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2012届高考数学理科二轮专题限时卷:函数、导数及其应用7.

第二部分:函数、导数及其应用( ) 第二部分:函数、导数及其应用(7)
(限时:时间 45 分钟,满分 100 分) 一、选择题

1.设正弦函数 y=sin x 在 x=0 和 x= 大小关系为 ( A.k1>k2 C.k1=k2 【解析 解析】 解析 ∵y=sin x,∴y′=(sin x)′=cos x, ) B.k1<k2 D.不确定

附近的平均变化率为 k1,k2,则 k1,k2 的

k1=cos 0=1,k2=cos ∴k1>k2. 【答案 答案】 A 答案

=0,

2.(2010 年辽宁高考)设 P 为曲线 C: y=x +2x+3 上的点, 且曲线 C 在点 P 处切线倾斜

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角的取值范围为

,则点 P 横坐标的取值范围为(

)

解析】 设 P(x0,y0),∵y′=2x+2, 【解析 解析 ∴曲线 C 在 P 点处的切线斜率为 2x0+2.

又切线倾斜角范围是

,∴斜率范围是[0,1],

即 0≤2x0+2≤1,∴-1≤x0≤-\f(1,2). 【答案 答案】 A 答案 3.(2011 年福建高考)已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图,那么 y=f(x), y=g(x)的图象可能是( )

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【解析 由题意知函数 f(x), 解析】 g(x)都为增函数, x<x0 时, 当 由图象知 f′(x)>g′(x), 解析 即 f(x)的增长速度大于 g(x)的增长速度;当 x>x0 时,f′(x)<g′(x),g(x)的增长速度 大于 f(x)的增长速度,数形结合. 答案】 D 【答案 答案 4.曲线 y=e 在点(2,e )处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(
x 2

)

【解析 解析】 ∵点(2,e )在曲线上, 解析

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∴切线的方程为 y-e =e (x-2). 即 e x-y-e =0. 与两坐标轴的交点坐标为(0,-e ),(1,0),
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2

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【答案 答案】 D, 答案 5.(2011 年临沂模拟)若点 P 是曲线 y=x -lnx 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的 最小距离为( )
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【解析 解析】 过点 P 作 y=x-2 的平行直线,且与曲线 解析 y=x -lnx 相切, 设 P(x0,x0 -lnx0)则有
2 2

【答案 答案】 B 答案 二、填空题 6. (2012 年临沂模拟)若函数 y=g(x)是函数 y=f(x)的导函数,则称函数 y=f(x)是函 数 y=g(x)的原函数,例如 y=x 是 y=3x 的原函数,y=x +1 也是 y=3x 的原函数,现请 写出函数 y=2x 的一个原函数______. 解析】 由原函数的定义可知, 【解析 解析
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【答案 答案】 答案

7.(2010 年江苏高考)设直线 y= 为______.

x+b 是曲线 y=lnx(x>0)的一条切线, 则实数 b 的值

【解析 解析】 解析

【答案 答案】 ln2-1 答案

8.如图,函数 y=f(x)的图象在点 P 处的切线方程是 y=-x+8,则 f(5)+f′(5)= ______. 【解析 解析】 易得切点 P(5,3), 解析 ∴f(5)=3,k=-1, 即 f′(5)=-1. ∴f(5)+f′(5)=3-1=2. 【答案 答案】 2 答案 三、解答题 9.已知函数 f(x)=x -3x 及 y=f(x)上一点 P(1,-2),过点 P 作直线 l. (1)求使直线 l 和 y=f(x)相切且以 P 为切点的直线方程;
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(2)求使直线 l 和 y=f(x)相切且切点异于 P 的直线方程. 【解析 解析】 (1)由 f(x)=x -3x 得,f′(x)=3x -3, 解析 过点 P 且以 P(1,-2)为切点的直线的斜率 f′(1)=0, ∴所求直线方程为 y=-2; (2)设过 P(1,-2)的直线 l 与 y=f(x)切于另一点(x0,y0), 则 f′(x0)=3x0 -3. 又直线过(x0,y0),P(1,-2),
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即 x0 -3x0+2=3(x0 -1)·(x0-1),

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10.设 t≠0,点 P(t,0)是函数 f(x)=x +ax 与 g(x)=bx +c 的图象的一个公共点,两 函数的图象在点 P 处有相同的切线.试用 t 表示 a,b,c. 【解析 解析】 因为函数 f(x),g(x)的图象都过点(t,0), 解析 所以 f(t)=0, 即 t +at=0. 因为 t≠0,所以 a=-t . g(t)=0,即 bt +c=0,所以 c=ab. 又因为 f(x),g(x)在点(t,0)处有相同的切线, 所以 f′(t)=g′(t).,而 f′(x)=3x +a,g′(x)=2bx,所以 3t +a=2bt. 将 a=-t 代入上式得 b=t.因此 c=ab=-t . 故 a=-t ,b=t,c=-t .
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