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3.2.1几个常用函数导数

3. 2.1 几个常用函数导数 课前预习学案 (预习教材 P88~ P89,找出疑惑之处) 复习 1:导数的几何意义是:曲线 y ? f ( x) 上点( x0 , f ( x0 ) )处的切线的斜率.因此,如果 y ? f ( x) 在点 x0 可导,则曲线 y ? f ( x) 在点( x0 , f ( x0 ) )处的切线方程为 复习 2:求函数 y ? f ( x) 的导数的一般方法: (1)求函数的改变量 ?y ? ?y (2)求平均变化率 ? ?x (3)取极限,得导数 y / = f ?( x) ? lim = ?y ?x ?0 ?x 上课学案 学习目标 1 记住四个公式,会公式的证明过程; 2.学会利用公式,求一些函数的导数; 3.知道变化率的概念,解决一些物理上的简单问题. 学习重难点:会利用公式求函数导数,公式的证明过程 学习过程 合作探究 探究任务一:函数 y ? f ( x) ? c 的导数. 问题:如何求函数 y ? f ( x) ? c 的导数 新知: y ? ? 0 表示函数 y ? c 图象上每一点处的切线斜率为 . 若 y ? c 表示路 程关于时间的函数,则 y ? ? ,可以解释为 即一直处于静止状态. 试试: 求函数 y ? f ( x) ? x 的导数 反思: y ? ? 1 表示函数 y ? x 图象上每一点处的切线斜率为 . 若 y ? x 表示路程关于时间的函数,则 y ? ? ,可以解释为 探究任务二:在同 一平面直角坐标系中,画出函数 y ? 2 x, y ? 3x, y ? 4 x 的图象,并根据导数 定义,求它们的导数. (1)从图象上看,它们的导数分别表示什么? (2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一个增加得最慢? (3)函数 y ? kx(k ? 0) 增(减)的快慢与什么有关? 典型例题 例 1 求函数 y ? f ( x) ? 1 的导数 x 1 1 ? ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) x ? ?x x 解析:因为 ? ? ?x ?x ?x ? x ? ( x ? ?x) 1 ?? 2 x( x ? ?x)?x x ? x ? ?x 所以 y? ? lim ?y 1 1 ? lim (? 2 )?? 2 ?x ? 0 ?x ?x ? 0 x ? x ? ?x x 函数 导数 y? 1 x y? ? ? 1 x2 例 2 求函数 y ? f ( x) ? x2 的导数 解析:因为 ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ( x ? ?x)2 ? x 2 ? ? ?x ?x ?x x 2 ? 2 x?x ? (?x)2 ? x 2 ? 2 x ? ?x ?x ?y ? lim (2 x ? ?x) ? 2 x ?x ?x?0 函数 导数 ? 所以 y? ? lim ?x ?0 y ? x2 y? ? 2 x y? ? 2 x 表示函数 y ? x2 图像(图 3.2-3)上点 ( x , y) 处的切线的斜率都为 2 x ,说明随着 x 的变化, 切线的斜率也在变化. 另一方面, 从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看, 表明: 当 x ? 0 时,随着 x 的增加,函数 y ? x2 减少得越来越慢;当 x ? 0 时,随着 x 的增加,函 数 y ? x2 增加得越来越快. 若 y ? x2 表示路程关于时间的函数, 则 y? ? 2 x 可以解释为某物 体做变速运动,它在时刻 x 的瞬时速度为 2 x . 有效训练 练 1. 求曲线 y ? 2 x2 ? 1 的斜率等于 4 的切线方程. 练 2. 求函数 y ? f ( x) ? x 的导数 反思总结 1. 利 用 定 义 求 导 法 是 最 基 本 的 方 法 , 必 须 熟 记 求 导 的 三 个 步 骤: , , . 2. 利用导数求切线方程时,一定要判断所给点是否为切点,一定要记住它们的求法是不同 的. 当堂检测 1. f ( x) ? 0 的导数是( ) A.0 B.1 C.不存在 D.不确定 2 2.已知 f ( x) ? x ,则 f ?(3) ? ( ) A.0 B.2 x C.6 D.9 3. 在曲线 y ? x 2 上的切线的倾斜 角为 A. (0, 0) 4. 过曲线 y ? B. (2, 4) ? 的点为( 4 1 1 1 1 C. ( , ) D. ( , ) 4 16 2 4 ) 1 上点 (1,1) 且与过这点的切线平行的直线方程是 x 5. 物体的运动方程为 s ? t 3 ,则物体在 t ? 1 时的速度为 为 . ,在 t ? 4 时的速度 课后练习学案 1. 已知圆面积 S ? ? r 2 ,根据导数定义求 S ?(r ) . 2. 氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有 500 克氡气,那么 t 天后, 氡气的剩余量为 A(t ) ? 500 ? 0.834t ,问氡气的散发速度是多少 ? 3.2.1 几个常用函数导数(教案) 教学目标: 1、能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式; 2、能利用导数公式求简单函数的导数。 教学重难点: 能利用导数公式求简单函数的导数,基本初等函数的导数公式的应用 教学过程: 检查预习情况:见学案 目标展示: 见学案 合作探究: 探究任务一:函数 y ? f ( x) ? c 的导数. 问题:如何求函数 y ? f ( x) ? c 的导数 新知: y ? ? 0 表示函数 y ? c 图象上每一点处的切线斜率为 . 若 y ? c 表示路程关于时间的函数,则 y ? ? ,可以解释为 即一直处于静止状态. 试试: 求函数 y ? f ( x) ? x 的导数 反思: y ? ? 1 表示函数 y ? x 图象上每一点处的切线斜率为 . 若 y ? x 表示路程关于时间的函数,则 y ? ? ,可

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