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立体几何中的探索性问题


立体几何中的探索性问题 一、探索平行关系 1.[2016· 枣强中学模拟] 如图所示,在正四棱柱 A1C 中,E,F,G,H 分别是棱 CC1, C1D1,D1D,DC 的中点,N 是 BC 的中点,点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动,则 M 只需 满足条件________,就有 MN∥平面 B1BDD1.(注:请填上一个你认为正确的条件,不必考虑 全部可能的情况) 答案: M 位于线段 FH 上(答案不唯一) [解析] 连接 HN, FH, FN, 则 FH∥DD1, HN∥BD, FH∩HN=H,DD1∩BD=D,∴平面 FHN∥平面 B1BDD1,故只要 M∈FH,则 MN?平面 FHN,且 MN∥平面 B1BDD1. 2.如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的中点. (1)求直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的角的正弦值; (2)在棱 C1D1 上是否存在一点 F,使 B1F∥平面 A1BE?证明你的结论. 解: (1)如图所示, 取 AA1 的中点 M, 连接 EM, BM.因为 E 是 DD1 的中点, 四边形 ADD1A1 为正方形,所以 EM∥AD.(2 分) 又在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,AD⊥平面 ABB1A1, 所以 EM⊥平面 ABB1A1, 从而 BM 为直线 BE 在平面 ABB1A1 上的射影, ∠EBM 为 BE 和 平面 ABB1A1 所成的角.(4 分) 设正方体的棱长为 2, 则 EM=AD=2,BE= 22+22+12=3. EM 2 于是,在 Rt△BEM 中,sin∠EBM= = ,(5 分) BE 3 2 即直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的角的正弦值为 .(6 分) 3 (2)在棱 C1D1 上存在点 F,使 B1F∥平面 A1BE. 事实上,如图(b)所示,分别取 C1D1 和 CD 的中点 F,G,连接 B1F,EG,BG,CD1, FG. 因 A1D1∥B1C1∥BC,且 A1D1= BC,所以四边形 A1BCD1 是平行四边形, 因此 D1C∥A1B. 又 E,G 分别为 D1D,CD 的中点, 所以 EG∥D1C,从而 EG∥A1B. 这说明 A1,B,G,E 四点共面.所以 BG?平面 A1BE. (8 分) 因四边形 C1CDD1 与 B1BCC1 皆为正方形,F,G 分别为 C1D1 和 CD 的中点, 所以 FG∥C1C∥B1B,且 FG=C1C=B1B, 因此四边形 B1BGF 是平行四边形,所以 B1F∥BG, (10 分) 而 B1F?平面 A1BE,BG?平面 A1BE, 故 B1F∥平面 A1BE.(12 分) 3.如图,四棱锥 PABCD 中,PD⊥平面 ABCD,底面 ABCD 为矩形,PD=DC=4, AD=2,E 为 PC 的中点. (1)求三棱锥 APDE 的体积; (2)AC 边上是否存在一点 M,使得 PA∥平面 EDM?若存在,求出 AM 的长;若不存在, 请说明理由. 解析:(1)∵PD⊥平面 ABCD,∴PD⊥AD. 又∵ABCD 是矩形, ∴AD⊥CD. ∵PD∩CD=D, ∴AD⊥平面 PCD, ∴AD 是三棱锥 APDE 的高. ∵E 为 PC 的中点,且 PD=DC=4, 1 1 1 ×4×4?=4. ∴S△PDE= S△PDC= ×? ? 2 2 ?2 又 AD=2, 1 1 8 ∴VA-PDE= AD· S△PDE= ×2×4= . 3 3 3 (2)取 AC

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