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2014年普通高等学校招生全国统一考试新课标卷2(数学理)


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(全国 2 卷)
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题。每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1. 设集合 M ? {0,1, 2}, N ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} ,则 M (A) {1} (B) {2} (C) {0,1}

N? (



(D) {1, 2} )

2.设复数 z1 , z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称, z1 ? 2 ? i ,则 z1 z2 ? ( (A) ?5 (B) 5 (C) ?4 ? i (D) ?4 ? i )

3.设向量 a , b 满足 | a + b |= 10 , | a ? b |= (A) 1 (B) 2

6 ,则 a ? b = (

(C) 3

(D) 5 )

4.钝角三角形 ABC 的面积是 (A) 5 (B) 5

1 , AB ? 1 , BC ? 2 ,则 AC ? ( 2
(C) 2 (D) 1

5.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是 0.75 ,连续两天为优良的概率是 0.6 , 已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( (A) 0.8 (B) 0.75 (C) 0.6 (D) 0.45 )

6.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个 底面半径为 3cm,高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( (A) 17 (B) 5 )

27

9

(C) 10 (D) 1

27
3

7.执行右图程序框图,如果输入的 x , t 均为 2 , 则输出的 S ? ( (A) 4 ) (B) 5 (C) 6 (D) 7

8.设曲线 y ? ax ? ln( x ? 1) 在点 (0, 0) 处的切线方程为 y ? 2 x ,则 a ? ( (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3



? x? y?7 ? 0 ? 9.设 x , y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ?3 x ? y ? 5 ? 0 ?
(A) 10 (B) 8 (C) 3 (D) 2



10.设 F 为抛物线 C : y 2 ? 3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30 的直线交 C 于 A, B 两点, O 为坐标原点,则

?OAB 的面积为( )
(A)

3 3 4

(B)

9 3 8

(C) 63

32

(D) 9

4

11.直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?BAC ? 90 , M 、N 分别是 A1 B1、A1C1 的中点, BC ? CA ? CC1 , 则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为( (A) 1 (B) 2 ) (C)

10

5

30 10

(D)

2 2
2

2 12. 设函数 f ? x ? ? 3 sin ? x . 若存在 f ? x ? 的极值点 x0 满足 x0 2 ? ? ? f ? x0 ? ? ? ? m ,则 m 的取值范围是 m





(A) ? ??, ?6?

?6, ??? (B) ? ??, ?4? ? 4, ??? (C) ? ??, ?2? ? 2, ??? (D) ? ??, ?1? ?1, ???
第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. ? x ? a ? 的展开式中, x 7 的系数为 15 ,则 a ? ________.(用数字填写答案)
10

14.函数 f ? x ? ? sin ? x ? 2? ? ? 2sin ? cos ? x ? ? ? 的最大值为_________. 15.已知偶函数 f ? x ? 在 ?0, ??? 单调递减, f ? 2? ? 0 .若 f ? x ?1? ? 0 ,则 x 的取值范围是__ _. 16.设点 M ( x0 ,1) , 若在圆 O : x2 ? y 2 ? 1 上存在点 N , 使得 ?OMN ? 45 , 则 x0 的取值范围是________.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 3an ? 1 .(Ⅰ)证明 an ? 1 是等比数列,并

?

2

?

求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)证明: 1 ? 1 ? …+ 1 ? 3 .

a1

a2

an

2

18. (本小题满分 12 分) 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形,PA ? 平面 ABCD ,E 为 PD 的中点。 (Ⅰ)证明: PB //平面 AEC ; (Ⅱ)设二面角 D ? AE ? C 为 60 , AP ? 1 ,

AD ? 3 ,求三棱锥 E ? ACD 的体积.

19. (本小题满分 12 分)某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y (单位:千元)的数据如 下表: 年份 年份代号 t 人均纯收入 y 2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9

(Ⅰ)求 y 关于 t 的线性回归方程; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并 预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入.

附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为: b ?

? ?t
i ?1

n

i

?t
i

?? yi ? y ?
?t

? ?t
i ?1

n

?

, a ? y ? bt .

2

2 x2 y M 是 C 上一 20. (本小题满分 12 分)设 F 1 , F2 分别是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点,

a

b

点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N .(Ⅰ)若直线 MN 的斜率为 3 ,求 C 的离心率;

4

(Ⅱ)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2 ,且 MN ? 5 F 1 N ,求 a , b .

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ex ? e? x ? 2x (Ⅰ)讨论 f ? x ? 的单调性; (Ⅱ)设 g ? x ? ? f ? 2x ? ? 4bf ? x ? ,当 x ? 0 时, g ? x ? ? 0 ,求 b 的最大值; (Ⅲ)已知 1.4142 ?

2 ? 1.4143,估计 ln 2 的近似值(精确到 0.001 ).

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, P 是 O 外一点, PA 是切线, A 为切点,割线 PBC 与 为 PC 的中点, AD 的延长线交 O 于点 E ,证明: (I) BE ? EC ; (II) AD DE ? 2 PB .
2

O 相交于点 B, C , PC ? 2 PA , D

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为

? ? ? 2cos ? , ? ? [0, ] .
2
(I)求 C 的参数方程; (II)设点 D 在 C 上, C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(I)中你得到的参数方程, 确定 D 的坐标. (24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ?

1 | ? | x ? a | (a ? 0) . a

(I)证明: f ( x) ? 2 ; (II)若 f (3) ? 5 ,求 a 的取值范围.

2014 年普通高等学校招生全国统一考试 新课标Ⅱ理科数学试题参考答案 一、选择题 (1)D (7)D 二、填空题 (13) (2)A (3)A (4)B (5)B (6)C

(8)D (9)B (10)D

(11)C (12)C

1 2

(14) 1

(15) (?1,3)

(16) [?1,1]

三.解答题 (17)解:

1 1 (Ⅰ)由 an?1 ? 3an ? 1 得 an ?1 ? ? 3( an ? ) ,所以 2 2

an ?1 ?

1 2 ? 3. 1 an ? 2

又 a1 ?

3 1 3 1? ? ? ,所以 ? an ? ? 是首项为 ,公比为 3 的等比数列., 2 2 2 2? ?

3n ? 1 因此 ?an ? 的通项公式为 an ? . 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知

1 2 . ? n an 3 ? 1
1 1 ? . 3 ? 1 2 ? 3n ?1
n

n n ?1 因为当 n ? 1 时, 3 ? 1 ? 2 ? 3 ,所以

于是

1 1 1 1 1 3 1 3 ? ? …+ ? 1 ? ? L ? n?1 ? (1 ? n ) ? . a1 a2 an 3 2 2 3 3

所以 1 ? 1 ? …+ 1 ? 3 .

a1

a2

an

2

(18)解: (Ⅰ)连结 BD 交 AC 于点 O ,连结 EO . 因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点. 又 E 为 PD 的中点,所以 EO // PB .

EO ? 平面 AEC , PB ? 平面 AEC ,所以 PB //平面 AEC .
(Ⅱ)因为 PA ? 平面 ABCD , ABCD 为矩形,所以 AB, AD, AP 两两垂直. 如图,以 A 为坐标原点, AB 的方向为 x 轴的正方向,为 | AP | 为单位长,建立空间直角坐标系 A ? xyz ,则

D(0, 3,0) , E (0,

3 1 3 1 , ) , AE ? (0, , ). 2 2 2 2

设 B(m,0,0) (m ? 0) ,则 C(m, 3,0) , AE ? (m, 3,0) . 设 n1 ? ( x, y, z ) 为平面 ACE 的法向量,

z

? mx ? 3 y ? 0 ? ? ?n1 ? AC ? 0 则? ,即 ? 3 , 1 y? z?0 ? ? ?n1 ? AE ? 0 ? 2 2
可取 n1 ? (

y

O

3 , ?1, 3) . m

x

又 n2 ? (1,0,0) 为平面 DAE 的法向量, 由题设 | cos ? n1 , n2 ?|?

1 ,即 2

3 3 1 ? ,解得 m ? . 2 2 2 3 ? 4m
因为 E 为 PD 的中点,所以三棱锥 E ? ACD 的高为

1 ,三棱锥 E ? ACD 的体积 2

1 1 3 1 3 V ? ? ? 3? ? ? ? 3 2 2 2 8
(19)解: (Ⅰ)由所给数据计算得

t?

1 (11 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7) ? 4 7 1 y ? (2.9 ? 3.3 ? 3.6 ? 4.4 ? 4.8 ? 5.2 ? 5.9) ? 4.3 7
7 i

? (t
i ?1
7

? t ) ? 9 ? 4 ? 1 ? 0 ? 1 ? 4 ? 9 ? 28
? t )( yi ? y) ? (?3) ? (?1.4) ? (?2) ? (?1) ? (?1) ? (?0.7) ? 0 ? 0.1 ? 1? 0.5 ? 2 ? 0.9 ? 3 ? 1.6 ? 14
n

? (t
i ?1

i

b?

? ?t
i ?1

i

?t
i

?? yi ? y ?
?t

? ?t
i ?1

n

?

?

2

14 ? 0.5 28

a ? y ? bt ? 4.3 ? 0.5 ? 4 ? 2.3
所求回归直线方程为 y ? 0.5t ? 2.3

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 b ? 0.5 ? 0 ,故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增 加 0.5 千元. 将 2015 年的年份代号 t ? 9 代入(Ⅰ)中的回归直线方程,得

y ? 0.5 ? 9 ? 2.3 ? 6.8
故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元. (20)解

b2 2 (I)根据 c ? a ? b 及题设知 M (c, ) , 2b ? 3ac a
2 2

将 b ? a ? c 代入 2b ? 3ac ,
2 2 2 2

c 1 c ? , ? ?2 (舍去) a 2 a 1 故 C 的离心率为 2
解得 (II)由题意,原点 O 为 F1 F2 的中点, MF2 // y 轴, 所以直线 MF2 与 y 轴的交点 D(0, 2) 是线段 MF1 的中点,



b2 ? 4 ,即 b2 ? 4a a



由 | MN |? 5 | F1 N | 得 | DF1 |? 2 | F1 N | . 设 N ( x1 , y1 ) ,由题意知 y1 ? 0 ,

3 ? ?2(?c ? x1 ) ? c ? x1 ? ? c 则? ,即 ? 2 ??2 y1 ? 2 ? ? y1 ? ?1
代入 C 的方程,得 将①及 c ?

9c 2 1 ? 2 ?1 2 4a b



a2 ? b2 代入②得

9(a 2 ? 4a) 1 ? ?1. 4a 4a 2
2 解得 a ? 7 ,故 b ? 4a ? 28 ,

故 a ? 7, b ? 2 7

(21)解: (Ⅰ) f ( x) ? e ?
' x

1 ? 2 ? 0 ,等号仅当 x ? 0 时成立. ex

所以 f ( x ) 在 (??, ??) 单调递增; (Ⅱ) g ? x ? ? f ? 2x ? ? 4bf ? x ? ? e2 x ? e?2 x ? 4b(ex ? e? x ) ? (8b ? 4) x

g ? ? x ? ? 2[e2 x ? e?2 x ? 2b(ex ? e? x ) ? (4b ? 2)]
? 2(ex ? e? x ? 2)(e x ? e? x ? 2b ? 2)
(i)当 b ? 2 时, g ?( x) ? 0 ,等号仅当 x ? 0 时成立,所以 g ( x) 在 (??, ??) 单调递增.而 g (0) ? 0 ,所以 对任意 x ? 0 , g ( x) ? 0 .
x ?x (ii)当 b ? 2 时,若 x 满足 2 ? e ? e ? 2b ? 2 ,即 0 ? x ? ln(b ? 1 ? b2 ? 2b ) 时

g ?( x) ? 0 .而 g (0) ? 0 , 因此当 0 ? x ? ln(b ? 1 ? b2 ? 2b ) 时, g ?( x) ? 0 .
综上, b 的最大值为 2 . (iii)由(ii)知, g ln 2 ? 3 ? 2 2b ? 2(2b ? 1)ln 2 .

?

?

2

8 2 ? 3 ? 0.6928 当 b ? 2 时, g ln 2 ? 3 ? 4 2 ? 6ln 2 ? 0 , ln 2 ? ,

?

?

2

12

当b ?

3 2 ?1 时, ln(b ? 1 ? b2 ? 2b ) ? ln 2 4 g ln 2 ? ? 3 ? 2 2 ? (3 2 ? 2)ln 2 ? 0 2

?

?

ln 2 ? 18 ? 2 ? 0.6934 28
所以 ln 2 的近似值为 0.693 .

(22) (I)连结 AB , AC , 由题设知 PA ? PD ,故 ?PAD ? ?PDA 因为 ?PDA ? ?DAC ? ?DCA ,

?PAD ? ?BAD ? ?PAB ,

?DCA ? ?PAB ,
所以 ?DAC ? ?BAD ,从而 BE ? EC 因此 BE ? EC

(II)由切割线定理得 PA ? PB ? PC .
2

因为 PA ? PD ? DC , 所以 DC ? 2 PB , BD ? PB . 由相交弦定理得 AD ? DE ? BD ? DC . 所以 AD ? DE ? 2 PB .
2

(23)解: (I) C 的普通方程为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1(0 ? x ? 1) 可得 C 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? cos t ( t 为参数, 0 ? t ? ? ) ? y ? sin t

(II)设 D(1 ? cos t ,sin t ) ,由(I)知 C 是以 G (1, 0) 为圆心, 1 为半径的上半圆. 因为 C 在点 D 处的切线与 l 垂直,所以直线 GD 与 l 的斜率相同.

tan t ? 3, t ?

?
3

故 D 的直角坐标为 (1 ? cos (24)解:

?

? 3 3 ,sin ) ,即 ( , ) 3 3 2 2
1 1 1 | ? | x ? a |?| x ? ? ( x ? a ) |? ? a ? 2 a a a

(I)由 a ? 0 ,有 f ( x) ?| x ? 所以 f ( x) ? 2 (II) f (3) ?| 3 ?

1 | ? | 3 ? a |. a 1 5 ? 21 ,由 f (3) ? 5 得 3 ? a ? a 2 1 1? 5 ?a?3 ,由 f (3) ? 5 得 a 2

当 a ? 3 时, f (3) ? a ?

当 0 ? a ? 3 时, f (3) ? 6 ? a ?

综上, a 的取值范围是 (

1 ? 5 5 ? 21 , ). 2 2



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