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课 题：正弦定理、余弦定理（3） 教学目的： 1 进一步熟悉正、余弦定理内容；? 2 能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；? 3 能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；? 4 能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式 ? 教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向 教学难点:三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求 ? 授课类型：新授课 课时安排：1 课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学方法：启发引导式? 1 启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦 定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互 补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；? 2 引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、 余弦定理的边角互换作用 教学过程： 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 一、复习引入： 正弦定理： a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C 余弦定理： a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A, ? cos A ? b2 ? c2 ? a2 2bc c2 ? a2 ? b2 2ca b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B, ? cos B ? a2 ? b2 ? c2 c ? a ? b ? 2ab cosC ， ? cosC ? 2ab 2 2 2 二、讲授新课： 1 正余弦定理的边角互换功能? 对于正、余弦定理，同学们已经开始熟悉，在解三角形的问题中常会用到 它 其实，在涉及到三角形的其他问题中，也常会用到它们 两个定理的特殊功能 是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系 转化为边的关系，从而使许多问题得以解决 ? 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 三人行，必有我师 例 1 已知 a、 b 为△ABC 的边， A、 B 分别是 a、 b 的对角， 且 的值 王新敞 奎屯 新疆 sin A 2 A? B ? ， 求 sin B 3 B a b sin A a sin A 3 ? ,? ? ,又 ? (这是角的关系)， sin A sin B sin B b sin B 2 a 3 a ?b 3? 2 5 ? ? . ∴ ? (这是边的关系) 于是，由合比定理得 b 2 b 2 2 解：∵ 王新敞 奎屯 新疆 例 2 已知△ABC 中，三边 a、b、c 所对的角分别是 A、B、C，且 a、b、c 成等差 数列 求证：sinA＋sinC＝2sinB 证明：∵a、b、c 成等差数列， ∴a＋c＝2b(这是边的关系)①? 王新敞 奎屯 新疆 a b c b sin A ? ? ,? a ? ② sin A sin B sin C sin B b sin C c? ③ sin B b sin A b sin C ? ? 2b 整理得 sinA＋sinC＝2sinB(这 将②、③代入①，得 sin B sin B 又 是角的关系) 2 正、余弦定理的巧用? 某些三角习题的化简和求解，若能巧用正、余弦定理，则可避免许多繁杂 的运算，从而使问题较轻松地获得解决，现举例说明如下： 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 例 3 求 sin 20°＋cos 80°＋ 3 sin20°cos80°的值 2 2 2 2 王新敞 奎屯 新疆 解：原式＝sin 20°＋sin 10°－2sin20°sin10°cos150° ∵20°＋10°＋150°＝180°，? ∴20°、10°、150°可看作一个三角形的三个内角 ? 设这三个内角所对的边依次是 a、 b、 c， 由余弦定理得： a2＋b2－2abcos150° 2 ＝c （※）? 而由正弦定理知：a＝2Ｒsin20°，b＝2Ｒsin10°，c＝2Ｒsin150°，代 入(※)式得： 王新敞 奎屯 新疆 sin 20°＋sin 10°－2sin20°sin10°cos150°＝sin 150°＝ ∴原式＝ 2 2 2 1 4 1 4 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 例 4 在△ABC 中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的 2 倍，求此三 角形的三边长 ( sin 2? ? 2 sin ? cos ? )? 分析：由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系，故需利用正弦定理建 三人行，必有我师 立边角关系 其中 sin 2? ? 2 sin ? cos ? 利用正弦二倍角展开后出现了 cosα ， 可继续利用余弦定理建立关于边长的方程，从而达到求边长的目的 ? * 解：设三角形的三边长分别为ｘ，ｘ＋1，ｘ＋2，其中ｘ∈Ｎ ，又设最小 角为α ，则? 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 x x?2 x?2 ? ? sin ? sin 2? 2 sin ? ? cos ? 2 2 ,? cos ? ? 2 x?2 ① 2x 又由余弦定理可得ｘ ＝（ｘ＋1） ＋（ｘ＋2） －2（ｘ＋1） （ｘ＋2）cosα ? 2 将①代入②整理得：ｘ －3ｘ－4＝0 ? 解之得ｘ1＝4，ｘ2＝－1(舍)? 所以此三角形三边长为 4，5，6 ? 评述： 此题所求为边长，故需利用正、余弦定理向边转化，从而建立关于 边长的方程 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 例 5 已知三角形的一个角为 60°，面积为 10 3 cｍ ，周长为 20cｍ，求此三 2 角形的各边长 分析：此题所给的题设条件除一个角外，面积、周长都不是构成三角形的 基本元素，但是都与三角形的边长有关系，故可以设出边长，利用所给条件建

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