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立体几何中的探索性问题

立体几何中的探索性问题 一、探索平行关系 1.[2016· 枣强中学模拟] 如图所示,在正四棱柱 A1C 中,E,F,G,H 分别是棱 CC1, C1D1,D1D,DC 的中点,N 是 BC 的中点,点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动,则 M 只需 满足条件________,就有 MN∥平面 B1BDD1.(注:请填上一个你认为正确的条件,不必考虑 全部可能的情况) 答案: M 位于线段 FH 上(答案不唯一) [解析] 连接 HN, FH, FN, 则 FH∥DD1, HN∥BD, FH∩HN=H,DD1∩BD=D,∴平面 FHN∥平面 B1BDD1,故只要 M∈FH,则 MN?平面 FHN,且 MN∥平面 B1BDD1. 2.如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的中点. (1)求直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的角的正弦值; (2)在棱 C1D1 上是否存在一点 F,使 B1F∥平面 A1BE?证明你的结论. 解: (1)如图所示, 取 AA1 的中点 M, 连接 EM, BM.因为 E 是 DD1 的中点, 四边形 ADD1A1 为正方形,所以 EM∥AD.(2 分) 又在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,AD⊥平面 ABB1A1, 所以 EM⊥平面 ABB1A1, 从而 BM 为直线 BE 在平面 ABB1A1 上的射影, ∠EBM 为 BE 和 平面 ABB1A1 所成的角.(4 分) 设正方体的棱长为 2, 则 EM=AD=2,BE= 22+22+12=3. EM 2 于是,在 Rt△BEM 中,sin∠EBM= = ,(5 分) BE 3 2 即直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的角的正弦值为 .(6 分) 3 (2)在棱 C1D1 上存在点 F,使 B1F∥平面 A1BE. 事实上,如图(b)所示,分别取 C1D1 和 CD 的中点 F,G,连接 B1F,EG,BG,CD1, FG. 因 A1D1∥B1C1∥BC,且 A1D1= BC,所以四边形 A1BCD1 是平行四边形, 因此 D1C∥A1B. 又 E,G 分别为 D1D,CD 的中点, 所以 EG∥D1C,从而 EG∥A1B. 这说明 A1,B,G,E 四点共面.所以 BG?平面 A1BE. (8 分) 因四边形 C1CDD1 与 B1BCC1 皆为正方形,F,G 分别为 C1D1 和 CD 的中点, 所以 FG∥C1C∥B1B,且 FG=C1C=B1B, 因此四边形 B1BGF 是平行四边形,所以 B1F∥BG, (10 分) 而 B1F?平面 A1BE,BG?平面 A1BE, 故 B1F∥平面 A1BE.(12 分) 3.如图,四棱锥 PABCD 中,PD⊥平面 ABCD,底面 ABCD 为矩形,PD=DC=4, AD=2,E 为 PC 的中点. (1)求三棱锥 APDE 的体积; (2)AC 边上是否存在一点 M,使得 PA∥平面 EDM?若存在,求出 AM 的长;若不存在, 请说明理由. 解析:(1)∵PD⊥平面 ABCD,∴PD⊥AD. 又∵ABCD 是矩形, ∴AD⊥CD. ∵PD∩CD=D, ∴AD⊥平面 PCD, ∴AD 是三棱锥 APDE 的高. ∵E 为 PC 的中点,且 PD=DC=4, 1 1 1 ×4×4?=4. ∴S△PDE= S△PDC= ×? ? 2 2 ?2 又 AD=2, 1 1 8 ∴VA-PDE= AD· S△PDE= ×2×4= . 3 3 3 (2)取 AC 中点 M,连接 EM,DM,∵E 为 PC 的中点,M 是 AC 的中点,∴EM∥PA. 又∵EM?平面 EDM,PA?平面 EDM, ∴PA∥平面 EDM. 1 ∴AM= AC= 5. 2 即在 AC 边上存在一点 M,使得 PA∥平面 EDM,AM 的长为 5. 4.如图所示,在三棱锥 P -ABC 中,点 D,E 分别为 PB,BC 的中点.在线段 AC 上是否存 AF 在点 F,使得 AD∥平面 PEF?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由. FC 解:假设在 AC 上存在点 F,使得 AD∥平面 PEF, 连接 DC 交 PE 于 G,连接 FG,如图所示. ∵AD∥平面 PEF,平面 ADC∩平面 PEF=FG, ∴AD∥FG. AF DG 1 又∵点 D,E 分别为 PB,BC 的中点,∴G 为△PBC 的重心,∴ = = .故在线段 AC FC GC 2 AF 1 上存在点 F,使得 AD∥平面 PEF,且 = . FC 2 5.[2016· 北京卷] 如图,在四棱锥 P ABCD 中,PC⊥平面 ABCD,AB∥DC,DC⊥AC. (1)求证:DC⊥平面 PAC. (2)求证:平面 PAB⊥平面 PAC. (3)设点 E 为 AB 的中点,在棱 PB 上是否存在点 F,使得 PA∥平面 CEF?说明理由. 解:(1)证明:因为 PC⊥平面 ABCD, 所以 PC⊥DC. 又因为 DC⊥AC, 所以 DC⊥平面 PAC. (2)证明:因为 AB∥DC,DC⊥AC, 所以 AB⊥AC. 因为 PC⊥平面 ABCD, 所以 PC⊥AB, 所以 AB⊥平面 PAC, 所以平面 PAB⊥平面 PAC. (3)棱 PB 上存在点 F,使得 PA∥平面 CEF.证明如下: 取 PB 的中点 F,连接 EF,CE,CF. 因为 E 为 AB 的中点, 所以 EF∥PA. 又因为 PA?平面 CEF, 所以 PA∥平面 CEF. 6. [2016· 四川卷] 如图, 在四棱锥 P ABCD 中, PA⊥CD, AD∥BC, ∠ADC=∠PAB=90°, 1 BC=CD= AD. 2 (1)在平面 PAD 内找一点 M,使得直线 CM∥平面 PAB,并说明理由; (2)证明:平面 PAB⊥平面 PBD. 解:(1)取棱 AD 的中点 M(M∈平面 P

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