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高中数学11空间几何体116棱柱棱锥棱台和球的表面积优化训练新人教B版必修2

1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 5 分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1. 在一个长方体上钻一个圆柱形的孔,钻孔后得到的几何体与原长方体相比,其表面积 ( ) A.变大了 B.变小了 C.相等 D.不一定 解析:当钻的孔即圆柱底面面积之和等于侧面积时,相等;当底面面积之和小于侧面积时, 变大;当底面面积之和大于侧面积时,变小. 答案:D 2.一个正三棱台的上下底面边长为 3 cm 和 6 cm,高为 A. 27 3 B. 9 3 C. 3 cm,则此三棱台的侧面积是( 2 D.以上都不对 ) 27 3 2 解析:虽然根据正三棱台的侧面是等腰梯形,可以求出这个等腰梯形的高,进而可求得侧面 积,但这里的选项A、B、C中皆没有单位 cm,所以选 D. 答案:D 3.若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为____________. 解 : 正 方 体 的 对 角 线 即 为 球 的 直 径 , 直 径 d= d= 3 3 ? R= 32 ? 32 ? 32 ? 27 ? 3 3 , 由 3 3 ?S=4π R2=27π . 3 答案:27π 10 分钟训练(强化类训练,可用于课中) 1.已知正六棱柱的高为 h,底面边长为 a,则它的全面积为( A. 3 3a ? 6ah 2 ) B. 3a ? 6h 2 C. 4 3a ? 6ah 2 D. 3 3a 2 ? 6ah 2 侧 解析:柱体的全面积是侧面积加上底面积,据正六棱柱的性质,得其全面积为 S =6ah+ 3 3 a . 2 +2S 底 答案:A 2.如果圆台的母线与底面成 60°角,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为( A.2π B. ) 3? 2 C. 2 3? 3 D. ? 2 解析: 可以把母线的长设为 1,根据已知求出圆台的高,进而根据公式分别求出圆台的侧面积 和轴截面的面积. 答案:C 3.侧面都是直角三角形的正棱锥,底面边长为 a,则此棱锥的全面积是( ) A. 3? 3 2 a 4 B. 3? 3 2 a 2 1 C. 6? 3 2 a 4 D.都不对 解析:首先要搞清楚这个正棱锥只能是正三棱锥,这是因为正棱锥的同一个顶点上的各侧面 顶角之和小于 360°,则易得答案为 A. 答案:A 4.过球的一条半径的中点, 作垂直于该半径的平面, 则所得截面的面积与球的表面积的比为 ( ) 3 8 R 解:如图所示,设球半径为 R,由题意知 OO′= ,OF=R, 2 A. B. C. 3 16 9 16 D. 9 32 S ∴r= 3 R. 2 2 S 截面=π r =π ( S 球=4π R . 2 3 2 3 3 R) = π R , 4 2 ∴ S 截面 S球 3 2 ?R 3 4 ? ? . 2 16 4?R 答案:A 5.图 1-1-6-1 所示的是由 18 个边长为 1 cm 的小正方体拼成的几何体, 求此几何体的表面积 是多少? 图 1-1-6-1 解析:从图中可以看出,18 个小正方体一共摆了三层,第一层 2 个,第二层 7 个,因为 18-7-2=9,所以第三层摆了 9 个.另外,上、下两个面的表面积是相同的,同样,前、后、 左、右两个面的表面积也是分别相同的. 2 解:因为小正方体的棱长是 1 cm,所以上面的表面积为 12×9=9(cm ) ; 2 前面的表面积为 12×8=8(cm ) ;左面的表面积为 12×7=7(cm ), 几何体的表面积为 9×2+8×2+7×2=48. 30 分钟训练(巩固类训练,可用于课后) 1.长方体的一个顶点上三条棱分别是 3、4、5,且它的 8 个顶点都在同一球面上,则这个球 的表面积是( ) A.25π B.50π C.125π D.都不对 解析:由于长方体的对角线的长是球的直径.所以可求得这个球的直径是 50 ,然后代入球 的表面积公式 S=4π R 即可. 答案:B 2.若正三棱锥的斜高是高的 2 2 2 2 3 倍,则棱锥的侧面积是底面积的( 3 C. ) A. 2 倍 3 B.2 倍 8 倍 3 D.3 倍 解析:由已知易求侧棱与高的夹角是 60°,进而求得对于同一底边,侧面三角形和底面三角 形的高的比为 2∶3,由此易得答案. 答案:B 3.现要建造一个长方体形状的仓库,其内部的高为 3 m,长和宽的和为 20 m,那么仓库的容积 的最大值是( ) 3 3 3 3 A.300 m B.400 m C.200 m D.240 m 2 解:设长方体的长为 x,则宽为 20-x,所以 V=3x(20-x)=-3(x-10) +300≤300.故最大容积为 3 300 m . 答案:A 4.下列四个结论中,错误的个数为( ) ①经过球面上任意两点,可以作且只可以作一个球的大圆;②球面积是它大圆面积的四倍;③ 球面上两点的球面距离,是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长. A.0 B.1 C.2 D.3 2 2 解析: 当球面上的两点与球心共线时可作无数个球的大圆,①错;S 球=4π R ,S 大圆=π R .所以 S 球=4S 大圆,②正确;球面上两点的球面距离是球面上的两点之间的最短距离 ,就是经过两点的 大圆在这两点间的一段劣弧的长度,并非任意截面圆上,所以③错. 答案:C 5.如图 1-1-6-2 所示,正方体棱长为 3 cm,在每个面正中央有个入口为正方形的孔道通到对 面,孔的边长为 1 cm,孔的各棱平行于正方体各棱.则所得几何体的总表面积为( ) 图 1-1-6-2 2 2 2 2 A.54 cm B.76 cm C.72 cm D.84 cm 2 2 2 解:由题意知该几何体的表面积包含外部表面积与内部表面积.S 外=6×3 -6×1 =48( cm ),S 2 内=4×6=24( cm ). 2 ∴S 总=48+

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