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2016


第 三 章

不等式

本章高效整合

知能整合提升

1.实数(代数式)比较大小的两种方法 (1)作差法:对于任意两个实数 a,b,a>b?a-b>0;a=b ?a-b=0;a<b?a-b<0. a a a (2)作商法:设 a,b∈R ,则 >1?a>b; =1?a=b; <1 b b b


?a<b.

2.掌握不等式的基本性质 不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础, 是不等式的 证明和解不等式的主要依据. 因此, 要熟练掌握和运用不等式的 八条性质: (1)a>b? b<a (2)a>b, b>c? a>c (3)a>b? a+c>b+c (4)a>b, c>0? ac>bc;a>b,c<0? ac<bc

(5)a>b, c>d? a+ c>b+ d (6)a>b>0, c>d>0? ac>bd (7)a>b>0? an>bn (8)a>b>0? n a> n b

在学习时,应弄清每条性质和结论的内在联系,运用不等式 的性质要注意与等式性质的区别,并注意不等式性质成立的条 件.

3.探究一元二次不等式的求解方法 (1)对于一元二次不等式 ax2+ bx+ c>0(或≥ 0, <0,≤ 0)(其 中 a≠ 0)的求解,要联想两个方面的问题:①二次函数 y= ax2+ bx+ c 与 x 轴的交点;②方程 ax2+ bx+ c= 0 的根. (2)对于一元二次方程 ax2+ bx+ c= 0(a>0),其 Δ= b2- 4ac, 则方程的根按照 Δ>0,Δ= 0,Δ<0 可分为三种情况.相应地,二 次函数 y= ax2+ bx+ c(a>0)的图象与 x 轴的位置关系也分为三种 情况.因此,可分三种情况讨论对应的一元二次不等式 ax2+ bx + c>0(或≥ 0, <0,≤ 0)(a>0)的解集.

4.解读二元一次不等式 (组)表示的平面区域 (1)二元一次不等式(组)的几何意义 二元一次不等式(组)的几何意义是二元一次不等式(组)表示 的平面区域.一般地,二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直 角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面 区域.区域不包括边界时,边界直线 (Ax+ By+C=0)应画成虚 线.

(2)二元一次不等式表示的平面区域的判定 对于在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点 (x,y), 实数 Ax +By+C 的符号相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊 点(x0,y0),根据实数 Ax0+By0+C 的正负即可判断不等式表示 直线哪一侧的平面区域, 可简记为“直线定界, 特殊点定域”. 特 别地,当 C≠0 时,常取原点作为特殊点.

(3)二元一次不等式表示的平面区域的规律 y=kx+b 表示的直线将平面分成两部分,即 y>kx+ b 表示 直线上方的平面区域,y<kx+b 表示直线下方的平面区域,而直 线 y=kx+ b 是这两个区域的分界线. 一般地,若 Ax+By+ C>0,则当 B>0 时,表示直线 Ax+ By+C=0 的上方区域,当 B<0 时,表示直线 Ax+By+C=0 的 下方区域:若 Ax+By+C<0,与上述情况相反.

5.探求目标函数最优解的两种方法 (1)平移直线法.平移法是一种最基本的方法,其基本原理 是两平行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等; (2)代入检验法.通过平移法可以发现,取得最优解对应的 点往往是可行域的顶点, 其实这具有必然性. 于是在选择题中关 于线性规划的最值问题,可采用求解方程组代入检验的方法求 解.

6.运用基本不等式求最值,把握三个条件 (1)在所求最值的代数式中,各变量均应是正数(如不是,则 需进行变号转换 ); (2)各变量的和或积必须为常数,以确保不等式一边为定值, 如不是,则要进行拆项或分解,务必使不等式一边的和或积为常 数; (3)各变量有相等的可能,即相等时,变量有实数解,且在定 义域内,如无,则需拆项、分解以使其满足上述条件或改用其他 方法 .

热点考点例析

不等式的基本性质与应用 不等式的性质是本章内容的理论基础,是不等式的证明和解 不等式的主要依据,应予以特别重视,应熟练掌握和运用不等式 的几个性质.比较两个实数或代数式的大小常常用比较法中的作 差法,而这又归纳为对差式进行变形并判断差的符号,这又必然 归结到实数运算的符号法则.

a b 已知 a>0,b>0,证明不等式 + ≥ a+ b. b a ? a b? 证明: 方法一:? + ?- ( a+ b) ? b a?
? =? ? ? ?b ? a - b ?+? - a ? ? ? a ? b

a- b b- a ? a- b?? a- b? = + = b a ab ? a+ b?? a- b?2 = . ab

∵ a、b 为正实数, ∴ a+ b>0, ab>0, ( a- b)2≥0. ? a+ b?? a- b?2 ∴ ≥ 0. ab 当且仅当 a= b 时,等号成立. a b ∴ + ≥ a+ b,当且仅当 a=b 时等号成立. b a

? 方法二:? ?

a b ?2 a2 b2 + ? = + + 2 ab, b a? b a

( a+ b)2= a+ b+ 2 ab,
? ∴? ?

a b ?2 + ? - ( a+ b) 2 b a?

a2 b2 = + + 2 ab- (a+ b+ 2 ab) b a a3+ b3- ab? a+ b? = ab ? a+ b??a- b?2 = . ab

∵a、b 为正实数, ? a+b??a- b?2 ∴ ≥0. ab
? ∴? ?

a b ?2 + ? ≥( a+ b)2. b a? a b + >0, a+ b>0, b a

又∵

a b ∴ + ≥ a+ b,当且仅当 a=b 时等号成立. b a

1.已知 a>b>c,试比较 a2b+b2c+c2a 与 ab2+bc2+ca2 的大 小. 解析:
方法一:(a2b+b2c+c2a)-(ab2+bc2+ca2)

=ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a) =ab(a-b)+bc(b-c)+ca[(c-b)+(b-a)] =(ab-ca)(a-b)+(bc-ca)(b-c) =a(b-c)(a-b)+c(b-a)(b-c) =(a-b)(b-c)(a-c) ∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,a-c>0, ∴(a-b)(b-c)(a-c)>0,故 a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2.

方法二:(a2b+b2c+c2a)-(ab2+bc2+ca2) =[b(a2+bc)+c2a]-[ab2+c(bc+a2)] =(a2+bc)(b-c)+a(c2-b2) =(b-c)[(a2+bc)-a(b+c)]=(a-b)(b-c)(a-c). 下同方法一.

一元二次不等式的解法 对于一元二次不等式的求解,要善于联想两个方面的问题: ①相应的二次函数图象及与 x 轴的交点,②相应的一元二次方程 的实根;反之,对于二次函数(二次方程)的问题的求解,也要善于 联想相应的一元二次不等式的解与相应的一元二次方程的实 根.(相应的二次函数的图象及与 x 轴的交点)

a? x-1? 解不等式: >1(a≠1). x-2
解析: a? x-1? 原不等式可化为 -1>0, x-2

? a-2? ? ? 即(a-1)?x- ? (x- 2)>0.① a - 1 ? ?

当 a>1

? a-2? ? ? 时,①即为?x- ?(x- 2)>0, a-1 ? ?

a-2 1 而 -2=- -1<0. a-1 a-1

a-2 a- 2 ∴ <2,此时, x>2 或 x< . a-1 a- 1 当 a<1
? a-2? ? ? 时,①即为?x- ?(x- 2)<0, a - 1 ? ?

a- 2 a 而 2- = . a- 1 a-1 a-2 a- 2 若 0<a<1,则 >2,此时 2<x< ; a-1 a- 1 若 a= 0,则(x-2)2<0,此时无解; a- 2 a-2 若 a<0,则 <2,此时 <x<2. a- 1 a-1

综上所述: 当 a>1
? ? ? a- 2 ? 或 x>2 时,不等式的解集为?x?x< ? ? ? a- 1 ? ? ? a-2 ? 时,不等式的解集为?x?2<x< ? a-1 ? ? ? ? ?; ? ? ? ? ?; ? ?

当 0<a<1

当 a=0 时,不等式的解集为?; 当 a<0
? ? ? a-2 ? <x<2 时,不等式的解集为?x? ? ? ?a- 1 ? ? ?. ? ?

x-a 2.解关于 x 的不等式 2<0(a∈ R). x-a 解析: 原不等式等价于:(x-a)(x- a2)<0.
(1)若 a=0,则 a=a2= 0,x2<0,解集为?; (2)若 a=1,则 a=a2= 1,不等式为(x-1)2<0,解集为 ?; (3)若 0<a<1,则 a2<a, ∴ a2<x<a,故原不等式的解集为 (a2,a); (4)若 a<0 或 a>1,则 a2>a, ∴ a<x<a2,故原不等式的解集为 (a, a2).

不等式中恒成立问题 不等式恒成立, 求参数的取值范围, 一般有三种常用方法: (1)直接将参数从不等式中分离出来变成 k≥f(x)(或 k≤ f(x)), 从而转化成 f(x)求最值. (2)如果参数不能分离,而 x 可以分离,如 g(x)≥f(k)(或 g(x)≤ f(k)),则 f(k)恒大于 g(x)的最大值或恒小于 g(x)的最小值, 然后解关于参数 k 的不等式. (3)若不等式对于 x,参数都是二次的,则借助二次函数在某 区间上恒大于 0 或恒小于 0,求解.

设 f(x)=mx2-mx-6+m. (1)若对于 m∈[-2,2], f(x)<0 恒成立, 求实数 x 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3],f(x)<0 恒成立,求实数 m 的取值范围.

解析: (1)依题意,设 g(m)= (x2-x+1)m-6, 则 g(m)是关于 m 的一次函数,且一次项系数 x
2

? 1?2 3 -x+ 1=?x- ? + >0, 2? 4 ?

∴g(m)在[-2,2]上递增. ∴欲使 f(x)<0 恒成立, 需 g(m)max=g(2)=2(x2-x+1)-6<0, 解得 x 的取值范围为- 1<x<2.

? 1?2 3 (2)方法一:∵f(x)= m?x- ? + m-6< 0 在 2? 4 ?

x∈ [1,3]上恒成

立,
? ?m> 0 ∴? ? ?f? x? max= f?3?= 7m- 6< 0 ? ?m< 0 或? ? ?f? x? max= f?1?= m- 6< 0 ? ?m= 0 或? ? ?f? x?=- 6< 0



6 解得 m< . 7

方法二: 要使 f(x)= m(x2- x+ 1)- 6< 0 在 x∈ [1,3]上恒成立, 6 则有 m< 2 在 x∈[1,3]上恒成立. x - x+ 1 6 6 6 而当 x∈ [1,3]时, 2 = ≥ . 1?2 3 7 x - x+ 1 ? ?x- ? + 2? 4 ?
? ? 6 6 ? ? ∴ m<? 2 ?min= 7, ?x - x+ 1?

6 ∴ m< . 7

3. 已知 f(x)=x2-2ax+2(a∈R), 当 x∈[-1, +∞)时, f(x)≥a 恒成立,求 a 的取值范围.

解析:

方法一:f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图像的

对称轴为 x=a. ①当 a∈(-∞,-1)时,f(x)在[-1,+∞ )上单调递增, f(x)min=f(-1)=2a+3. 要使 f(x)≥a 恒成立,只需 f(x)min≥a, 即 2a+3≥a, 解得- 3≤a<-1;

②当 a∈ [- 1,+∞)时,f(x)min=f(a)= 2- a2, 由 2- a2≥a,解得- 1≤ a≤1. 综上所述,所求 a 的取值范围为- 3≤ a≤1. 方法二:令 g(x)= x2-2ax+2- a, 由已知,得 x2-2ax+2-a≥ 0 在[-1,+∞ )上恒成立, ?Δ> 0, ? 2 即 Δ= 4a - 4(2- a)≤0 或?a<- 1, ?g?- 1?≥0. ? 解得- 3≤a≤1.

线性规划问题 在线性约束条件下,求线性目标函数的最大(小)值问题叫做 线性规划,因而线性规划中出现最多的问题,也就是高考中极易 考查的问题就是最值问题, 解决此类问题时, 通常先画出可行域, 再找最优解,求出最值.

?x≥1 ? 已知 x、y 满足约束条件?x-3y≤-4 . ? ?3x+5y≤30 (1)求目标函数 z=2x-y 的最大值和最小值; y+5 (2)求 z= 的取值范围. x+5

解析:

(1)作出不等式组表示的可行域如图:

作直线 l:2x-y= 0,并平行移动使它过可行域内的 B 点, 此时 z 有最大值;过可行域内的 C 点,此时 z 有最小值,
? ?x- 3y=- 4 解? ? ?3x+ 5y= 30 ? ?x= 1 ? ? ?3x+ 5y= 30

,得 B(5,3),
? 27? C?1, ?, 5? ?



,得

27 17 ∴ zmax= 2× 5-3= 7,zmin=2× 1- =- . 5 5

(2)D 点坐标为(-5,-5),由图可知,kBD≤z≤kCD, 27 -?-5? 3-?-5? 4 5 26 ∵kBD= = ,kCD= = , 5 5-?-5? 1-?-5? 15
?4 26? y+5 ∴z= 的取值范围是? , ?. ?5 15? x+5

?x+y≥0 ? 4.若 x, y 满足约束条件?x-y+3≥0 ? 0≤x≤3 ? 大值为 ________.

,则 z=2x-y 的最

解析:

如图,作出可行域,作出

直线 l0: 2x- y=0,将 l0 平移至过点 A 处时,函数 z=2x- y 有最大值.由
? ?x+ y= 0 ? ? ?x= 3

得 A(3,- 3),

∴ zmax= 2× 3- (- 3)= 9.

答案:

9

?2x+y-2≥0, ? 5.已知实数 x,y 满足?x-2y+4≥0, ? 3x-y-3≤0. ? 大值和最小值.

求 w=x2+y2 的最

解析:

画出不等式组

?2x+y- 2≥ 0, ? ?x- 2y+ 4≥ 0, ? ?3x-y- 3≤ 0. 边界及其内部.

表示的平面区域,如图所示的△ABC 包括

∵ w= x2+y2=(x- 0)2+ (y-0)2 表示的是可行域内的动点 M(x, y)到原点 O(0,0)的距离的平方, ∴当点 M 在边 AC 上滑动,且 OM⊥ AC 时,w 取得最小值, 于是 wmin= d
2

?|0+ 0- 2|? ? ?2 4 =? 2 2 ? = ; 5 ? 2 +1 ?

当点 M 滑到与点 B(2,3)重合时,w 取得最大值, 4 即 wmax= ( ? 2-0? +? 3-0? ) = 13,故 wmin= , wmax=13. 5
2 2 2

铁矿石 A 和 B 的含铁率 a, 冶炼每万吨铁矿石的 CO2 的排放量 b 及每万吨铁矿石的价格 c 如下表: a A 50% B 70% b(万吨) 1 0.5 c(百万元) 3 6

某冶炼厂至少要生产 1.9(万吨)铁, 若要求 CO2 的排放量不超 过 2(万吨),则购买铁矿石的最少费用为________.(百万元)

解析:

可设需购买 A 矿石 x 万吨, B 矿石 y 万吨,

x≥ 0 ? ? ?y≥ 0 则根据题意得到的约束条件为:? ?0.5x+ 0.7y≥ 1.9 ? ?x+ 0.5y≤ 2



目标函数为 z= 3x+ 6y, 当目标函数经过(1,2)点时目标函数取 最小值,最小值为: zmin=3×1+ 6× 2=15.

答案:

15

6.某餐馆一天中要购买 A, B 两种蔬菜, A、 B 蔬菜每斤的 单价分别为 2 元和 3 元.根据需要, A 蔬菜至少要买 6 斤, B 蔬 菜至少要买 4 斤,而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过 60 元. (1)写出一天中 A 蔬菜购买的斤数 x 和 B 蔬菜购买的斤数 y 之间的不等式组; (2)在给定的坐标系中画出(1)中不等式组表示的平面区域(用 阴影表示),并求出它的面积.

解析:

?2x+ 3y≤60 ? (1)?x≥6 . ?y≥4 ?

(2)画出的平面区域如图, A(6,4),

? ?2x+ 3y= 60 由? ? ?x= 6 ? ?2x+ 3y= 60 由? ? ?y= 4

求得 C(6,16),

求得 B(24,4),

1 1 ∴S△ ABC= AB· AC= ×18×12=108. 2 2

1. 已知 a+ b>0, b<0, 那么 a, b, - a, - b 的大小关系是( A. a>b>- b>- a C. a>- b>b>- a B. a>- b>- a>b D. a>b>- a>- b

)

解析:

方法一:∵ A、B、 C、 D 四个选项中,每个选项都

是唯一确定的答案, ∴可用特殊值法. 令 a= 2, b=- 1,则有 2>-(- 1)>- 1>- 2, 即 a>- b>b>- a. 方法二:∵ a+ b>0, b<0, ∴ a>- b>0,- a<b<0, ∴ a>- b>0>b>- a, 即 a>- b>b>- a.

答案:

C

2.已知不等式 ax

2

? 1 1? -bx-1≥0 的解集是?- ,- ?,则不等 3? ? 2

式 x2-bx-a<0 的解集是( A.(2,3)
?1 1 ? C.? , ? ?3 2 ?

) B.(-∞,2)∪(3,+∞)
? ? 1? ?1 D.?-∞, ?∪? ,+∞? 3? ?2 ? ?

解析:

1 1 由题意知- ,- 是 ax2- bx- 1= 0 的两实根, 2 3
? ?a=- 6 .解得? ? ? b= 5

1? b ? 1 ? - ?= ?-2+? ? 3? a ∴? ? ? ?-1×?-1?=-1 a ? 2 ? 3?



由 x2- bx- a<0 得 x2- 5x+ 6<0. ∴ 2<x<3.

答案:

A

3.设 x,y 满足 x+y=40 且 x,y 都是正数,则 xy 的最大值 是( ) A.400 C.40 B.100 D.20
?x+ y? ?2 xy≤? ? ? = 400,当且仅当 ? 2 ?

解析:
答案:

x=y=20 时等号成立.

A

?x+ y≥ 3, ? 4.设变量 x, y 满足约束条件?x- y≥- 1, ?2x- y≤ 3, ? = 2x+ 3y 的最小值为 ( A. 6 C. 8 ) B. 7 D. 23

则目标函数 z

?x+ y≥ 3, ? 解析: 画出不等式?x- y≥ - 1, ?2x- y≤ 3 ?



示的可行域, 如右图所示. 让目标函数表示 2x z 的直线 y=- + 在可行域上平移,知在 3 3 点 B 处目标函数取到最小值.
? ?x+ y= 3, 解方程组? ? ? 2x- y= 3,

得 B(2,1),所以 zmin= 4+ 3= 7,故选

B.

答案:

B

5. 已知正数 a, b 满足 ab=10, 则 a+b 的最小值是________.

解析: a+b≥2 ab= 2 10,当且仅当 a=b= 10时等号成 立. 答案: 2 10

6.不等式x2+x+k>0恒成立,则k的取值范围是________.
解析: 1 ∴k> . 4 由题意知,Δ<0,即 1-4k<0,

答案:

1 k> 4

2 7.已知函数 f(x)=x + ,解不等式 f(x)-f(x-1)>2x-1. x
2

解析:

2 2 2 由题意可得 x + - (x-1) - >2x-1, x x-1
2

2 化简得 <0,即 x(x-1)<0, x? x-1? 解得 0<x<1. 所以原不等式的解集为 {x|0<x<1}.

8.某糖果厂生产 A、B 两种糖果,A 种糖果每箱可获利润 40 元,B 种糖果每箱可获利润 50 元.其生产过程分混合、烹调、包 装三道工序.下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间 (单位: min). 混合 A B 1 2 烹调 5 4 包装 3 1

每种糖果的生产过程中,混合的设备至多用机器 12 h,烹调 的设备最多只能用机器 30 h,包装的设备最多只能用机器 15 h, 每种糖果各生产多少箱可获得最大利润?

解析: 设生产 A 种糖果 x 箱,生产 B 种糖果 y 箱,可获利 ? ?x+ 2y≤720 ?5x+4y≤ 1 800 ? 润 z 元,即求 z=40x+50y 在约束条件? 3x+y≤900 ? ? x≥ 0,y≥0 ? ? x, y∈N 大值. 作出可行域,如图.

下的最

作直线 l0:40x+50y=0,平移 l0 经过点 P 时, z=40x+ 50y 取最大值,
? ?x+ 2y= 720 解方程组? ? ?5x+ 4y= 1 800

,得点 P 坐标为(120,300).

∴zmax= 40× 120+50× 300=19 800. 所以生产 A 种糖果 120 箱,生产 B 种糖果 300 箱时,可 以获得最大利润 19 800 元.



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