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西安一中高二年级上学期期末考试理科数学试题(含答案)

高二数学理科(选修 2-2)试题(卷)
一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.函数 y ? x 2 在点 x ? 1 处的导数是( A.0 2.曲线 y ? B.1 ) C. 2 ) D.3

1 7 ? x 上一点 P ( 4,? ) 处的切线方程是( x 4

A 5 x ? 16 y ? 8 ? 0

B. 5 x ? 16 y ? 8 ? 0 )

C. 5 x ? 16 y ? 8 ? 0 D. 5 x ? 16 y ? 8 ? 0

3. 函数 y ? x sin x ? x 的导数是( A. y / ? sin x ? cos x ?
1 2 x 1 2 x

B. y / ? sin x ? cos x ?

1 2 x 1 2 x

C. y / ? sin x ? cos x ?

D. y / ? sin x ? cos x ?

4. 若曲线 C: y ? x 3 ? 2ax2 ? 2ax 上任意点处的切线的倾斜角都是锐角,那么整数 B.0 1 5.函数 y ? x ? 的极值情况是( x A.有极大值 2,极小值-2 C.无极大值,但有极小值-2

a =(

) A.-2

C.1 )

D.-1

B.有极大值 1,极小值-1 D.有极大值 2,无极小值. )

? ?? 6.函数在 ?0, ? 上取得最大值时, x 的值为( ? 2?

A.0

B.

? 6

C.

? 3

D.

? 2

7.若函数 f (x) 的导数为 f / ( x) ? ? sin x ,则函数图像在点 ?4, f (4) ? 处的切线的倾 斜角为( ) A. 900 B.00 C.锐角 D.钝角

8.平面上有 n 个圆,其中每两个都相交于两点,每三个都无公共点,它们将平面分 成 f (n) 块区域,有 f (1) ? 2, f (2) ? 4, f (3) ? 8 ,则 f (n) ? ( A.2 n B. n 2 ? n ? 2 )

C. 2 n ? (n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) D. n 3 ? 5n 2 ? 10n ? 4

1 9.有一个奇数列 1,3,5,7,9,┅,现在进行如下分组:第一组含一个数 ? ? ,第二

? 13 组含两个数 ?3,5? ,第三组含三个数 ?7,9,11 ,第四组含四个数 ? ,15,17,19?,┅,
现观察猜想每组内各数之和与其组的编号数 n 的关系为( )

A.等于 n 2

B.等于 n 3

C.等于 n 4 ) D.

D.等于 (n ? 1)n

10.内接于半径为 R 的半圆且周长最大的矩形的边长为( A.
R 3R 和 2 2

B.

4R 7R 和 5 5

C.

R 16R 和 5 5

5R 4 5R 和 5 5

二、填空题(每空 4 分,共 20 分) 11. 若曲线 y ? x 2 在点 P 处的切线斜率为 1,则点 P 的坐标为__________________; 12.面积为 S 的一切矩形中,其周长最小的矩形的边长是_________________; 13. 若 f ( x) ? (2x ? a) 2 ,且 f / (2) ? 20 ,则 a ? __________________; 14. 若函数 f ( x) ? x 3 ? 3ax2 ? 3?(a ? 2) x ? 1?有极大值又有极小值,则 a 的取值范围 是______; 15. 用数学归纳法证明:(n ? 1)(n ? 2)?(n ? n) ? 2 n ?1? 3 ??? (2n ? 1) 时,从 k 到 “
k ? 1 ”左边需增加的代数式是______________________. 三、解答题(每小题 10 分,共 50 分;解答应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤 )

16.(10 分)已知抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 通过点 P(1,1),且在点 Q(2,-1)处与直线
y ? x ? 3 相切,求实数 a, b, c 的值.

?2 ? 17. 已知函数 y ? x 3 ? 2 x 2 ? x ? 3, x ? ? ,1? ,求此函数的 ⑴单调区间⑵值域. ?3 ?

18.(本小题 10 已知: a, b, c 都是正实数,且 ab ? bc ? ca ? 1. 求证: a ? b ? c ? 3 . 19.(本小题 10 分) 设函数 f ( x) ? e x ? e ? x . ⑴证明: f (x) 的导数 f / ( x) ? 2 ; ⑵若对所有 x ? 0 都有 f ( x) ? ax ,求 a 的取值范围. 20.(本小题 10 分) 在各项为正的数列 ?an ? 中,数列的前 n 项和 S n 满足 S n ? ⑴求 a1 , a2 , a3 ; ⑵由⑴猜想数列 ?an ? 的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.

1? 1 ? ? an ? ? , 2? an ? ? ?

高二数学理科答案
一.选择题:(每小题 3 分,共 30 分) 题号 答案 1 C 2 A 3 A 4 C 5 A 6 B 7 C 8 B 9 B 10 D

二.填空题:(每小题 4 分,共 20 分) 11. ?

?1 1? , ? ?2 4?

12.

S

13. 1 . 14. a ? ?1, 或 a ? 2 . 15. 2(2k ? 1)

三.解答题(本大题共 5 小题,共 50 分) 16.(10 分) 解: 因为抛物线过点 P, 所以 a ? b ? c ? 1 , 又 y ? 2ax ? b,? y
/ / x ?2

① ②

2分 5分 7分 10 分

? 4a ? b,? 4a ? b ? 1.


又抛物线过点 Q,? 4a ? 2b ? c ? ?1, 由①②③解得, a ? 3, b ? ?11 c ? 9. , 17.(10 分) 分 所以,对任意 x ? ? ,1? ,都有 y / ? 0 , 3 分 ⑵由⑴知, y 最大 ? f ( ) ? 3 解:⑴ y / ? 3x 2 ? 4 x ? 1

2分

由 y / ? 0 ,得 x1 ?

1 , x 2 ? 1. 3

4

?2 ? ? ?
2 3

所以,所求单调递减区间为 ? ,1? . 3

?2 ? ? ?

6

2 , 27

8分

y最小 ? f (1) ? 3.

所求函数值域为 ?3, 3

? ?

2? . 27 ? ?

10 分

18.(10 分) 解: 要证原不等式成立, 只 需 证 2分
2 2 2 2 2 2 又 ab ? bc ? ca ? 1. 所 以 , 只 需 证 : a ? b ? c ? 1 , 即 a ? b ? c ? 1 ? 0 ,

(a ? b ? c) 2 ? 3 ,

即 证

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2(ab ? bc ? ca) ? 3 ,

4分 因 为 ab ? bc ? ca ? 1. 所 以 , 只 需 证 : 6分 只 需 证 :

a 2 ? b 2 ? c 2 ? (ab ? bc ? ca) ? 0,

2a 2 ? 2b 2 ? 2c 2 ? 2(ab ? bc ? ca) ? 0,



(a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ? 0 .

由于任意实数的平方都非负,故上式成立. 10 分 19.(10 分)
x

所以

a?b?c ? 3 .

⑴ f (x) 的导数 f / ( x) ? e x ? e ? x .
?x

2分 故 f / ( x) ? 2 成立. 4分

由于 e ? e

? 2 e x ? e?x ? 2 ,

⑵令 g ( x) ? f ( x) ? ax ,则 g / ( x) ? f / ( x) ? a ? e x ? e ? x ? a .

① 若 a ? 2 ,当 x ? 0 时, g / ( x) ? e x ? e ? x ? a ? 2 ? a ? 0,
数, 所以 x ? 0 时, g ( x) ? g (0) ,即 f ( x) ? ax .

故 g (x) 在 ?0,??? 上为增函

7分

② 若 a ? 2 ,方 程 g / ( x) ? 0 的正根为 x1 ? ln

a ? a2 ? 4 , 此时,若 x ? (0, x1 ) , 则 2

g / ( x) ? 0 ,
故 g (x) 在该区间上为减函数,所以, x ? (0, x1 ) 时, g ( x) ? g (0) ,即 f ( x) ? ax ,与题设

f ( x) ? ax 相矛盾. 综上,满足条件的 a 的取值范围是 ?? ?,2? .
20.(10 分) 解:⑴易求得 a1 ? 1, a2 ? ⑵猜想 an ?

10 分 3 分; 5分 6分 7分

2 ? 1, a3 ? 3 ? 2

n ? n ? 1(n ? N * )

证明:①当 n ? 1 时, a1 ? 1 ? 0 ? 1,命题成立 ②假设 n ? k 时, ak ?

k ? k ? 1 成立,
1 1 1 1 (ak ?1 ? ) ? (a k ? ) 2 ak ?1 2 ak

则 n ? k ? 1 时, a k ?1 ? S k ?1 ? S k ?

?

1 1 1 1 1 1 (a k ?1 ? ) ? ( k ? k ?1 ? ) ? (a k ?1 ? )? k , 2 ak ?1 2 2 a k ?1 k ? k ?1
2

所以, ak ?1 ? 2 k ak ?1 ? 1 ? 0 , ? ak ?1 ? 即 n ? k ? 1 时,命题成立. 由①②知, n ? N 时, an ?
*

k ?1 ? k .

n ? n ?1 .

10 分


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