2n ? n ? 2n?1 ,

??Tn

?

2(1 ? 1?

2n ) 2

?

n?

2n?1

?

(1 ?

n)

?

2n?1

?

2

,………………………………………(11

分)

?Tn ? 2 ? (n ?1) ? 2n?1 .…………………………………………………………………(12 分)

2.【云南省玉溪一中高三第四次月考理】(本题 12 分)在等差数列?an ?中,a1 ? 3 ,其前 n 项和为 Sn ,等

比数列 ?bn ?

的各项均为正数, b1

? 1 ,公比为 q ,且 b2

? S2

? 12 , q

?

S2 b2

.

(1)求

an

与 bn

;(2)设数列?cn? 满足 cn

?

1 Sn

,求?cn?的前 n

项和 Tn

.

【答案】解:(1)设?an ?的公差为 d .

因为

??b2 ? ??

? q

S ?

2? S2
b2

12, ,

所以

??q ? ??

? q

6?d ? ? 6?d
q

12, .

解得 q ? 3 或 q ? ?4 (舍), d ? 3.

故 an ? 3? 3?n ?1? ? 3n , bn ? 3n?1.

(2)由(1)可知,

Sn

?

n ?3 ? 3n?
2



所以 cn

?

1 Sn

?

2
n?3? 3n?

?

2?1 3 ?? n

?

1? n ?1??

.

故 Tn

?

2 3

??????1?

1 2

? ??

?

? ??

1 2

?

1 3

? ??

?

…?

? ??

1 n

?

1 ?? n ?1????

?

2 3

???1?

1? n ?1??

?

2n
3?n ?1?

3.【山东省实验中学高三第三次诊断性测试理】(本小题满分 12 分)已知单调递增的等比数列{an} 满足:

a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项。

(Ⅰ)求数列{an} 的通项公式;
(Ⅱ)若 bn ? an log 1 an, Sn ? b1 ? b2 ??? bn ,求 Sn ? n ? 2n?1 ? 50 成立的正整数 n 的最小值。
2
【答案】解:(Ⅰ)设等比数列?an?的首项为 a1 ,公比为 q,

依题意,有 (2 a3 ? 2) ? a2 ? a4 ,

代入 a2 ? a3 ? a4 ? 28, 得 a3 ? 8,?a2 ? a4 ? 20 …………………………2 分

?

??a1q ? a1q3

? ??a3

?

a1q 2

? 20 ?8

解之得

?q ? 2 ??a1 ?

或???q

?

1 2

??a1 ? 32

…………………………4 分

又 ?an?单调递增,?q ? 2,?a1 ? 2,?an ? 2n ………………………………6 分
(Ⅱ) bn ? 2n ? log 1 2n ? ?n ? 2n ,………………………………7 分
2
??sn ?1?2 ? 2?22 ? 3?23 ??? n?2n ①

??2sn ?1?22 ? 2?23 ? 3?24 ??? (n ?1)?2n ? n2n?1 ②

?①-②得 sn

?

2 ? 22

? 23

???

2n

?

n ? 2n?1

?

2(1? 2n ) 1? 2

? n ? 2n?1

?

2n?1

? n ? 2n?1

?2

?sn ? n ? 2n?1 ? 50 ,? 2n?1 ? 2 ? 50,? 2n?1 ? 52

又当n ? 4时,2n?1 ? 25 ? 32 ? 52 , …………………………11 分

10 分

当 n ? 5 时, 2n?1 ? 26 ? 64 ? 52 .故使 sn ? n? 2n?1 ? 50 ,成立的正整数 n 的最小值为 5. …

? ? 4.【山东省泰安市高三上学期期中考试数学理】已知等比数列 an 的前 n 项和为Sn ,若S1, 2S2 , 3S3 成等差

数列,且

S4

?

40 27

求数列?an? 的通项公式.

【答案】

5.【山东省潍坊市四县一区高三 11 月联考(理)】(本小题满分 12 分)

已知各项均为正数的数列

?an

?



n

项和为

S

n

,首项为

a1

,且

1 2

,

an

,

Sn

等差数列.

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

(Ⅱ)若 an2

?

( 1 )bn 2

,设 cn

?

bn an

,求数列?cn?的前 n

项和Tn .

【答案】解(1)由题意知 2an

?

Sn

?

1 2

, an

?

0



n

?1

时,

2a1

?

a1

?

1 2

? a1

?

1 2



n

?

2 时,

Sn

?

2an

?

1 2

, Sn?1

?

2an?1

?

1 2

………………1 分

两式相减得 an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2an?1 ………………3 分

整理得: an ? 2 ……………………4 分 an?1

∴数列

?an

?是以

1 2

为首项,2

为公比的等比数列.

an

?

a1

? 2n?1

?

1 2

? 2n?1

?

2n?2

……………………5



(2) an2 ? 2?bn ? 22n?4

∴ bn ? 4 ? 2n ,……………………6 分

Cn

?

bn an

?

4 ? 2n 2n?2

?

16 ? 8n 2n

Tn

?

8 2

?

0 22

?

?8 23

?

?

24 ? 8n 2n?1

?

16 ? 8n 2n



1 2

Tn

?

8 22

?

0 23

???

24 ? 8n 2n

?

16 ? 8n 2n?1



①-②得

1 2

Tn

?

4

?

8(

1 22

?

1 23

???

1 2n

)

?

16 ? 8n 2n?1

………………9 分

?

4

?8?

212(1 ? 1?

1
2n?1 1

)

?

16 ? 8n 2n?1

2

?

4

?

(4 1

?

1 2n?1

)

?

16 ? 8n 2n?1

?

4n 2n

.………………………………………………………11



?Tn

?

8n 2n

. …………………………………………………………………12



6.【山东省师大附中高三 12 月第三次模拟检测理】(本题满分 12 分)数列{an} 的前 n 项的和为 Sn ,对于任

意的自然数 an ? 0 , 4Sn ? ?an ?1?2

(Ⅰ)求证:数列{an} 是等差数列,并求通项公式

(Ⅱ)设 bn

?

an 3n

,求和 Tn

?

b1

? b2

?

? bn

【答案】解 :(1)令

------------------1 分

(2)

(2)-(1) --------------------------3 分
是等差数列 ------------------------5 分 ----------------------------6 分
---①---------------------8 分 ---②

①-②

----------10 分

所以

-------------------------------12 分

7.【山东省师大附中高三 12 月第三次模拟检测理】(本小题满分 12 分)已知{an } 是等比数列,公比 q ? 1 ,



n

项和为

Sn

,



S3 a2

?

7 2

,

a4

?

4,

数列{bn}满足 : bn

?

n

?

1 log2

an?1

,

(Ⅰ)求数列{an},{bn} 的通项公式;

(Ⅱ)设数列

{bn

bn?1

}

的前

n

项和为

Tn

,求证

1 3

? Tn

?

1 (n ? N*). 2

【答案】解 : (2)设

----------------4 分 -----------------------------------------5 分
-----------------------6 分 ------8 分

=

----------------------------10 分

因为

,所以

----------12 分

8.【山东省青岛市高三上学期期中考试理】(本小题满分 12 分)

设{an} 是公差大于零的等差数列,已知 a1 ? 2 , a3 ? a22 ?10 .

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式;

(Ⅱ)设{bn

}

是以函数

y

?

4

sin2

(?

x

?

1) 2

? 1 的最小正周期为首项,以

3

为公比的等比数列,求数列

?an ? bn? 的前 n 项和 Sn .

【答案】

9.【山东省青岛市高三上学期期中考试理】(本小题满分 13 分)
已知函数 f (x) ? ln x 的图象是曲线 C ,点 An (an , f (an ))(n? N* )是曲线 C 上的一系列点,曲线 C 在点

An (an , f (an ))处的切线与 y 轴交于点 Bn (0, bn ) . 若数列?bn? 是公差为 2 的等差数列,且 f (a1) ? 3 .

(Ⅰ)分别求出数列?an? 与数列?bn? 的通项公式;

? ? (Ⅱ)设 O 为坐标原点, Sn 表示 ?OAnBn 的面积,求数列 anSn 的前 n 项和 Tn .

【答案】解:(Ⅰ) f ?? x? ? 1 ,
x

? ? ?曲线 C 在点 An

an, f ?an ?

处的切线方程:

y

? ln

an

?

1 an

?x

?

an

?

令 x ? 0 ? y ? ln an ?1,

该切线与 y 轴交于点 Bn ?0,bn ? ,?bn ? ln an ?1………………………………………3 分

10.【山东省烟台市莱州一中 20l3 届高三第二次质量检测 (理)】(本小题满分 12 分)

已知?an? 是公差为 2 的等差数列,且 a3 ?1是a1 ?1与a7 ?1的等比中项.

(1)求数列?an? 的通项公式;

? ? (2)令 bn

?

an ?1 2n

n?N?

,求数列?bn? 的前 n 项和 Tn.

【答案】

11【. 天津市新华中学高三上学期第二次月考理】设数列{a n }的前 n 项和为 S n ,且满足 S n =2-a n ,n=1, 2,3,…

(1)求数列{a n }的通项公式;(4 分)

(2)若数列{b n }满足 b 1 =1,且 b n?1 =b n +a n ,求数列{b n }的通项公式;(6 分)

(3)设 C n =n(3- b n ),求数列{ C n }的前 n 项和 T n 。(6 分)

【答案】(1)a =S =1
11

n≥2 时,S n =2-a n

S n?1 =2-a n?1

a n =a n +a n?1

2a n =

a n ?1

∵a =1
1

an = 1 an?1 2

∴a

n

=(

1 2

)

n ?1

(2)b

n ?1

-b

n

=(

1 2

)

n ?1

1分

b2

?

b1

?

(1)0 2

? ? ?

b3

? b2

?

( 1 )1 2

? ? ?

bn

? bn?1

?

(

1 2

)

n

?2

? ??

∴b

n

-b 1

=(

1 2

)+……+(

1 2

)

n?2

=

1? 1 2 n ?1
1? 1

=2- 1 2n?2

2

∴b

n

=3-

1 2n?2

∵b 1 =1 成立

(3)C

n

=n(

1 2

)

n ?2

1分

T

n

=1×(

1 2

)

?1

+2(

1 2

)

0

+……+n(

1 2

)

n ?2

∴b

n

=3-(

1 2

)

n ?2

1

1 2

T

n

=1×(

1 2

) 0 +……+(n-1) (

1 2

)

n?2

+n(

1 2

)

1?
n?1 =2+

2 n ?1

1? 1

-n( 1 ) n?1 2

=2+2-( 1 ) n?2 -n( 1 ) n?1

2

2

2

∴T

n

=8-

1 2 n?3

-n 2n?2

=8- n ? 2 2n?2

12.【北京市东城区普通校高三 12 月联考数学(理)】(本小题满分 13 分)

已知:数列?an ?的前 n 项和为 S n ,且满足 Sn ? 2an ? n , (n ? N * ) .

(Ⅰ)求: a1 , a2 的值;
(Ⅱ)求:数列?an ?的通项公式;

(Ⅲ)若数列 ?bn ?的前 n 项和为Tn ,且满足 bn ? nan (n ? N * ) ,求数列?bn ?的

前 n 项和Tn .

【答案】

解:(Ⅰ) Sn ? 2an ? n

令 n ? 1 ,解得 a1 ? 1 ;令 n ? 2 ,解得 a2 ? 3

……………2 分

(Ⅱ) Sn ? 2an ? n

所以 Sn?1 ? 2an?1 ? (n ? 1) ,( n ? 2, n ? N * )

两式相减得 an ? 2an?1 ? 1

……………4 分

所以 an ? 1 ? 2(an?1 ? 1) ,( n ? 2, n ? N * )

……………5 分

又因为 a1 ? 1 ? 2
所以数列?an ? 1?是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列 ……………6 分

所以 an ? 1 ? 2n ,即通项公式 an ? 2n ? 1 ( n ? N * ) ……………7 分

(Ⅲ) bn ? nan ,所以 bn ? n(2n ? 1) ? n ? 2n ? n

所以Tn ? (1? 21 ?1) ? (2 ? 22 ? 2) ? (3 ? 23 ? 3) ? ? ? (n ? 2n ? n)

Tn ? (1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ……9 分

令 Sn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n ①

2Sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1 ②
①-②得

? Sn ? 21 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n ? 2n?1

? Sn

?

2(1 ? 2n ) 1? 2

? n ? 2n?1

……………11 分

Sn ? 2(1 ? 2n ) ? n ? 2n?1 ? 2 ? (n ? 1) ? 2n?1

……………12 分

所以 Tn

?

2 ? (n

?1) ? 2n?1

?

n(n ?1) 2

……13 分

13.【 北京四中高三上学期期中测验数学(理)】(本小题满分 13 分)

设等差数列 (1)若

的首项 及公差 d 都为整数,前 n 项和为 Sn. ,求数列 的通项公式;

(2)若

求所有可能的数列 的通项公式.

【答案】 (Ⅰ)由



故解得

因此, 的通项公式是

1,2,3,…,

(Ⅱ)由



即 由①+②得-7d<11,即

由①+③得

,即

,

于是

将 4 代入①②得



,故



,故

.

所以,所有可能的数列 的通项公式是

1,2,3,…. 14.【 北京四中高三上学期期中测验数学(理)】(本小题满分 14 分)

已知函数

( 为自然对数的底数).

(1)求

的最小值;

(2)设不等式 围

的解集为 ,若

,且

,求实数 的取值范

(3)已知

,且

,是否存在等差数列 和首项为 公比大于 0 的等比

数列 ,使得 【答案】 (1)


?若存在,请求出数列

的通项公式.若不存在,请说明理由.



;当

(2) 由 令 又

, 有解 即
上减,在[1,2]上增 ,且

上有解 ,

(3)设存在公差为 的等差数列 和公比

首项为 的等比数列 ,使

……10 分



时,

故 ②-①×2 得,

解得



,此时

(舍)

满足

存在满足条件的数列

…… 14 分

15.【 北京四中高三上学期期中测验数学(理)】(本小题满分 14 分)

已知 A( , ),B( , )是函数

的图象上的任意两点(可以重合),点 M 在

直线

上,且

.

(1)求 + 的值及 + 的值

(2)已知

,当

时,

+

+

+

,求 ;

(3)在(2)的条件下,设 = , 为数列{ }的前 项和,若存在正整数 、 ,

使得不等式

成立,求 和 的值.

【答案】 (Ⅰ)∵点 M 在直线 x= 上,设 M

.

又 = ,即



∴ + =1.

① 当 = 时, = , + =

②当

时,



, ;

+=

+

=

=

=

综合①②得, +

.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 + =1 时, +



,k=

.

n≥2 时,

+

+

+





①+②得,2 =-2(n-1),则 =1-n.

当 n=1 时, =0 满足 =1-n. ∴ =1-n.

(Ⅲ) = = , =1+ +

=

.

① ②

.

=2- , ∴

=

-2+ =2- ,

, 、m 为正整数,∴c=1,

当 c=1 时,



∴1< <3, ∴m=1.
16.【 山东省滨州市滨城区一中高三 11 月质检数学理】(本题满分 12 分)已知数列 ?an ?满足 a1 ? 3 ,
an ? an?1 ? 2an?1 ? 1

(1)求 a2 , a3 , a4 ;

(2)求证:数列

? ? ?

1 an ?

? 1??

是等差数列,并求出

?an

?

的通项公式。

【答案】(1)? an ? an?1 ? 2an?1 ?1, 又a1 ? 3

∴ a2

?

5 3

,

a3

?

7 5

,

a4

?

9 7

___________________________3



(2)证明:易知 an?1

?

0 ,所以 an

?

2?

1 an?1

_____________________4 分

当 n ? 2时, 1 ? 1 ?

1

?1

an ? 1 an?1 ? 1 (2 ? 1 ) ? 1 an?1 ? 1

an?1

? 1?1 1 ? 1 an?1 ? 1 a n ?1

= an?1 ? 1 an?1 ? 1 an?1 ? 1
=1

所以

? ? ?

a

1 n?

1???是以

1 a1 ?

为首项以1为公差的等差数列__________8 1



(3)由(2)知 1 ? 1 ? (n ?1) ?1 ? n ? 1 __________________10 分

an ?1 2

2

所以 an

?

2 ?1? 2n ?1

2n ? 1 __________________________12 2n ?1



17.【山东省济南外国语学校高三上学期期中考试 理科】(本小题满分 12 分)在数列 ?an ?中,已知

a1

?

1, 4

an?1 an

?

1 4

,

bn

?

2

? 3log 1
4

an (n ? N *) .

(Ⅰ)求数列?an ?的通项公式;

(Ⅱ)求证:数列 ?bn ?是等差数列;

(Ⅲ)设数列?cn ?满足 cn ? an ? bn ,求?cn ?的前 n 项和 Sn .
【答案】解:(Ⅰ)∵ an?1 ? 1 an 4

∴数列{

an

}是首项为

1 4

,公比为

1 4

的等比数列,



an

?

(1)n (n ? 4

N*)

.…………………………………………………………………………3



(Ⅱ)∵ bn ? 3log 1 an ? 2 ………………………………………………………………… 4 分
4



bn

?

3log 1

(1)n 4

?

2

?

3n

?

2

.……………………………………………………………

5分

2

∴ b1 ? 1,公差 d=3 ∴数列{bn}是首项 b1 ? 1,公差 d ? 3 的等差数列.…………………………………………7 分

(Ⅲ)由(Ⅰ)知,

an

?

(1)n 4

, bn

?

3n ? 2 (n? N * )



cn

?

(3n ?

2) ? ( 1 )n , (n ? 4

N*)

.………………………………………………………………8





Sn

? 1?

1 4

?

4?(1)2 4

?

7 ? ( 1 )3 4

? ?? (3n ? 5) ? ( 1 )n?1 4

? (3n ? 2) ? ( 1 )n 4





于是

1 4

Sn

? 1? (1 )2 4

?

4 ? ( 1 )3 4

? 7?(1)4 4

? ?? (3n ? 5) ? ( 1 )n 4

? (3n

?

2) ? ( 1 )n?1 4



…………………………………………………………………………………………… 9 分

两式①-②相减得

3 4

Sn

?

1 4

? 3[(1 )2 4

?

( 1 )3 4

???

( 1 )n ] ? 4

(3n

?

2) ? ( 1 )n?1 4

= 1 ? (3n ? 2) ? ( 1 )n?1 .………………………………………………………………………11 分

2

4



Sn

?

2 3

? 12n ? 8 3

? ( 1 )n?1(n ? 4

N*) .………………………………………………………12




相关文章:
2019年各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学:4数列2.doc
2019年各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学:4数列2 - 高考数学精品复习
...各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学:4数列2.doc.doc
(2019 备考)各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学:4 数列 2 1.【云
...各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学:4数列2.doc
【最新资料】各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学:4数列2 - 最新高考数学复
...各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学:4数列2.doc
【2013备考】各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学:4数列2 - 各地解析分
【2013备考】各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学4数列2.doc
【2013备考】各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学4数列2 - 各地解析分类
...各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学:4数列1.doc_....doc
(2019备考)各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学:4数列1.doc_数学_
【2013备考】高考数学各地名校试题解析分类汇编(一)4数列2.doc
【2013备考】高考数学各地名校试题解析分类汇编(一)4数列2 - 各地解析分类汇编:数列 2 1.【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(三)理科】(本小题满分 ...
2019年各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学:4数列1.doc
2019年各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学:4数列1 - 高考数学精品复习
高考数学各地名校试题解析分类汇编(一)4 数列2 文.doc
高考数学各地名校试题解析分类汇编(一)4 数列2 文 - 各地解析分类汇编:数列(2) 1 【天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考文】等差 ...
新编各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学:2函数2.doc
新编各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学:2函数2 - 各地解析分类汇编:函数
新编各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学:2函数1.doc
新编各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学:2函数1 - 各地解析分类汇编:函数
新编各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学:1集合.doc
新编各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学:1集合 - 各地解析分类汇编:集合与简易逻辑 1【云南省玉溪一中高三第四次月考理】已知 p :“ a,b, c 成等比数列...
【2013备考】各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学:2....doc
【2013备考】各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学:2函数2 - 各地解析分
【2013备考】高考数学各地名校试题解析分类汇编(一)4数....doc
【2013备考】高考数学各地名校试题解析分类汇编(一)4数列1 - 各地解析分类
...高考数学各地名校试题解析分类汇编(一)4 数列2 理.doc
无锡新领航教育特供:【2013备考】高考数学各地名校试题解析分类汇编(一)4 数列2 理_专业资料。小升初 中高考 高二会考 艺考生文化课 一对一辅导 无锡新领航教育...
...高考数学各地名校试题解析分类汇编(一)4 数列2 文.doc
无锡新领航教育特供:【2013备考】高考数学各地名校试题解析分类汇编(一)4 数列2 文 - 小升初 中高考 高二会考 艺考生文化课 一对一辅导 无锡新领航教育特供: ...
新编各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学:6平面向量.doc
新编各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学:6平面向量 - 各地解析分类汇编:平
...高考数学各地名校试题解析分类汇编(一)4 数列1 理.doc
无锡新领航教育特供:【2013备考】高考数学各地名校试题解析分类汇编(一)4 数列1 理 - 小升初 中高考 高二会考 艺考生文化课 一对一辅导 无锡新领航教育特供: ...
【2013备考】各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学4数列1.doc
【2013备考】各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学4数列1 - 各地解析分类
【2013备考】高考数学各地名校试题解析分类汇编(一)4 ....pdf
【2013备考】高考数学各地名校试题解析分类汇编(一)4 数列海峰 - 各地解析分类汇编:数列2 1.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷(三)理科】(本小题 满分...
更多相关标签: