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大方一中 2015-2016 高一第一学期学期考试题

一． 填空题（每小题 5 分）: 1.已知集合 A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x＜1}，则 A∩B 等于( A．{0} B．{－1,0} ) B．－ 3 3 C．{0,1} D．{－1,0,1} )

8 2. tan π 的值为( 3 A． 3 3

C． 3

D．－ 3 )

3.函数 y＝ x－1＋lg(2－x)的定义域是( A．(1,2) B．[1,4] C．[1,2) D．(1,2]

4. 若 O、A、B 是平面上不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 ( → → → A.AB＝OA＋OB → → → C.AB＝－OB＋OA

2

)

→ → → B.AB＝OB－OA → → → D.AB＝－OB－OA )

5. 已知 f(x)＝(m－1)x ＋3mx＋3 为偶函数，则 f(x)在区间(－4,2)上为( A．增函数 B．减函数 C．先递增再递减 D．先递减再递增 x 6. 函数 f(x)＝2 ＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A．(－2，－1) C．(0,1) B．(－1,0) D．(1,2)

kx＋1(－2≤x<0)， ? ? 7. 函 数 y ＝ ? 8π 2sin(ω x＋φ )(ω >0，0<x≤ ) ? 3 ?

的 图 象 如 下 图 ， ( )

1 1 π A．k＝ ，ω ＝ ，φ ＝ 2 2 3 1 π C．k＝ ，ω ＝2，φ ＝ 2 6

1 1 π B．k＝ ，ω ＝ ，φ ＝ 2 2 6 1 π D．k＝－2，ω ＝ ，φ ＝ 2 3

8.若向量 a＝(1，2)，b＝(1，－1)，则 2a＋b 与 a－b 的夹角等于( π A．－ 4 π B. 6 C. π 4 3π D. 4

)

9.关于 x 的方程 x －xcosAcosB－cos ＝0 有一个根为 1，则在△ABC 中一定有( 2 A．∠A＝∠B C．∠B＝∠C B．∠A＝∠C π D．∠A＋∠B＝ 2

2

2

C

)

?x π ? 10. 为了得到函数 y＝2sin? ＋ ?，x∈R 的图象，只需把函数 y＝2sin x，x∈R 的图 ?3 6 ?

象上所有的点( ) π 1 A．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变) 6 3 π B．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 6 π 1 C．向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变) 6 3 π D．向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 6 11. 已知 a，b 是单位向量，a·b＝0.若向量 c 满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是 ( ) A．[ 2－1， 2＋1] C．[1， 2＋1] B．[ 2－1， 2＋2] D．[1， 2＋2]

12.已知 f(x)＝a ，g(x)＝loga|x|(a>0 且 a≠1)，若 f(4)g(－4)< 0，则 y＝f(x)，y ＝g(x)在同一坐标系内的大致图象是( )

x－2

二．填空题（每小题 5 分）

?2e ?x＜2?， ? 13. 设 f(x)＝? x ?log3?2 －1??x≥2?， ?

x－1

则 f(f(2))等于

2

。 。

14. 设当 x＝θ 时，函数 f(x)＝sin x－2cos x/2 取得最大值

4 15. 幂函数 f(x)的图象过点(3， 27)，则 f(x)的解析式是______________。 16. 已知 a ? ( 3sin x, m ? cos x) ， b ? (cos x, ?m ? cos x) , 且 f ( x) ? a? b

?

?

??

当 x ? ?? 值

? ? ?? 时, , ? 6 3? ?

，此时 X=

f ( x) 的 最 小 值 是 － 4 , 求 此 时 函 数 f ( x) 的 最 大

。

三、解答题（共 70 分） ： 17.（10 分） 已知 f(x)＝ （说明理由） 。 18.（12 分） 已知 a ? (1, 2) , b ? (?3,2) ,当 k 为何值时， (1) ka ? b 与 a ? 3b 垂直？ (2) ka ? b 与 a ? 3b 平行？平行时它们是同向还是反向？ 19. （1）化简：

x＋a 是定义在[－1,1]上的奇函数，试判断它的单调性 x2＋bx＋1

?

?

?

?

?

? ?

?

?

sin(? ? ? ) cos(3? ? ? ) tan(?? ? ? ) tan(? ? 2? ) ． tan(4? ? ? )sin(5? ? a)

12 3 ， cos(2? ? ?) ? ，求 cos ? 的值． 13 5

（2）若 ? 、 ? 为锐角，且 cos(? ? ?) ?

20. (12 分)如图，已知 Rt△OAB 中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，M 在 OB 上，且 OM＝1，N 在 OA 上，且 ON＝1，P 为 AM 与 BN 的交点，求∠MPN. （要求用向量求解） 。

21. （12 分）已知函数 f(x)＝2sin(ω x)，其中常数 ω >0.

? π 2π ? (1)若 y＝f(x)在?－ ， ?上单调递增，求ω 的取值范围； 3 ? ? 4

π (2)令 ω ＝2， 将函数 y＝f(x)的图象向左平移 个单位长度， 再向上平移 1 个单位长度， 6 得到函数 y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R 且 a<b)满足：y＝g(x)在[a，b]上至少含有 30 个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求 b－a 的最小值．

22.(本题满分 12 分)已知向量 a＝(cosα ， sinα )， b＝(cosx， sinx)， c＝(sinx＋2sinα ， cosx＋2cosα )，其中 0<α <x<π .

π (1)若 α ＝ ，求函数 f(x)＝b·c 的最小值及相应的 x 的值； 4 π (2)若 a 与 b 的夹角为 ，且 a⊥c，求 tan2α 的值． 3

参考答案 一． 填空题（每小题 5 分） 1.B、2.D、3.C、4.B、5.C、6.B、7.B、8.C、9.A、10.B、11.A、12.B 二．填空题（每小题 5 分） 13. 2 ; 14. 2－1 ; 15. X

3/4

; 16.

-5/2 ， x ?

?

6

；

三、解答题（共 70 分） ： 17.(10 分)解 ∵f(x)＝

x＋a 是定义在[－1,1]上的奇函数， x ＋bx＋1

2

0＋a ∴f(0)＝0，即 2 ＝0， 0 ＋0＋1 ∴a＝0. －1 1 又∵f(－1)＝－f(1)，∴ ＝－ ， 2－b 2＋b ∴b＝0，∴f(x)＝

x . x2＋1

∴函数 f(x)在[－1,1]上为增函数． 任取－1≤x1<x2≤1， ∴x1－x2<0，－1<x1x2<1， ∴1－x1x2>0.

x1 x2 － 2 x2 x2＋1 1＋1 2 x1x2 2＋x1－x1x2－x2 ＝ 2 2 ?x1＋1??x2＋1?

∴f(x1)－f (x2)＝

x1x2?x2－x1?＋?x1－x2? 2 2 ?x1＋1??x2＋1? ?x1－x2??1－x1x2? ＝ <0， 2 2 ?x1＋1??x2＋1? ∴f(x1)<f(x2)， ∴f(x)为[－1,1]上的增函数．

＝ 18.解： ka ? b ? k (1,2) ? (?3,2) ? ( k ? 3,2 k ? 2)

?

?

? ? a ? 3b ? (1, 2) ? 3(?3, 2) ? (10, ?4)

（1） (ka ? b ) ? (a ? 3b ) ， 得 (ka ? b )? (a ? 3b ) ? 10(k ? 3) ? 4(2k ? 2) ? 2k ? 38 ? 0, k ? 19 （2） (ka ? b ) // (a ? 3b ) ，得 ?4(k ? 3) ? 10(2k ? 2), k ? ? 此时 k a ? b ? (?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

1 3

10 4 1 , ) ? ? (10, ?4) ，所以方向相反。 3 3 3 12 3 ， cos(2? ? ?) ? 13 5

19. 解： （1）原式= sin ? （2）因为 ? 、 ? 为锐角，且 cos(? ? ?) ?

? ? ? ? ? ? [0, ] ， 2? ? ? ? [0, ]

2 2 5 4 ， sin(2? ? ?) ? 13 5 16 ∴ cos ? ? cos((2? ? ? ) ? ( a ? ? )) ? . 65

所以 sin( ? ? ?) ?

→ → → → 20. 解：设OA＝a，OB＝b，且AM，BN的夹角为 θ ， → 1 → 1 则OM＝ b，ON＝ a， 2 3 → → → 1 又∵AM＝OM－OA＝ b－a， 2 →

BN＝ON－OB＝ a－b，

1 → → 1 ∴AM·BN＝( b－a)·( a－b)＝－5， 2 3 → → ∴|AM|＝ 10，|BN|＝ 5， ∴cosθ ＝ －5 5· 10 ＝－ 2 ， 2

→

1 3

3π 又∵θ ∈[0，π ]，∴θ ＝ ， 4

→ → 又∵∠MPN 即为向量AM，BN的夹角， 3π ∴∠MPN＝ . 4 21. 解析：(1)因为 ω >0， π π － ω ≥－ ， ? ? 4 2 3 根据题意有? ? 0<ω ≤ . 4 2π π ω≤ ? ?3 2 π? ? ? π ?? ? (2)f(x)＝2sin 2x，g(x)＝2sin?2?x＋ ??＋1＝2sin?2x＋ ?＋1. 6 ?? 3? ? ? ?

g(x)＝0? sin?2x＋ ?＝－ ? x＝kπ － 或 x＝kπ － π ，k∈Z，即 g(x)的零点相 3

? ?

π?

?

1 2

π 4

7 12

π 2π 离间隔依次为 和 ，故若 y＝g(x)在[a，b]上至少含有 30 个零点，则 b－a 的最小值为 3 3 2π π 43π 14× ＋15× ＝ . 3 3 3 π 22. 解 ∵b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα ，cosx＋2cosα )，α ＝ . 4 ∴f(x)＝b·c ＝cosxsinx＋2cosxsinα ＋sinxcosx＋2sinxcosα ＝2sinxcosx＋ 2(sinx＋cosx)． π 令 t＝sinx＋cosx( <x<π )，则 t∈(－1， 2)， 4 且 2sinxcosx＝t －1. ∴y＝t ＋ 2t－1＝(t＋ 当 t＝－

2 2

2 2 3 ) － ，t∈(－1， 2)． 2 2

2 3 2 时，ymin＝－ ，此时 sinx＋cosx＝－ . 2 2 2

π 2 π 1 即 2sin(x＋ )＝－ ，sin(x＋ )＝－ ， 4 2 4 2 ∵ ∴ π <x<π ， 4 π π 5π <x＋ < . 2 4 4

π 7π 11 ∴x＋ ＝ ，即 x＝ π . 4 6 12 3 11 所以函数 f(x)的最小值为－ ，相应的 x 的值为 π . 2 12

π (2)∵a 与 b 的夹角为 ， 3 π a·b cos ＝ ＝cosα cosx＋sinα sinx＝cos(x－α )， 3 |a||b| ∵0<α <x<π ，∴0<x－α <π . π ∴x－α ＝ ， 3 ∵a⊥c， ∴cosα (sinx＋2sinα )＋sinα (cosx＋2cosα )＝0， 化简得 sin(x＋α )＋2sin2α ＝0. π 代入 x－α ＝ 得 3 π 5 3 sin(2α ＋ )＋2sin2α ＝ sin2α ＋ cos2α ＝0， 3 2 2 ∴tan2α ＝－ 3 . 5

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