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选修4-7 优选法与实验设计同步

考向一

黄金分割法

【例 1】?某试验的因素范围是[3 000,4 000],现准备用 0.618 法进行试验探求最 佳值.以 an 表示第 n 次试验的加入量(结果都取整数). (1)求 a1,a2. (2)若干次实验后的存优范围包含在区间[3 380,3 410]内, 请写出{an}的前 6 项. (3)在条件(2)成立的情况下,写出第 7 次试验后的存优范围. 解 (1)由黄金分割法可知,第一次的加入量为 a1=3 000+(4 000-3 000)×0.618=3 618 ∴a2=3 000+4 000-3 618=3 382. (2)因为[3 380,3 410]包含存优范围,所以最优点在区间[3 380,3 410]上. 由前两次试验结果知,好点是 3 382. ∴a3=3 380+3 410-3 382=3 408 第三次试验后,好点仍是 3 382, ∴存优范围是[3 380,3 408] ∴a4=3 380+3 408-3 382=3 406 同理求得 a5=3 380+3 406-3 382=3 404 a6=3 404+3 406-3 382=3 418 (3)由(2)知,第 6 次试验前的存优范围是[3 404,3 406],第 6 次试验点是 3 418, 比较可知 3 382 是好点,故所求存优范围是[3 404,3 406]. 考向二 分数法

【例 2】?某一化工厂准备对某一化工产品进行技术改良,现决定优选加工温度, 试验范围定为 60~81 ℃, 精确度要求± ℃, 1 现在技术员准备用分数法进行优选. (1)如何安排试验? (2)若最佳点为 69 ℃,请列出各试验点的数值.

(3)要通过多少次实验可以找出最佳点? 解 (1)试验区间为[60,81],等分为 21 段,分点为 61,62,?,79,80,因为 13 60+21×(81-60)=73(℃),所以第一试点安排在 73 ℃. 由“加两头,减中间”的方法得:60+81-73=68,所以第二试点选在 68 ℃. 后续试点可以用“加两头,减中间”的方法来确定. (2)若最佳点是 69 ℃,即从第二次试验开始知 69 ℃在存优范围内. 由(1)知,第一,二次试验点的值分别为 73,68,因 69?[60,68],所以去掉 68 ℃以 下的部分,则第三次试验点的值: 68+81-73=76; 同理去掉 76 ℃以上的部分,第四次试验点的值: 68+76-73=71; 第五次试验点的值:68+73-71=70; 第六次试验点的值:68+71-70=69. 即安排了 6 次试验,各试验点的数值依次为:73,68,76,71,70,69. (3)各试点数为 20,由分数法的最优性定理可知:F7=21.即通过 6 次试验可从这 20 个试点中找出最佳点. 考向三 试验设计初步

【例 3】?某化工产品的正交试验结果如下表: 列号
试验号

A 催化剂浓度/%

B 反应时间/min B1(25) B2(30) B1(25) B2(30)

C 温度/℃ C1(30) C2(25) C2(25) C1(30)

产量 23 21 28 20

1 2 3 4 1 k1q=2K1q 1 k2q=2K2q Rq

A1(8) A1(8) A2(10) A2(10)

请计算表中 k 及 R 的值,求使得试验结果最优(数值最大)的因素组合,并找出影

响试验结果的最主要因素. 解 K11=23+21=44,所以 k11=22;K12=23+28=51, 所以 k12=25.5;K13=23+20=43,所以 k13=21.5. K21=28+20=48,所以 k21=24;K22=21+20=41, 所以 k12=20.5;K23=21+28=49,所以 k23=24.5. 所以 R1=24-22=2,R2=25.5-20.5=5, R3=24.5-21.5=3.(如下表) 列号
试验号

A 催化剂浓度/%

B 反应时间/min B1(25) B2(30) B1(25) B2(30)

C 温度/℃ C1(30) C2(25) C2(25) C1(30)

产量 23 21 28 20

1 2 3 4 续表

A1(8) A1(8) A2(10) A2(10)

1 k1q=2K1q 1 k2q= K2q 2 Rq

22 24 2

25.5 20.5 5

21.5 24.5 3

所以影响结果最显著的因素是反应时间(B),其次是温度,催化剂浓度的影响最 小,最优组合为(A2,B1,C2),即催化剂浓度为 10%,反应时间是 25 min,温度 是 25 ℃.


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