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标题-2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5:复习课(三) 不等式_图文

复习课(三) 不等式
一元二次不等式
一元二次不等式和一元二次方程、一元二次函数三者构成 一个统一的整体.贯穿于高中数学的始终,更是高考的重点内 容,在考题中有时单独对某类不等式的解法进行考查,一般以 小题形式出现,难度不大,但有时在解答题中与其它知识联系 在一起,难度较大.

[考点精要]
解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、 二次函数和一元二 次不等式三者之间的关系,其中二次函数的零点是联系这三个 “二次”的枢纽. (1)确定 ax2+ bx+ c>0(a>0)或 ax2+ bx+ c<0(a>0)在判别式 Δ>0 时解集的结构是关键.在未确定 a 的取值情况下,应先分 a =0 和 a≠0 两种情况进行讨论.

(2)若给出了一元二次不等式的解集, 则可知二次项系数 a 的 符号和方程 ax2+bx+c=0 的两个根,再由根与系数的关系就可 知 a,b,c 之间的关系. (3)解含有参数的一元二次不等式, 要注意对参数的取值进行 讨论:①对二次项系数与 0 的大小进行讨论;②在转化为标准形 式的一元二次不等式后,对判别式与 0 的大小进行讨论;③当判 别式大于 0,但两根的大小不确定时,对两根的大小进行讨论.

[典例] (1)已知不等式 ax2+bx+2>0 的解集为{x|-1<x<2}, 则不等式 2x2+bx+a<0 的解集为 ( ) ? ? 1? 1? A.?x|-1<x<2? B.?x|x<-1或x>2? ? ? ? ? C.{x|-2<x<1} D.{x|x<-2 或 x>1}
(2)解关于 x 的不等式 ax2-2ax+a+3>0.

(1)由题意知 x=-1,x=2 是方程 ax2+bx+2=0 的 b ? ? ?-1+2=-a, ?a=-1, 根.由根与系数的关系得? ?? ? ?b=1. ??-1?×2=2 a ? 1 ∴不等式 2x2+bx+a<0,即 2x2+x-1<0.解得-1<x<2. [答案] A [解析]

(2)解:当 a=0 时,解集为 R; 当 a>0 时,Δ=-12a<0,∴解集为 R; 当 a<0 时,Δ=-12a>0,方程 ax2-2ax+a+3=0 的两根 a+ -3a a- -3a 分别为 , , a a
? ? ? a+ ∴此时不等式的解集为?x? ? ? ? ? ? a- -3a? -3a ?. < x< a ? a ?

综上所述,当 a≥0 时,不等式的解集为 R;a<0 时,不等
? ? ? ?a+ ? 式的解集为 x? ? ? ? ? a- -3a? -3a ?. < x< a ? a ?

[类题通法] 解一元二次不等式时,当二次项系数为负时要先化为 正, 再根据判别式符号判断对应方程根的情况, 然后结合相 应二次函数的图象写出不等式的解集.

[题组训练]
1.若关于 x 的不等式 ax2-6x+a2<0 的解集是(1,m),则 m= ________.
解析:根据不等式与方程之间的关系知 1 为方程 ax2-6x+a2 =0 的一个根,即 a2+a-6=0,解得 a=2 或 a=-3,当 a= 2 时,不等式 ax2-6x+a2<0 的解集是(1,2),符合要求;当 a =-3 时,不等式 ax2-6x+a2<0 的解集是(-∞,-3)∪(1, +∞),不符合要求,舍去.故 m=2. 答案:2

2.已知不等式 ax2-3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b}. (1)求 a,b 的值; (2)解不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0.
解:(1)因为不等式 ax2-3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b},所 以 x1=1 与 x2=b 是方程 ax2-3x+2=0 的两个实数根,b>1 3 ? ?1+b=a, 且 a>0.由根与系数的关系,得? ?1×b=2. a ?
? ?a=1, 解得? ? ?b=2.

(2)不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0, 即 x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0. 当 c>2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为{x|2<x<c}; 当 c<2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为{x|c<x<2}; 当 c=2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为?. 所以,当 c>2 时,不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0 的解集为{x|2<x<c}; 当 c<2 时,不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0 的解集为{x|c<x<2}; 当 c=2 时,不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0 的解集为?.

简单的线性规划问题
高考中线性规划主要考查平面区域的表示和图解法的具体 应用,命题形式以选择题、填空题为主,命题模式是以线性规 划为载体,考查区域的划分、区域的面积,涉及区域的最值问 题、决策问题、整点问题、参数的取值范围问题等.

[考点精要]
1.确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧 确定二元一次不等式表示的平面区域时,经常采用“直线 定界,特殊点定域”的方法. 2.利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是
(1)在平面直角坐标系内作出可行域. (2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形. (3)确定最优解:在可行域内平行移动目标函数变形后的直线, 从而确定最优解. (4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.

[典例]

?x+y≥3, ? (1)设变量x,y满足约束条件: ?x-y≥-1, ?2x-y≤3, ?

则目标

y+1 函数z= x 的最小值为 ( ) A.1 B. 2 C.3 D.4 (2)某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求 2 对项目甲的投资不小于对项目乙投资的 倍,且对每个项目的投资 3 不能低于5万元.对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润,对 项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润,该公司正确规划投资 后,在这两个项目上共可获得的最大利润为 ( ) A.36万元 B.31.2万元 C.30.4万元 D.24万元

[解析]

(1)不等式组所表示的平面区域如

图中的△ABC,目标函数的几何意义是区域内 的点与点P(0,-1)连线的斜率,显然图中AP
? ?x+y=3, 的斜率最小.由? ? ?2x-y=3

解得点A的坐标为

y+1 1+1 (2,1),故目标函数z= x 的最小值为 =1. 2

(2)设对项目甲投资x万元,对项目乙投资y万元, ?x+y≤60, ? ?x≥2y, 则? 3 ?x≥5, ? ?y≥5. 目标函数z=0.4x+0.6y.作出可行域如图所示,由直线斜率 的关系知目标函数在A点取最大值,代入得zmax=0.4×24+ 0.6×36=31.2,所以选B. [答案] (1)A (2)B

[类题通法] (1)求目标函数最值的一般步骤为:一画、二移、三 求.其关键是准确作出可行域,理解目标函数的意义. (2)在约束条件是线性的情况下,线性目标函数只有在可 行域的顶点或者边界上取得最值.在解答选择题或者填空题 时也可以根据可行域的顶点直接进行检验.

[题组训练]
?2x+y-6≤0, ? 1.不等式组?x+y-3≥0, ?y≤2 ? A.4 B. 1 表示的平面区域的面积为( )

C.5 D.无穷大 ?2x+y-6≤0, ? 解析:选B 不等式组 ?x+y-3≥0, 表示 ?y≤2 ?
的平面区域如图所示(阴影部分),△ABC的面 积即为所求.求出点A,B,C的坐标分别为 1 (1,2),(2,2),(3,0),则△ABC的面积为S= ×(2-1)×2=1. 2

?x≥0, ? 2.已知实数x,y满足 ?y-x+1≤0, ?y-2x+4≥0, ?

若z=y-

ax取得最大值时的最优解(x,y)有无数个,则a =________.
解析:依题意,在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区 域,如图所示.要使z=y-ax取得最大值时的最优解(x,y)有无数 个,则直线z=y-ax必平行于直线y-x+1=0,于是有a=1. 答案:1

3.某公司用两种机器来生产某种产品,第一种机器每台需花 3万 日元及人民币50元的维护费;第二种机器则需5万日元及人民 币20元的维护费.第一种机器的年利润每台有9万日元,第二 种机器的年利润每台有6万日元,但政府核准的外汇日元为 135万元,并且公司的总维护费不得超过1 800元,为了使年

利润达到最大值,第一种机器应购买________台,第二种机 器应购买________台.

解析:设第一种机器购买x台,第二种机器购买y 台,总的年利润为z万日元,则 ?3x+5y≤135, ? ?50x+20y≤1 800, ?x,y∈N, ? 目标函数为z=9x+6y.

不等式组表示的平面区域如图阴影部分中的整点. 当直线z=9x+6y经过点M
?630 135? ? ? , 19 19 ? ?

,即到达l1位置时,z取得最

大值,但题目要求x,y均为自然数,故进行调整,调整到与M邻 近的整数点(33,7),此时z=9x+6y取得最大值,即第一种机器购 买33台,第二种机器购买7台获得年利润最大. 答案:33 7

基本不等式
考试中单纯对不等式性质的考查并不多,但是不等式作 为工具几乎渗透到各个考点,所以其重要性不言而喻.而利 用基本不等式求最值,解决实际问题是考试的热点,题型既 有选择题、填空题,又有解答题,难度为中、低档题.

[考点精要]
基本不等式的常用变形 (1)a+b≥2 ab(a>0,b>0),当且仅当a=b时,等号成立; (2)a +b ≥2ab,ab≤ 时,等号成立; b a (3)a+b≥2(a,b同号且均不为零),当且仅当a=b时,等号 成立; 1 1 (4)a+ a ≥2(a>0),当且仅当a=1时,等号成立;a+ a ≤- 2(a<0),当且仅当a=-1时,等号成立.
2 2

?a+b? ? ? ? 2 ? ? ?

2

(a,b∈R),当且仅当a=b

[典例] (1)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是 ( 24 A. 5 C. 5 28 B. 5 D. 6 ) )

(2)若正数 x,y 满足 4x2+9y2+3xy=30,则 xy 的最大值是( 4 A. 3 C. 2 5 B. 3 5 D. 4

[解析]

1 3 (1)由x+3y=5xy可得 + =1, 5y 5x

?1 3 ? 9 4 3x 12y 13 12 ∴3x+4y=(3x+4y) ?5y+5x? = + + + ≥ + =5 5y 5x 5 5 ? ? 5 5

3x 12y 1 当且仅当 = ,即x=1,y= 时,等号成立, 5y 5x 2 ∴3x+4y的最小值是5. (2)由x>0,y>0,得4x2+9y2+3xy≥2×(2x)×(3y)+3xy(当 且仅当2x=3y时等号成立),∴12xy+3xy≤30,即xy≤2,∴xy 的最大值为2. [答案] (1)C (2)C

[类题通法] 条件最值的求解通常有两种方法:一是消元法,即根据条 件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的 最值求解;二是将条件灵活变形,利用常数代换的方法构造和 或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值.

[题组训练]
1 1 1 4 1.若正数a,b满足a+b=1,则 + 的最小值为( a-1 b-1 A.3
解析:选B

)

C.5 1 1 依题意,因为a+b=1,

B. 4

D.6

∴(a-1)(b-1)=1, 1 4 因此 + ≥2 a-1 b-1 4 =4, ?a-1??b-1?

1 4 当且仅当 = , a-1 b-1 3 即a= ,b=3时“=”成立. 2

? ? 1 ?? 1 2 2 2.设x,y∈R,且xy≠0,则?x +y2??x2+4y ?的最小值为_______. ? ?? ?
? ? 1??1 1 2 2 2 2 ? ? ? ? x + + 4 y 解析: = 5 + 2 2 2 2 +4x y ≥5+2 y ? ?x xy ? ?

1 4x2y2 = 2 2· xy

1 9,当且仅当x y = 时“=”成立. 2
2 2

答案:9

绝对值不等式
绝对值不等式主要考查解法及简单的应用,题目难度 中档偏下,着重考查学生的分类讨论思想及应用能力.

[考点精要]
1.公式法 |f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或f(x)<-g(x); |f(x)|<g(x)?-g(x)<f(x)<g(x). 2.平方法 |f(x)|>|g(x)|?[f(x)]2>[g(x)]2.

3.零点分段法 含有两个以上绝对值符号的不等式,可先求出使每个含绝对值 符号的代数式值等于零的未知数的值,将这些值依次在数轴上标注 出来,它们把数轴分成若干个区间,讨论每一个绝对值符号内的代 数式在每一个区间上的符号,转化为不含绝对值的不等式去解. 4.对于不等式恒成立求参数范围问题,常用分离参数法、更 换主元法、数形结合法解决.

[典例] 已知f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式f(x)≤3的解集为 {x|-2≤x≤1}. (1)求a的值; ? ?x?? (2)若?f?x?-2f?2??≤k恒成立,求k的取值范围. ? ? ??
(1) 由 |ax + 1|≤3 得 - 4≤ax≤2. 又 f(x)≤3 的 解 集 为 {x| - 4 2 2≤x≤1},所以当 a≤0 时,不合题意.当 a>0 时,-a≤x≤a,得 a=2. [解]

?1,x≤-1, ? ?-4x-3,-1<x<-1, ?x? 2 (2)法一: 记 h(x)=f(x)-2f?2?, 则 h( x ) = ? ? ? ? 1 ? - 1, x≥ - 2, ?
所以|h(x)|≤1,因此 k 的取值范围是[1,+∞).

? ?x?? 法二:?f?x?-2f?2??=||2x+1|-2|x+1|| ? ? ?? ?? ? 1? =2??x+2?-|x+1|?≤1, ?? ? ? ? ?x?? 由?f?x?-2f?2??≤k恒成立, ? ? ??

可知k≥1, 所以k的取值范围是[1,+∞).

[类题通法] 解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号,化成不含绝对 值的不等式,其一是依据绝对值的意义;其二是先令每一个绝 对值等于零,找到分界点,通过讨论每一区间内的代数式的符 号去掉绝对值.

[题组训练]
1.不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为________.
解析:原不等式即|2x+1|>2|x-1|,两端平方后解得12x> 1 3,即x> . 4
? ? ? 1 答案:?x?x>4 ? ? ? ? ? ? ? ?

2.设关于x的不等式lg(|x+3|+|x-7|)>a. (1)当a=1时,解此不等式; (2)当a为何值时,此不等式的解集是R.

解:(1)当a=1时,lg(|x+3|+|x-7|)>1, ?|x+3|+|x-7|>10,
? ?x≥7, ?? ? ?2x-4>10 ? ?-3<x<7, 或? ? ?10>10 ? ?x≤-3, 或? ? ?4-2x>10,

?x>7或x<-3. 所以不等式的解集为{x|x<-3或x>7}.

(2)设f(x)=|x+3|+|x-7|,则有f(x)≥|(x+3)-(x-7)|=10,当 且仅当(x+3)(x-7)≤0, 即-3≤x≤7时,f(x)取得最小值10. ∴lg(|x+3|+|x-7|)≥1. 要使lg(|x+3|+|x-7|)>a的解集为R,只要a<1.

“回扣验收特训”见“回扣验收特训(三)” (单击进入电子文档)


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