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圆的标准方程 教案

圆的标准方程
成安一中 李建涛 教学内容分析
圆是解析几何中一类重要的曲线, 而圆的标准方程的学习是在学生学习了直 线与方程的基础知识之后, 知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图 形性质这一基础上进行展开的, 在学习中充分体现了数形结合的思想,以及用代 数方法解决几何问题的思想,是进一步学习圆锥曲线的基础。

学情分析
在知识上,他们在初中的时候,已经对圆有所接触,学习了圆的一些基础知 识。在平时的生活中,学生对圆的接触也比较多,因此对推导圆方程的过程较易 接受。在能力上,学生已经掌握了图像观察能力和分析能力,也基本了解了数形 结合的思想方法和用代数法解决几何问题的思想。 但是学生平时较重视课本知识 的学习, 缺乏探究能力, 因此对圆的标准方程的推导, 有一定的弊端。 在情感上, 学生对已接触过的事物富有较高的激情,学习动机更容易被激发。

教学目标
(1)知识与技能 1. 能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程; 2. 能够通过圆的方程,通过数形结合判断一个点是否在圆上,处于圆的什 么位置上。 3. 能利用待定系数法求圆的标准方程。 (2)过程与方法 进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,通过 圆的标准方程解决实际问题的学习,注意培养学生观察问题、发现问题和解决问 题的能力。 (3)情感态度与价值观 通过利用已学知识学会分析、解决问题,品尝成功的喜悦,增强学生学习数 学的兴趣,并激发学生学习数学的自信心

教学重点和难点
重点: 圆的标准方程的推导过程和圆标准方程特征的理解与掌握。 难点: (1)由已知条件求圆的标准方程 (2)判断点和圆的位置关系

教学方法
讲授法与引导发现法相结合

教学过程
一、 设置情境,引入新课 【师生活动】 教师用多媒体播放实际生活中圆的模型,引导学生从中抽象出圆的 几何图形。 问题 1: 圆在我们的生活中无处不在,日出东方,车行天下,这些都是圆的具 体表现形式。如何确定一个圆呢? 【师生活动】 学生思考并回顾圆的定义:平面内与一定点距离等于定长的点的轨 迹称为圆, 教师引导发现圆的两要素: 圆心、 半径。 教师进而将轨迹抽象成曲线, 并引出新课内容圆方程中的一种——圆的标准方程。 【设计意图】 教师从学生熟知的生活情境导入新课, 有利于激发学生的学习兴趣, 让学生体会数学与生活的紧密联系,然后引导学生回顾圆的定义,既引出新课, 又为下面求圆的标准方程做铺垫。 二、逐步探究,发现新知 问题 2:建立直角坐标系,画一个以 C(a ,b)为圆心,r 为半径的圆。 (其中 a、 b、r 都是常数,r>0) 【师生活动】教师从圆的定义引出问题 2,让学生利用定义及两点之间的距离公 式得出:
( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r

, 教师巡视并给与一定的指导。

进一步化简:

教师板书讲解:设 M(x,y)为这个圆上任意一点, 点 M 满足的条件是 P={M||MA|=r}, 即
( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r

① ② ——圆的标准方程。

化简可得: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2

思考 1:圆的方程形式有什么特点? 思考 2:当圆心在原点时,圆的方程是什么? 【师生活动】教师引导学生发现: a.二元二次方程,x,y 的系数均为 1; b.含有 a,b,r 三个参数; c. 圆心(a,b) ,半径为 r 【设计意图】教师通过让学生动手化简,加深学生对圆的标准方程的记忆,再让 学生自主发现圆方程的特征,体现学生的主体地位,也让学生体验发现的喜悦。

三、 课堂练习,巩固提高
1、求下列圆的圆心和半径: (1)(x+1)2+(y-1)2=1; (2)x2+(y+4)2=7; (3)(x+1)2+(y+2)2 =m2 练习1、写出下列各圆的方程 (1)圆心在原点,半径是3; (2)经过点 P(5,1),圆心在点 C(8,-3); (3)以 O(0,0),A(6,8)为直径的圆。 【师生活动】教师让学生依次回答。 例 1 : 写 出 圆 心 为 A( 2 ? , 3半 ) 径长等于 5 的圆的方程,并判断点 M 1 (5, ?7), M 2 (? 5, ?1) 是否在这个圆上。 【师生活动】师生共同分析解答,教师板书展示解题过程: 分析:可以从计算点到圆心的距离入手。 解:圆心是 A(2,–3),半径长等于 5 的圆的标准方程 是(x+3)2+(y+3)2=25. 把 M1 (5 , –7) , M2 ( ? 5 , –1) 的 坐 标 代 入 方 程 (x–2) +(y+3) =25,左右两边相等,点 M1 的坐标适合圆的 方程,所以点 M2 在这个圆上;把 M2 ( ? 5 ,–1)的坐标代入 方程(x–2)2+(y+3)2=25,左右两边不相等,点 M2 的坐标不适 合圆 的方程,所以 M2 不在这个圆上。 探究:那么点 M 2 在哪里? 【师生活动】教师引导学生深入思考点在圆内,还是在圆外?回归圆的定义,通 过判定点到圆心的距离与圆半径的大小关系来判断点和圆的位置关系。 点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的关系的判断方法:
2 2

设点M(x0 , y0 )到圆心(a,b)的距离为d. 1.d>r 2.d =r 3.d<r ? ? ? 点在圆外 点在圆上 点在圆内
探究扩展:

点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的关系的判断方法: (1) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r 2 ,点在圆外 (2) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r 2 ,点在圆上 (3) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r 2 ,点在圆内

例 2: ? ABC 的三个顶点的坐标是 A(5,1), B(7, ?3), C (2, ?8), 求它的外接圆的方程。 【师生活动】教师分析:从圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 可知,要确定圆 的标准方程,可用待定系数法确定 a、b、r 三个参数。并鼓励学生从其他角度思 考问题:如外接圆的定义。请两位学生到黑板上做,其他同学自己做,教师巡视 并指导,最后讲解点评黑板上的解题过程。 【学情分析】 学生可能只是局限于用二元二次方程解圆的标准方程,这是教师可 以引导学生用三角形外接圆的定义出发,通过中垂线寻找圆心,再用圆的标准方 程解题。 【设计意图】通过练习巩固性的知识,并进一步加深对圆的标准方程的认识。 四、 课堂小结 1、圆的标准方程: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 2 2 2 2、点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系的判断方法: 2 2 2 (1) ( x0 ? a) ? ( y0 ? b) > r ,点在圆外;
2 2 2

(2) ( x ? a) ? ( y ? b) = r ,点在圆上; 2 2 2 (3) ( x0 ? a) ? ( y0 ? b) < r ,点在圆内。 3、圆的标准方程求解方法:①待定系数法 ②数形结合法。 五、作业布置 1、阅读课本第120页例题3; 2、课本第120页练习第1、2、3题
2 2 0 0

2

3、第124页习题4.1A 组第1、2题 【设计意图】由学生小结本节课学习到的数学知识与方法, 让学生自己总结本节 课的收获,体现了以学生为主体的课堂教学,有利于学生进一步巩固所学知识。 作业的布置,可以让学生巩固左学的知识 六、板书设计
圆的标准方程 一、
2

圆的标准方程
2 2

例1 例2

(x-a) +(y-b) =r

圆心 C(a,b) ,半径 r 二 、点和圆的位置关系


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