高中数学教案——正弦定理、余弦定理 第三课时

课 题:正弦定理、余弦定理(3) 教学目的: 1 进一步熟悉正、余弦定理内容;? 2 能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化;? 3 能够利用正、余弦定理判断三角形的形状;? 4 能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式 ? 教学重点:利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向 教学难点:三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求 ? 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学方法:启发引导式? 1 启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时,要注意正弦定理、余弦 定理的适用题型与所证结论的联系,并注意特殊正、余弦关系的应用,比如互 补角的正弦值相等,互补角的余弦值互为相反数等;? 2 引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断,重在发挥正、 余弦定理的边角互换作用 教学过程: 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 一、复习引入: 正弦定理: a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C 余弦定理: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A, ? cos A ? b2 ? c2 ? a2 2bc c2 ? a2 ? b2 2ca b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B, ? cos B ? a2 ? b2 ? c2 c ? a ? b ? 2ab cosC , ? cosC ? 2ab 2 2 2 二、讲授新课: 1 正余弦定理的边角互换功能? 对于正、余弦定理,同学们已经开始熟悉,在解三角形的问题中常会用到 它 其实,在涉及到三角形的其他问题中,也常会用到它们 两个定理的特殊功能 是边角互换,即利用它们可以把边的关系转化为角的关系,也可以把角的关系 转化为边的关系,从而使许多问题得以解决 ? 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 三人行,必有我师 例 1 已知 a、 b 为△ABC 的边, A、 B 分别是 a、 b 的对角, 且 的值 王新敞 奎屯 新疆 sin A 2 A? B ? , 求 sin B 3 B a b sin A a sin A 3 ? ,? ? ,又 ? (这是角的关系), sin A sin B sin B b sin B 2 a 3 a ?b 3? 2 5 ? ? . ∴ ? (这是边的关系) 于是,由合比定理得 b 2 b 2 2 解:∵ 王新敞 奎屯 新疆 例 2 已知△ABC 中,三边 a、b、c 所对的角分别是 A、B、C,且 a、b、c 成等差 数列 求证:sinA+sinC=2sinB 证明:∵a、b、c 成等差数列, ∴a+c=2b(这是边的关系)①? 王新敞 奎屯 新疆 a b c b sin A ? ? ,? a ? ② sin A sin B sin C sin B b sin C c? ③ sin B b sin A b sin C ? ? 2b 整理得 sinA+sinC=2sinB(这 将②、③代入①,得 sin B sin B 又 是角的关系) 2 正、余弦定理的巧用? 某些三角习题的化简和求解,若能巧用正、余弦定理,则可避免许多繁杂 的运算,从而使问题较轻松地获得解决,现举例说明如下: 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 例 3 求 sin 20°+cos 80°+ 3 sin20°cos80°的值 2 2 2 2 王新敞 奎屯 新疆 解:原式=sin 20°+sin 10°-2sin20°sin10°cos150° ∵20°+10°+150°=180°,? ∴20°、10°、150°可看作一个三角形的三个内角 ? 设这三个内角所对的边依次是 a、 b、 c, 由余弦定理得: a2+b2-2abcos150° 2 =c (※)? 而由正弦定理知:a=2Rsin20°,b=2Rsin10°,c=2Rsin150°,代 入(※)式得: 王新敞 奎屯 新疆 sin 20°+sin 10°-2sin20°sin10°cos150°=sin 150°= ∴原式= 2 2 2 1 4 1 4 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 例 4 在△ABC 中,三边长为连续的自然数,且最大角是最小角的 2 倍,求此三 角形的三边长 ( sin 2? ? 2 sin ? cos ? )? 分析:由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系,故需利用正弦定理建 三人行,必有我师 立边角关系 其中 sin 2? ? 2 sin ? cos ? 利用正弦二倍角展开后出现了 cosα , 可继续利用余弦定理建立关于边长的方程,从而达到求边长的目的 ? * 解:设三角形的三边长分别为x,x+1,x+2,其中x∈N ,又设最小 角为α ,则? 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 x x?2 x?2 ? ? sin ? sin 2? 2 sin ? ? cos ? 2 2 ,? cos ? ? 2 x?2 ① 2x 又由余弦定理可得x =(x+1) +(x+2) -2(x+1) (x+2)cosα ? 2 将①代入②整理得:x -3x-4=0 ? 解之得x1=4,x2=-1(舍)? 所以此三角形三边长为 4,5,6 ? 评述: 此题所求为边长,故需利用正、余弦定理向边转化,从而建立关于 边长的方程 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 例 5 已知三角形的一个角为 60°,面积为 10 3 cm ,周长为 20cm,求此三 2 角形的各边长 分析:此题所给的题设条件除一个角外,面积、周长都不是构成三角形的 基本元素,但是都与三角形的边长有关系,故可以设出边长,利用所给条件建

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