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【全程复习方略】山东专用)2014版高考数学 第五章 第三节 等比数列及其前n项和课时提升作业 理 新人教A版


【全程复习方略】 (山东专用)2014 版高考数学 第五章 第三节 等比数列及其 前 n 项和课时提升作业 理 新人教 A 版
一、选择题 1.已知等比数列{an}的公比 q=2,其前 4 项和 S4=60,则 a2 等于( ) (A)8 (B)6 (C)-8 (D)-6 2.等比数列{an}中,若 log2(a2a98)=4,则 a40a60 等于( ) (A)-16 (B)10 (C)16 (D)256 2 3.在正项等比数列{an}中,a1,a19 分别是方程 x -10x+16=0 的两根,则 a8·a10·a12 等于( (A)16 (B)32 (C)64 (D)256

)

4.(2013·威海模拟)在等比数列{an}中,a1=2,前 n 项和为 Sn,若数列{an+1}也是等比数列,则 Sn 等于( ) (A)2 -2 (C)2n
n+1

(B)3n (D)3 -1
n

5.(2013·德州模拟)已知等比数列{an}中,an>0,a10a11=e,则 ln a1+ln a2+? +ln a20 的值为( (A)12 ) (B)10 (C)8 (D)e )

6.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2 011=3S2 010+2 012,a2 010=3S2 009+2 012,则公比 q=( (A)4 (B)1 或 4 (C)2 (D)1 或 2 7.(2013·吉安模拟)已知 a1 ,

a 2 a3 a , , ?, n , ?是首项为 1,公比为 2 的等比数列,则数列{an}的第 100 a1 a 2 a n ?1

项等于( ) 5 050 4 950 100 99 (A)2 (B)2 (C)2 (D)2 6 8.(2013·汉中模拟)在等比数列{an}中,a6 与 a7 的等差中项等于 48,a4a5a6a7a8a9a10=128 .如果设数列{an} 的前 n 项和为 Sn,那么 Sn=( ) n n (A)5 -4 (B)4 -3 n n (C)3 -2 (D)2 -1 二、填空题 9.(2012·广东高考)若等比数列{an}满足 a 2 a 4 ? 10.已知等比数列{an}的首项为 2,公比为 2,则

1 2 , 则 a1a 3 a 5 =________. 2

a a n ?1 a a1 a a 2 a a 3 … a a n

=_________.

11.数列 1 , 2 ,3 , 4

1 2

1 4

1 8

1 , ? 的前 n 项和为________. 16
*

12.(能力挑战题)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=2Sn+n+1(n∈N ),则数列{an}的通项公式 an=___________. 三、解答题 13.已知数列{an}中,a1=1,前 n 项和为 Sn 且 Sn+1=

3 * Sn+1,n∈N . 2
-1-

(1)求数列{an}的通项公式. (2)求数列{

1 }的前 n 项和 Tn. an 1 1 , ? ) a1 a 2

14.(能力挑战题)已知{an}是各项均为正数的等比数列,且 a1 ? a 2 ? 2(

a 3 ? a 4 ? a 5 ? 64(

1 1 1 ? ? ), a3 a 4 a5

(1)求{an}的通项公式. (2)设 b n ? (a n ?

1 2 ) ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an
2

15.(能力挑战题)设一元二次方程 anx -an+1x+1=0(n=1,2,3,?)有两根α和β,且满足 6α-2αβ+6β=3. (1)试用 an 表示 an+1. (2)求证:数列{an(3)当 a1=

2 }是等比数列. 3

7 时,求数列{an}的通项公式. 6

答案解析 1.【解析】选 A.S4=60,q=2?

a1 (1 ? q 4 ) =60? a1=4, 1? q

∴a2=a1q=4×2=8. 4 2.【解析】选 C.a40a60=a2a98,根据 log2(a2a98)=4 即可求解.根据已知 a2a98=2 =16,所以 a40a60=16. 3.【解析】选 C.根据根与系数的关系得 a1a19=16,由此得 a10=4,a8a12=16,故 a8·a10·a12=64. 4.【解析】选 C.要{an}是等比数列,{an+1}也是等比数列,则只有{an}为常数列,故 Sn=na1=2n. 5.【解析】选 B.ln a1+ln a2+?+ln a20 =ln[(a1a20)·(a2a19)·?·(a10a11)] =ln e =10,故选 B. 6.【解析】选 A.由 a2 011=3S2 010+2 012,a2 010=3S2 009+2 012 两式相减得 a2 011-a2 010=3a2 010,即 q=4. 7. 【解析】 选 B.假设 a0=1,数列{
950 10

a an a a a 0+1+?+99 4 n ?1 }的通项公式是 n ? 2 . 所以 a100= a1 2 3 · ?· 100 =2 =2 a1 a 2 a n ?1 a n ?1 a 99

. 5 8.【解析】选 D.设等比数列{an}的公比为 q,由 a6 与 a7 的等差中项等于 48,得 a6+a7=96,即 a1q (1+q)=96.
-2-


2 由等比数列的性质,得 a4a10=a5a9=a6a8= a 7 .

因为 a4a5a6a7a8a9a10=128 , 则 a7 7 =128 =(2 ) ,即 a1q =2 .
6 6 7 6 6

6



由①②解得 a1=1,q=2, ∴ Sn ?

1 ? 2n ? 2n ? 1, 故选 D. 1? 2
*

2 9.【思路点拨】本题考查了等比数列的性质:已知 m,n,p∈N ,若 m+n=2p,则 a m a n ? a p .

【解析】∵ a 2 a 4 ? ∴ a1a 3 a 5 ? a 3 ?
2 4

1 1 2 , ∴ a3 ? , 2 2

1 . 4

答案:

1 4
n

10.【解析】由题意知 an=2 , 所以

a a n?1 a a1 a a 2 a a 3 … a a n

?

2a n?1 2
a1 ? a 2 ?…? a n

?

22 2

n ?1

2n ?1 ? 2

=2 =4.

2

答案:4 11.【解析】设所求的前 n 项和为 Sn,则 Sn ? (1 ? 2 ??? n) ? ( ?

1 2

n ? n ? 1? 1 1 1 ??? n ) ? ?1? n . 4 2 2 2

答案:

n ? n ? 1? 1 ?1? n 2 2

12.【解析】∵Sn+1=2Sn+n+1,当 n≥2 时 Sn=2Sn-1+n, 两式相减得:an+1=2an+1, ∴an+1+1=2(an+1),即

a n ?1 ? 1 =2. an ?1

又 S2=2S1+1+1,a1=S1=1, ∴a2=3,∴

a2 ?1 =2, a1 ? 1

∴{an+1}是首项为 2,公比为 2 的等比数列, n n * ∴an+1=2 即 an=2 -1(n∈N ). n 答案:2 -1 【方法技巧】含 Sn,an 问题的求解策略 当已知含有 Sn+1,Sn 之间的等式时, 或者含有 Sn,an 的混合关系的等式时, 可以采用降级角标或者升级角标的 方法再得出一个等式,两个等式相减就把问题转化为数列的通项之间的递推关系式.

-3-

13.【解析】(1)由 Sn ?1 ? 得当 n≥2 时 Sn ? ∴ Sn ?1 ? Sn ? 即 a n ?1 ?

3 Sn ? 1 , 2

3 Sn ?1 ? 1 , 2

3 ?Sn ? Sn ?1 ? , 2

a 3 3 a n, ? n ?1 ? , 2 an 2
3 3 a1 ? 1 ? a1 ? a 2, ?a2 ? , 2 2

又 a1=1,得 S2 ? ∴

a2 3 ? , a1 2
3 的等比数列, 2

∴数列{an}是首项为 1,公比为 ∴ an ? ( )

3 2

n ?1

.

(2)∵数列{an}是首项为 1,公比为

3 的等比数列, 2

∴数列{

2 1 }是首项为 1,公比为 的等比数列, 3 an

2 1 ? ( )n 3 ? 3[1 ? ( 2 ) n ] ∴ Tn ? . 2 3 1? 3
14.【思路点拨】(1)设出公比根据条件列出关于 a1 与 q 的方程组求得 a1 与 q,即可求得数列的通项公式. (2)由(1)中求得数列的通项公式,可求出{bn}的通项公式,由其通项公式可知分开求和即可. n-1 【解析】(1)设公比为 q,则 an=a1q .由已知得

1 1 ? ?a1 ? a1q ? 2( a ? a q ), ? 1 1 ? ?a q 2 ? a q 3 ? a q 4 ? 64( 1 ? 1 ? 1 ). 1 1 1 ? a1q 2 a1q 3 a1q 4 ?
化简得 ?
2 ? ?a1 q ? 2, 2 6 ? ?a1 q ? 64.
n-1

又 a1>0,故 q=2,a1=1,所以 an=2 . (2)由(1)得 bn ? (a n ? =4
n ?1

1 2 1 ) ? a2 n ?2? 2 an an

?

1 ? 2. 4n ?1
-4-

所以 Tn ? (1 ? 4 ? … ? 4
n

n ?1

) ? (1 ?

1 1 ? … ? n ?1 ) ? 2n 4 4

1 1 ? ( )n 1? 4 4 ? 2n ? ? 1 1? 4 1? 4 1 ? (4n ? 41? n ) ? 2n ? 1. 3
15.【解析】(1)∵一元二次方程 anx -an+1x+1=0(n=1,2,3,?)有两根α和β, 由根与系数的关系易得 ? ? ? ?
2

a n ?1 1 , ?? ? , an an

∵6α-2αβ+6β=3,∴

6a n ?1 2 ? =3, an an

1 1 an ? . 2 3 1 1 (2)∵ a n ?1 ? a n ? , 2 3 2 1 2 ∴ a n ?1 ? ? (a n ? ) , 3 2 3 2 a n ?1 ? 2 3?1 , 当 a n ? ≠0 时, 2 3 2 an ? 3 2 2 当 a n ? ? 0 ,即 a n ? 时, 3 3 2 2 2 此时一元二次方程为 x ? x ? 1 ? 0 , 3 3
即 a n ?1 ? 即 2x -2x+3=0, ∵Δ=4-24<0,
2

2 }是等比数列. 3 2 2 7 2 1 1 (3)由(2)知:数列{ a n ? }是以 a1 ? ? ? ? 为首项,公比为 的等比数列, 3 3 6 3 2 2 2 1 1 n ?1 1 n ∴ an ? ? ? ( ) ? ( ) , 3 2 2 2 1 n 2 即 an ? ( ) ? , 2 3 1 n 2 ∴数列{an}的通项公式是 a n ? ( ) ? . 2 3
∴不合题意,即数列{ a n ? 【变式备选】定义:若数列{An}满足 An+1= A 2 n ,则称数列{An}为“平方递推数列”.已知数列{an}中,a1=2, 点(an,an+1)在函数 f(x)=2x +2x 的图象上,其中 n 为正整数. (1)证明:数列{2an+1}是“平方递推数列” ,且数列{lg(2an+1)}为等比数列.
-52

(2)设(1)中“平方递推数列”的前 n 项之积为 Tn,即 Tn=(2a1+1)(2a2+1)?(2an+1),求数列{an}的通项公式 及 Tn 关于 n 的表达式. 【解析】(1)由条件得:an+1= 2a 2 n +2an, ∴2an+1+1= 4a 2 n +4an+1=(2an+1) ,
2

∴{2an+1}是“平方递推数列”. ∵lg(2an+1+1)=2lg(2an+1), ∴

lg ? 2a n ?1 ? 1? ? 2, lg ? 2a n ? 1?

∴{lg(2an+1)}为等比数列. (2)∵lg(2a1+1)=lg5, n-1 ∴lg(2an+1)=lg5·2 , ∴2an+1= 52 ,∴ a n ?
n ?1

1 2n?1 (5 ? 1) . 2

lg5 (1 ? 2n ) ? (2n ? 1)lg5 , ∵lgTn=lg(2a1+1)+lg(2a2+1)+?+lg(2an+1)= 1? 2
∴Tn= 5
2n ?1

.

-6-


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