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贵州省大方县第一中学2015-2016学年高一数学上学期期末考试试题

大方一中 2015-2016 高一第一学期学期考试题
一. 填空题(每小题 5 分): 1.已知集合 A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则 A∩B 等于( A.{0} B.{-1,0} ) B.- 3 3 C.{0,1} D.{-1,0,1} )

8 2. tan π 的值为( 3 A. 3 3

C. 3

D.- 3 )

3.函数 y= x-1+lg(2-x)的定义域是( A.(1,2) B.[1,4] C.[1,2) D.(1,2]

4. 若 O、A、B 是平面上不共线的任意三点,则以下各式中成立的是 ( → → → A.AB=OA+OB → → → C.AB=-OB+OA
2

)

→ → → B.AB=OB-OA → → → D.AB=-OB-OA )

5. 已知 f(x)=(m-1)x +3mx+3 为偶函数,则 f(x)在区间(-4,2)上为( A.增函数 B.减函数 C.先递增再递减 D.先递减再递增 x 6. 函数 f(x)=2 +3x 的零点所在的一个区间是( ) A.(-2,-1) C.(0,1) B.(-1,0) D.(1,2)

kx+1(-2≤x<0), ? ? 7. 函 数 y = ? 8π 2sin(ω x+φ )(ω >0,0<x≤ ) ? 3 ?

的 图 象 如 下 图 , ( )

1 1 π A.k= ,ω = ,φ = 2 2 3 1 π C.k= ,ω =2,φ = 2 6

1 1 π B.k= ,ω = ,φ = 2 2 6 1 π D.k=-2,ω = ,φ = 2 3

8.若向量 a=(1,2),b=(1,-1),则 2a+b 与 a-b 的夹角等于( π A.- 4 π B. 6 C. π 4 3π D. 4

)

9.关于 x 的方程 x -xcosAcosB-cos =0 有一个根为 1,则在△ABC 中一定有( 2 A.∠A=∠B C.∠B=∠C B.∠A=∠C π D.∠A+∠B= 2

2

2

C

)

?x π ? 10. 为了得到函数 y=2sin? + ?,x∈R 的图象,只需把函数 y=2sin x,x∈R 的图 ?3 6 ?
象上所有的点( ) π 1 A.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变) 6 3 π B.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 6 π 1 C.向右平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变) 6 3 π D.向右平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 6 11. 已知 a,b 是单位向量,a·b=0.若向量 c 满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围是 ( ) A.[ 2-1, 2+1] C.[1, 2+1] B.[ 2-1, 2+2] D.[1, 2+2]

12.已知 f(x)=a ,g(x)=loga|x|(a>0 且 a≠1),若 f(4)g(-4)< 0,则 y=f(x),y =g(x)在同一坐标系内的大致图象是( )

x-2

二.填空题(每小题 5 分)
?2e ?x<2?, ? 13. 设 f(x)=? x ?log3?2 -1??x≥2?, ?
x-1

则 f(f(2))等于
2

。 。

14. 设当 x=θ 时,函数 f(x)=sin x-2cos x/2 取得最大值

4 15. 幂函数 f(x)的图象过点(3, 27),则 f(x)的解析式是______________。 16. 已知 a ? ( 3sin x, m ? cos x) , b ? (cos x, ?m ? cos x) , 且 f ( x) ? a? b

?

?

??

当 x ? ?? 值

? ? ?? 时, , ? 6 3? ?
,此时 X=

f ( x) 的 最 小 值 是 - 4 , 求 此 时 函 数 f ( x) 的 最 大


三、解答题(共 70 分) : 17.(10 分) 已知 f(x)= (说明理由) 。 18.(12 分) 已知 a ? (1, 2) , b ? (?3,2) ,当 k 为何值时, (1) ka ? b 与 a ? 3b 垂直? (2) ka ? b 与 a ? 3b 平行?平行时它们是同向还是反向? 19. (1)化简:

x+a 是定义在[-1,1]上的奇函数,试判断它的单调性 x2+bx+1

?

?

?

?

?

? ?

?

?

sin(? ? ? ) cos(3? ? ? ) tan(?? ? ? ) tan(? ? 2? ) . tan(4? ? ? )sin(5? ? a)
12 3 , cos(2? ? ?) ? ,求 cos ? 的值. 13 5

(2)若 ? 、 ? 为锐角,且 cos(? ? ?) ?

20. (12 分)如图,已知 Rt△OAB 中,∠AOB=90°,OA=3,OB=2,M 在 OB 上,且 OM=1,N 在 OA 上,且 ON=1,P 为 AM 与 BN 的交点,求∠MPN. (要求用向量求解) 。

21. (12 分)已知函数 f(x)=2sin(ω x),其中常数 ω >0.

? π 2π ? (1)若 y=f(x)在?- , ?上单调递增,求ω 的取值范围; 3 ? ? 4
π (2)令 ω =2, 将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位长度, 再向上平移 1 个单位长度, 6 得到函数 y=g(x)的图象,区间[a,b](a,b∈R 且 a<b)满足:y=g(x)在[a,b]上至少含有 30 个零点,在所有满足上述条件的[a,b]中,求 b-a 的最小值.

22.(本题满分 12 分)已知向量 a=(cosα , sinα ), b=(cosx, sinx), c=(sinx+2sinα , cosx+2cosα ),其中 0<α <x<π .

π (1)若 α = ,求函数 f(x)=b·c 的最小值及相应的 x 的值; 4 π (2)若 a 与 b 的夹角为 ,且 a⊥c,求 tan2α 的值. 3

参考答案 一. 填空题(每小题 5 分) 1.B、2.D、3.C、4.B、5.C、6.B、7.B、8.C、9.A、10.B、11.A、12.B 二.填空题(每小题 5 分) 13. 2 ; 14. 2-1 ; 15. X
3/4

; 16.

-5/2 , x ?

?
6



三、解答题(共 70 分) : 17.(10 分)解 ∵f(x)=

x+a 是定义在[-1,1]上的奇函数, x +bx+1
2

0+a ∴f(0)=0,即 2 =0, 0 +0+1 ∴a=0. -1 1 又∵f(-1)=-f(1),∴ =- , 2-b 2+b ∴b=0,∴f(x)=

x . x2+1

∴函数 f(x)在[-1,1]上为增函数. 任取-1≤x1<x2≤1, ∴x1-x2<0,-1<x1x2<1, ∴1-x1x2>0.

x1 x2 - 2 x2 x2+1 1+1 2 x1x2 2+x1-x1x2-x2 = 2 2 ?x1+1??x2+1?
∴f(x1)-f (x2)=

x1x2?x2-x1?+?x1-x2? 2 2 ?x1+1??x2+1? ?x1-x2??1-x1x2? = <0, 2 2 ?x1+1??x2+1? ∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)为[-1,1]上的增函数.
= 18.解: ka ? b ? k (1,2) ? (?3,2) ? ( k ? 3,2 k ? 2)

?

?

? ? a ? 3b ? (1, 2) ? 3(?3, 2) ? (10, ?4)
(1) (ka ? b ) ? (a ? 3b ) , 得 (ka ? b )? (a ? 3b ) ? 10(k ? 3) ? 4(2k ? 2) ? 2k ? 38 ? 0, k ? 19 (2) (ka ? b ) // (a ? 3b ) ,得 ?4(k ? 3) ? 10(2k ? 2), k ? ? 此时 k a ? b ? (?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

1 3

10 4 1 , ) ? ? (10, ?4) ,所以方向相反。 3 3 3 12 3 , cos(2? ? ?) ? 13 5

19. 解: (1)原式= sin ? (2)因为 ? 、 ? 为锐角,且 cos(? ? ?) ?

? ? ? ? ? ? [0, ] , 2? ? ? ? [0, ]
2 2 5 4 , sin(2? ? ?) ? 13 5 16 ∴ cos ? ? cos((2? ? ? ) ? ( a ? ? )) ? . 65
所以 sin( ? ? ?) ?

→ → → → 20. 解:设OA=a,OB=b,且AM,BN的夹角为 θ , → 1 → 1 则OM= b,ON= a, 2 3 → → → 1 又∵AM=OM-OA= b-a, 2 →

BN=ON-OB= a-b,
1 → → 1 ∴AM·BN=( b-a)·( a-b)=-5, 2 3 → → ∴|AM|= 10,|BN|= 5, ∴cosθ = -5 5· 10 =- 2 , 2



1 3

3π 又∵θ ∈[0,π ],∴θ = , 4

→ → 又∵∠MPN 即为向量AM,BN的夹角, 3π ∴∠MPN= . 4 21. 解析:(1)因为 ω >0, π π - ω ≥- , ? ? 4 2 3 根据题意有? ? 0<ω ≤ . 4 2π π ω≤ ? ?3 2 π? ? ? π ?? ? (2)f(x)=2sin 2x,g(x)=2sin?2?x+ ??+1=2sin?2x+ ?+1. 6 ?? 3? ? ? ?

g(x)=0? sin?2x+ ?=- ? x=kπ - 或 x=kπ - π ,k∈Z,即 g(x)的零点相 3

? ?

π?

?

1 2

π 4

7 12

π 2π 离间隔依次为 和 ,故若 y=g(x)在[a,b]上至少含有 30 个零点,则 b-a 的最小值为 3 3 2π π 43π 14× +15× = . 3 3 3 π 22. 解 ∵b=(cosx,sinx),c=(sinx+2sinα ,cosx+2cosα ),α = . 4 ∴f(x)=b·c =cosxsinx+2cosxsinα +sinxcosx+2sinxcosα =2sinxcosx+ 2(sinx+cosx). π 令 t=sinx+cosx( <x<π ),则 t∈(-1, 2), 4 且 2sinxcosx=t -1. ∴y=t + 2t-1=(t+ 当 t=-
2 2

2 2 3 ) - ,t∈(-1, 2). 2 2

2 3 2 时,ymin=- ,此时 sinx+cosx=- . 2 2 2

π 2 π 1 即 2sin(x+ )=- ,sin(x+ )=- , 4 2 4 2 ∵ ∴ π <x<π , 4 π π 5π <x+ < . 2 4 4

π 7π 11 ∴x+ = ,即 x= π . 4 6 12 3 11 所以函数 f(x)的最小值为- ,相应的 x 的值为 π . 2 12

π (2)∵a 与 b 的夹角为 , 3 π a·b cos = =cosα cosx+sinα sinx=cos(x-α ), 3 |a||b| ∵0<α <x<π ,∴0<x-α <π . π ∴x-α = , 3 ∵a⊥c, ∴cosα (sinx+2sinα )+sinα (cosx+2cosα )=0, 化简得 sin(x+α )+2sin2α =0. π 代入 x-α = 得 3 π 5 3 sin(2α + )+2sin2α = sin2α + cos2α =0, 3 2 2 ∴tan2α =- 3 . 5


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