当前位置:首页 >> 数学 >>

立体几何知识点总结完整版


师大教育,助你成功

立体几何知识点总结完整版

【2013 考纲解读】 1、平面的概念及平面的表示法,理解三个公理及三个推论的内容及作用,初步掌握性 质与推论的简单应用。 2、空间两条直线的三种位置关系,并会判定。 3、平行公理、等角定理及其推论,了解它们的作用,会用它们来证明简单的几何问题, 掌握证明空间两直线平行及角相等的方法。 4、异面直线所成角的定义,异面直线垂直的概念,会用图形来表示两条异面直线,掌 握异面直线所成角的范围,会求异面直线的所成角。 5.理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法和数乘;了解空间向量的基本定理, 理解空间向量坐标的概念,掌握空间向量的坐标运算;掌握空间向量的数量积的定义及其性 质,掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式. 6.了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念.掌握棱柱,棱锥的性质,并 会灵活应用,掌握球的表面积、体积公式;能画出简单空间图形的三视图,能识别上述的三视 图所表示的立体模型,会用斜二测法画出它们的直观图. 7.空间平行与垂直关系的论证. 8. 掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法,掌握三垂线定理及其逆定理,并能熟 练解决有关问题,进一步掌握异面直线所成角的求解方法,熟练解决有关问题. 9.理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念会用求距离的常用 方法(如:直接法、转化法、向量法).对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或 用向量表示的情况)和距离公式计算距离。 【知识络构建】

师大教育,助你成功

【重点知识整合】 1.空间几何体的三视图 (1)正视图:光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图; (2)侧视图:光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图; (3)俯视图:光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图. 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图. 2.斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤 (1)建立直角坐标系,在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的 Ox,Oy,建立直角坐 标系; (2)画出斜坐标系,在画直观图的纸上(平面上)画出对应的 Ox′,Oy′,使∠x′Oy′=45° (或 135° ),它们确定的平面表示水平平面; (3)画对应图形,在已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中画成平行于 x′轴,且长度 保持不变;在已知图形中平行于 y 轴的线段,在直观图中画成平行于 y′轴,且长度变为原来 的一半; (4)擦去辅助线,图画好后,要擦去 x 轴、y 轴及为画图添加的辅助线(虚线). 3.体积与表面积公式: (1)柱体的体积公式: V柱 ? Sh ;锥体的体积公式: V锥 ? 台体的体积公式: V棱台 ?

1 Sh ; 3

1 4 h( S ? SS ? ? S ?) ;球的体积公式: V球 ? ? r 3 . 3 3
2

(2)球的表面积公式: S球 ? 4? R . 【高频考点突破】

师大教育,助你成功

考点一 空间几何体与三视图 1.一个物体的三视图的排列规则是:俯视图放在正视图的 下面, 长度与正视图的长度一样, 侧视图放在正视图的右面, 高度与正视图的高度一样, 宽度与俯视图的宽度一样.即“长对正、高平齐、宽相等”. 2.画直观图时,与坐标轴平行的线段仍平行,与 x 轴、z 轴 平行的线段长度不变,与 y 轴平行的线段长度减半. 例 1、将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为 ( )

解析:如图所示,点 D1 的投影为点 C1,点 D 的投影为点 C,点 A 的投影为点 B.

答案:D 【方法技巧】该类问题主要有两种类型:一是由几何体确定三视图;二是由三视图还原 成几何体.解决该类问题的关键是找准投影面及三个视图之间的关系.抓住“正侧一样高, 正俯一样长,俯侧一样宽”的特点作出判断. 考点二 空间几何体的表面积和体积 常见的一些简单几何体的表面积和体积公式: 圆柱的表面积公式:S=2πr2+2πrl=2πr(r+l)(其中 r 为底面半径,l 为圆柱的高); 圆锥的表面积公式:S=πr2+πrl=πr(r+l)(其中 r 为底面半径,l 为母线长); 圆台的表面积公式:S=π(r′2+r2+r′l+rl)(其中 r 和 r′分别为圆台的上、下底面半径,l 为母线长);

师大教育,助你成功

柱体的体积公式:V=Sh(S 为底面面积,h 为高); 1 锥体的体积公式:V= Sh(S 为底面面积,h 为高); 3 1 台体的体积公式:V= (S′+ S′S+S)h(S′、S 分别为上、下底面面积,h 为高); 3 4 球的表面积和体积公式:S=4πR2,V= πR3(R 为球的半径). 3 例 2、如图所示,某几何体的正视图是平行四边形,侧视图和俯视图都是矩形,则该几 何体的体积为 ( )

A.6 3 C.12 3

B.9 3 D.18 3

解析: 由三视图可还原几何体的直观图如图所示. 此几何体可通过分割和补形的方法拼 凑成一个长和宽均为 3,高为 3的长方体,所求体积 V=3× 3× 3=9 3.

答案:B 【方法技巧】 1.求三棱锥体积时,可多角度地选择方法.如体积分割、体积差、等积转化法是常用 的方法. 2.与三视图相结合考查面积或体积的计算时,解决时先还原几何体,计算时要结合平 面图形,不要弄错相关数量.

师大教育,助你成功

3.求不规则几何体的体积常用分割或补形的思想将不规则几何体转化为规则几何体以 易于求解. 4.对于组合体的表面积要注意其衔接部分的处理. 考点三 球与空间几何体的“切”“接”问题 1.长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径. 2.正方体的内切球其棱长为球的直径. 3.正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线. 4.正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3∶1.

例 3、一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的外接球的表面积为________.

【方法技巧】1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点或 线作截面,把空间问题化归为平面问题. 2.若球面上四点 P、A、B、C 构成的线段 PA、PB、PC 两两垂直,且 PA=a,PB=b, PC=c,则 4R2=a2+b2+c2(R 为球半径).可采用“补形”法,构造长方体或正方体的外接球 去处理.

师大教育,助你成功

考点四 空间线线、线面位置关系 (1)线面平行的判定定理:a?α,b?α,a∥b?a∥α. (2)线面平行的性质定理:a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b. (3)线面垂直的判定定理: m?α,n?α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n?l⊥α. (4)线面垂直的性质定理:a⊥α,b⊥α?a∥b. 例 4、如图,在四面体 PABC 中,PC⊥AB,PA⊥BC,点 D,E,F,G 分别是 棱 AP,AC,BC,PB 的中点.

(1)求证:DE∥平面 BCP; (2)求证:四边形 DEFG 为矩形; (3)是否存在点 Q,到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等?说明理由. 解:(1)证明:因为 D,E 分别为 AP,AC 的中点, 所以 DE∥PC. 又因为 DE?平面 BCP, 所以 DE∥平面 BCP. (2)证明:因为 D,E,F,G 分别为 AP,AC,BC,PB 的中点, 所以 DE∥PC∥FG,DG∥AB∥EF. 所以四边形 DEFG 为平行四边形. 又因为 PC⊥AB, 所以 DE⊥DG. 所以四边形 DEFG 为矩形. (3)存在点 Q 满足条件,理由如下: 连接 DF,EG,设 Q 为 EG 的中点.

师大教育,助你成功

由(2)知,DF∩EG=Q,且 QD=QE 1 =QF=QG= EG. 2 分别取 PC,AB 的中点 M,N,连接 ME,EN,NG,MG,MN. 1 与(2)同理,可证四边形 MENG 为矩形,其对角线交点为 EG 的中点 Q,且 QM=QN= 2 EG, 所以 Q 为满足条件的点. 【方法技巧】 1.证明线线平行常用的两种方法: (1)构造平行四边形; (2)构造三角形的中位线. 2.证明线面平行常用的两种方法: (1)转化为线线平行; (2)转化为面面平行. 3.证明直线与平面垂直往往转化为证明直线与直线垂直.而证明直线与直线垂直又需 要转化为证明直线与平面垂直. 考点五 空间面面位置关系 1.面面垂直的判定定理:a?β,a⊥α?α⊥β. 2.面面垂直的性质定理: α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l?a⊥β. 3.面面平行的判定定理: a?β,b?β,a∩b=A,a∥α,b∥α?α∥β. 4.面面平行的性质定理: α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b. 5.面面平行的证明还有其它方法: ?1?a、b?α且a∩b=A ? ? c、d?β且c∩d=B??α∥β, a∥c,b∥d ? ?

(2)a⊥α、a⊥β ?α∥β. 例 5、如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠BAD=60° , E,F 分别是 AP,AD 的中点.求证:

师大教育,助你成功

(1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD. 【证明】(1)如图,在△PAD 中, 因为 E,F 分别为 AP,AD 的中点,

【方法技巧】 1.垂直问题的转化方向 面面垂直?线面垂直?线线垂直.主要依据有关定义及判定定理和性质定理证明.具体

师大教育,助你成功

如下: (1)证明线线垂直:①线线垂直的定义;②线面垂直的定义;③勾股定理等平面几何中 的有关定理. (2)证明线面垂直:①线面垂直的判定定理;②线面垂直的性质定理;③面面垂直的性 质定理. (3)证明面面垂直:①面面垂直的定义;②面面垂直的判定定理. 2.证明面面平行的常用的方法是利用判定定理,其关键是结合图形与条件在平面内寻 找两相交直线分别平行于另一平面.

例 6、如图,平面 PAC⊥平面 ABC,△ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形,E,F,O 分别为 PA,PB,AC 的中点,AC=16,PA=PC=10.

(1)设 G 是 OC 的中点,证明:FG∥平面 BOE; (2)证明:在△ABO 内存在一点 M,使 FM⊥平面 BOE. 【证明】 (1)如图,连接 OP,以点 O 为坐标原点,OB,OC,OP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,

师大教育,助你成功

建立空间直角坐标系 O-xyz,则 O(0,0,0),A(0,-8,0),B(8,0,0),C(0,8,0),P(0,0,6),E(0, -4,3),F(4,0,3).

【方法技巧】 1.用向量法来证明平行与垂直,避免了繁杂的推理论证而直接计算就行了.把几何问 题代数化.尤其是正方体、长方体、直四棱柱中相关问题证明用向量法更简捷.但是向量法 要求计算必须准确无误. 2.利用向量法的关键是正确求平面的法向量.赋值时注意其灵活性.注意(0,0,0)不能 作为法向量. 考点七 利用空间向量求角 1.向量法求异面直线所成的角: 若异面直线 a,b 的方向向量分别为 a,b,异面直线所成的角为 θ,则 cosθ=|cos〈a,b〉 |= |a· b| . |a||b| 2.向量法求线面所成的角: 求出平面的法向量 n,直线的方向向量 a,设线面所成的角为 θ,则 sinθ=|cos〈n,a〉 |= |n· a| . |n||a| 3.向量法求二面角:

师大教育,助你成功

求出二面角 α-l-β 的两个半平面 α 与 β 的法向量 n1,n2,若二面角 α-l-β 所成的角 θ 为锐角, 则 cosθ=|cos〈n1,n2〉|= |n1·2| n ; |n1||n2|

若二面角 α-l-β 所成的角 θ 为钝角, |n1·2| n 则 cosθ=-|cos〈n1,n2〉|=- . |n1||n2| 例 7、如图,在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形, AB=2, ∠BAD=60° .

(1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)若 PA=AB,求 PB 与 AC 所成角的余弦值; (3)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时,求 PA 的长.

(3)由(2)知

=(-1, 3,0)

设 P(0,- 3,t)(t>0), 则 =(-1,- 3,t),

设平面 PBC 的一个法向量 m=(x,y,z),

师大教育,助你成功

考点八 利用空间向量解决探索性问题 利用空间向量解决探索性问题,它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理,只须通过坐 标运算进行判断,在解题过程中,往往把“是否存在”问题,转化为“点的坐标是否有解,是 否有规定范围的解”等,可以使问题的解决更简单、有效,应善于运用这一方法. 例 8、如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB=AC,D 为 BC 的中点, PO⊥平面 ABC,垂 足 O 落在线段 AD 上.

已知 BC=8,PO=4,AO=3,OD=2. (1)证明:AP⊥BC; (2)在线段 AP 上是否存在点 M,使得二面角 A-MC-B 为直二面角?若存在,求出 AM 的长;若不存在,请说明理由. 解:(1)证明:如图,以 O 为原点,以射线 OP 为 z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 O -xyz.

师大教育,助你成功

?x1=0, ? 2+3λ 即? 可取 n1=(0,1, ). 2+3λ 4-4λ ?z1=4-4λy1, ?
由?

? ? ? ?
2

·2=0, n

?3y2+4z2=0, ? 即? ? ?-4x2+5y2=0, ·2=0, n

?x =4y , 得? 3 ?z =-4y ,
5
2 2 2

可取 n2=(5,4,-3).

2+3λ 由 n1·2=0,得 4-3· n =0, 4-4λ

师大教育,助你成功

2 解得 λ= ,故 AM=3. 5 综上所述,存在点 M 符合题意,AM=3. 【难点探究】 难点一 空间几何体的表面积和体积 )

例 1、 (1)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(

A.48 C.48+8 17

B.32+8 17 D.80 )

(2)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

9 A. π+12 2 C.9π+42 【答案】 (1)C (2)B

9 B. π+18 2 D.36π+18

【解析】 (1)由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱(如图 1 所示), 所以该直四棱柱的表面积为 S=2× × (2+4)× 4+4× 4+2× 4+2× 1+16× 4=48+8 17. 2

师大教育,助你成功

(2)由三视图可得这个几何体是由上面是一个直径为 3 的球,下面是一个长、宽都为 3、 3 4 9 高为 2 的长方体所构成的几何体,则其体积为:V=V1+V2= ×π×?2?3+3× 2= π+18,故 3× ? ? 3 2 选 B. 难点二 球与多面体 例 2、已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB= 3,∠ASC=∠BSC= 30° ,则棱锥 S-ABC 的体积为( A.3 3 B.2 3 ) C. 3 D.1

【解题规律与技巧】 1.真实图形中和两坐标轴平行的线段在直观图中仍然和两坐标轴平行,在真实图形中 与 x 轴平行的线段在直观图中长度不变, 在真实图形中和 y 轴平行的线段在直观图中变为原 来的一半.这种画法蕴含着一个一般的规律,在斜二测画法中,真实图形的面积和直观图的 面积之比是 2 2. 2.空间几何体的面积有侧面积和表面积之分,表面积就是全面积,是一个空间几何体 中“暴露”在外的所有面的面积,在计算时要注意区分“是侧面积还是表面积”.多面体的表面 积就是其所有面的面积之和,旋转体的表面积除了球之外,都是其侧面积和底面面积之和.

师大教育,助你成功

3.实际问题中的几何体往往不是单纯的柱、锥、台、球,往往是由柱、锥、台、球或 其一部分组成的组合体,解决这类组合体体积的基本方法就是“分解”,将组合体“分解成若 干部分,每部分是柱、锥、台、球或其一个部分,分别计算其体积”,然后根据组合体的结 构,将整个的体积转化为这些“部分体积”的和或差. 【历届高考真题】 【2012 年高考试题】 一、选择题 1.【2012 高考真题新课标理 7】如图,格纸上小正方形的边长为 1 ,粗线画出的

是某几何体的三视图, 则此几何体的体积为 (



( A) 6

(B) 9

(C ) ??

( D) ??

2.【2012 高考真题浙江理 10】已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 2 。将△沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折,在翻折过程中。 A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直. B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直. C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直. D.对任意位置,三对直线“AC 与 BD”,“AB 与 CD”,“AD 与 BC”均不垂直 【答案】C 【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着,观察在翻着过程,即可 知选项 C 是正确的.

师大教育,助你成功

3.【2012 高考真题新课标理 11】已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上,

?ABC 是边长为 1 的正三角形, SC 为球 O 的直径,且 SC ? 2 ;则此棱锥的体积为(
( A)



2 6

(B)

3 6

(C )

2 3

( D)

2 2

4.【2012 高考真题四川理 6】下列命题正确的是(



A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行

5.【2012 高考真题四川理 10】如图,半径为 R 的半球 O 的底面圆 O 在平面 ? 内,过点 O 作 平面 ? 的垂线交半球面于点 A , 过圆 O 的直径 CD 作平面 ? 成 45 角的平面与半球面相交,
?

所得交线上到平面 ? 的距离最大的点为 B , 该交线上的一点 P 满足 ?BOP ? 60 , A 、P 则
?

A B D P α O C

两点间的球面距离为( A、 R arccos

) B、

2 4

?R
4

C、 R arccos

3 3

D、

?R
3

师大教育,助你成功

6.【2012 高考真题陕西理 5】如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,

CA ? CC1 ? 2CB ,则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为(
A.



5 5

B.

5 3

C.

2 5 5

D.

3 5

【答案】A. 【 解 析 】 设

| CB |? a





| CA |?| CC1 |? 2a



A(2a,0,0), B(0,0, a),C1 (0,2a,0), B1 (0,2a, a) ,
? ? AB1 ? (?2a,2a, a), BC1 ? (0,2a,?a) , cos ? AB1 , BC1 ??
选 A. 7.【2012 高考真题湖南理 3】某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示,则该几何体的 俯视图不可能是 ( )

AB1 ? BC1 | AB1 || BC1 |

?

5 , 故 5

师大教育,助你成功

9.【2012 高考真题广东理 6】某几何体的三视图如图所示,它的体积为

A.12π B.45π 【答案】C

C.57π D.81π

【解析】该几何体的上部是一个圆锥,下部是一个圆柱,根据三视图中的数量关系,可 得 V ? V圆锥 ? V圆柱 ?

1 ? ? ? 32 ? 52 - 32 ? ? ? 32 ? 5 ? 57? .故选 C. 3

10.【2012 高考真题福建理 4】一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这 个几何体不可以是 ( ) A.球 B.三棱柱 C.正方形 D.圆柱

师大教育,助你成功

11.【2012 高考真题重庆理 9】设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2 和 a ,且长 为 a 的棱与长为 2 的棱异面,则 a 的取值范围是 (A) (0, 2) 【答案】A 【 解 析 】 因 为 (B) (0, 3) (C) (1, 2) (D) (1, 3)

BE ? 1 ? (

2 2 1 2 ) ? 1? ? 2 2 2



BF ? BE



AB ? 2BF ? 2BE ? 2 ,选 A,
12. 【2012 高考真题北京理 7】 某三棱锥的三视图如图所示, 该三梭锥的表面积是 ( )

A. 28+6 5 【答案】B

B. 30+6 5

C. 56+ 12 5

D. 60+12 5

【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥,如图所示,图中蓝色数字所表示 的为直接从题目所给三视图中读出的长度,黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。 本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和,利用垂直关系和三角形面积公式,可得:

师大教育,助你成功

S底 ? 10 , S后 ? 10 , S右 ? 10 , S左 ? 6 5 , 因 此 该 几 何 体 表 面 积

S ? S底 ? S后 ? S右 ? S左 ? 30? 6 5 ,故选 B。
13. 2012 高考真题全国卷理 4】 【 已知正四棱柱 ABCD- A1B1C1D1 中 , AB=2, 1= 2 2 CC E 为 CC1 的中点,则直线 AC1 与平面 BED 的距离为 A 2 B ( )

3

C

2

D

1

二、填空 14.【2012 高考真题浙江理 11】已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三 棱锥的体积等于________cm3.

师大教育,助你成功

【答案】1 【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形,右侧面也是一直角三角形.故
1 1 体积等于 ? 3 ?1? 2 ? ? 1 . 2 3

15.【2012 高考真题四川理 14】如图,在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, M 、 N 分别 1 是 CD 、 CC1 的 中 点 , 则 异 面 直 线 A1M 与 DN 所 成 角 的 大 小 是 ____________ 。
D1 A1 B1 N D M A B C C1

16.【2012 高考真题辽宁理 13】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ______________。

【答案】38 【解析】 由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱, 其中长方

师大教育,助你成功

体的长、宽、高分别为 4、3、1,圆柱的底面直径为 2,所以该几何体的表面积为长方体的 表 面 积 加 圆 柱 的 侧 面 积 再 减 去 圆 柱 的 底 面 积 , 即 为

2(3 ? 4 ? 4 ?1 ? 3 ?1) ? 2? ?1?1 ? 2? ? 38
17.【2012 高考真题山东理 14】如图,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1, E , F 分 别 为 线 段

AA1 , B1C 上 的 点 , 则 三 棱 锥 D1 ? E D 的 体 积 为 F

____________.

18.【2012 高考真题辽宁理 16】已知正三棱锥 P ? ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3 的 求面上,若 PA,PB,PC 两两互相垂直,则球心到截面 ABC 的距离为________。 【答案】

3 3

【解析】因为在正三棱锥 P ? ABC 中,PA,PB,PC 两两互相垂直,所以可以把该正三 棱锥看作为一个正方体的一部分, (如图所示) ,此正方体内接于球,正方体的体对角线为球 的直径,球心为正方体对角线的中点。球心到截面 ABC 的距离为球的半径减去正三棱锥

师大教育,助你成功

P ? ABC 在面 ABC 上的

高。已知球的半径为 3 ,所以正方体的棱长为 2,

可求得正三棱锥 P ? ABC 在面 ABC 上的高为

2 3 ,所以球心到截面 ABC 的距离为 3

3?

2 3 3 ? 3 3


19.【2012 高考真题上海理 8】若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2? 的半圆面,则该圆 锥的体积为

BC ? 2 , 20. 【2012 高考真题上海理 14】 如图,AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱,
若 AD ? 2c ,且 AB ? BD ? AC ? CD ? 2a ,其中 a 、 c 为常数,则四面体 ABCD 的体积 的最

大值是 【答案】



2 c a2 ? c2 ?1 。 3 1 2 S ADE ? BC = S ADE , 3 3

【解析】过点 A 做 AE⊥BC,垂足为 E,连接 DE,由 AD⊥BC 可知,BC⊥平面 ADE, 所以 V ? VB ? ADE ? VC ? ADE ?

当 AB=BD=AC=DC=a 时,四面体 ABCD 的体积最大。 过 E 做 EF⊥DA,垂足为点 F,已知 EA=ED,所以△ADE 为等腰三角形,所以点 E 为 AD 的中点,又 AE ? AB ? BE ? a ? 1 ,∴EF=
2 2 2 2

AE2 ? AF 2 ? a 2 ? c 2 ? 1 ,

师大教育,助你成功

1 AD ? EF = c a 2 ? c 2 ? 1 , 2 2 2 2 2 ∴四面体 ABCD 体积的最大值 Vmax ? S ADE = c a ? c ? 1 。 3 3
∴ S ADE = 21.【2012 高考江苏 7】 (5 分)如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? AD ? 3cm ,

AA1 ? 2cm ,则四棱锥 A ? BB1D1D 的体积为 ▲ cm3.

22.【2012 高考真题安徽理 12】某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是 _____ .

【答案】92 【解析】该几何体是底面是直角梯形,高为 4 的直四棱柱, 几何体的表面积是 S ? 2 ?

1 ? (2 ? 5) ? 4 ? (2 ? 5 ? 4 ? 42 ? (5 ? 2) 2 ) ? 4 ? 92 . 2

23.【2012 高考真题天津理 10】一个几何体的三视图如图所示(单位:m) ,则该几何体

师大教育,助你成功

6

3
1

3 2 正视图

3 2 侧视图

3
俯视图

的体积为_________m3.

24.【2012 高考真题全国卷理 16】三菱柱 ABC-A1B1C1 中,底面边长和侧棱长都相等, BAA1=CAA1=60° 则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为____________. 【答案】

6 3

【解析】如图

设 AA ? a, AB ? b, AC ? c, 设棱长为 1, 1

则 AB1 ? a ? b, BC1 ? a ? BC ? a ? c - b , 因 为 底 面 边 长 和 侧 棱 长 都 相 等 , 且

?BAA ? ?CAA1 ? 600 所 以 a ? b ? a ? c ? b ? c ? 1

1 , 所 以 AB1 ? (a ? b) 2 ? 3 , 2

BC1 ? (a ? c - b) 2 ? 2 , AB1 ? BC1 ? (a ? b) ? (a ? c - b) ? 2 ,设异面直线的夹角
为 ? ,所以 cos? ?

AB1 ? BC1 AB1 BC1

?

2 2? 3

?

6 . 3

三、解答题 27.【2012 高考真题湖北理 19】 (本小题满分 12 分)

师大教育,助你成功

如图 1, ?ACB ? 45? , BC ? 3 ,过动点 A 作 AD ? BC ,垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B,连接 AB,沿 . AD 将△ ABD 折起,使 ?BDC ? 90? (如图 2 所示) (Ⅰ)当 BD 的长为多少时,三棱锥 A ? BCD 的体积最大; (Ⅱ)当三棱锥 A ? BCD 的体积最大时,设点 E , M 分别为棱 BC , AC 的中点,试在 棱 CD 上确定一点 N ,使得 EN ? BM ,并求 EN 与平面 BMN 所成角的大小. A

A M

B

D 图1

C B

D

. · E

C

图2 第 19 题图

解法 2:

1 1 1 1 同解法 1,得 VA? BCD ? AD ? S?BCD ? (3 ? x) ? x(3 ? x) ? ( x3 ? 6x2 ? 9x) . 3 3 2 6
1 1 令 f ( x) ? ( x3 ? 6 x2 ? 9 x) , f ?x ?( x () ? ) 0? ? 由 () 1 3 x 6 2
, 0? x?3, 且 解得 x ? 1 .
[Z,xx,k.Com]

当 x ? (0, 1) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (1, 3) 时, f ?( x) ? 0 . 所以当 x ? 1 时, f ( x) 取得最大值.

师大教育,助你成功

故当 BD ? 1 时, 三棱锥 A ? BCD 的体积最大.

师大教育,助你成功

z A M

A M

DN B x C E 图a y B

DN E 图b

F

C M

D

N

F E

C

G

H N

B

图c

P

B 图d 第 19 题解答图

E

故 EN 与平面 BMN 所成角的大小为 60?. 解法 2:由(Ⅰ)知,当三棱锥 A ? BCD 的体积最大时, BD ? 1 , AD ? CD ? 2 . 如图 b,取 CD 的中点 F ,连结 MF , BF , EF ,则 MF ∥ AD . 由(Ⅰ)知 AD ? 平面 BCD ,所以 MF ? 平面 BCD . 如图 c,延长 FE 至 P 点使得 FP ? DB ,连 BP , DP ,则四边形 DBPF 为正方形, 所以 DP ? BF . 取 DF 的中点 N ,连结 EN ,又 E 为 FP 的中点,则 EN ∥ DP , 所以 EN ? BF . 因为 MF ? 平面 BCD ,又 EN ? 面 BCD ,所以 MF ? EN . 又 MF ? BF ? F ,所以 EN ? 面 BMF . 又 BM ? 面 BMF ,所以 EN ? BM . 因为 EN ? BM 当且仅当 EN ? BF ,而点 F 是唯一的,所以点 N 是唯一的. 即当 DN ?

1 (即 N 是 CD 的靠近点 D 的一个四等分点) EN ? BM . , 2
5 , 2

连接 MN , ME ,由计算得 NB ? NM ? EB ? EM ?

所以△ NMB 与△ EMB 是两个共底边的全等的等腰三角形, 如图 d 所示,取 BM 的中点 G ,连接 EG , NG , 则 BM ? 平面 EGN .在平面 EGN 中,过点 E 作 EH ? GN 于 H , 则 EH ? 平面 BMN .故 ?ENH 是 EN 与平面 BMN 所成的角. 在△ EGN 中,易得 EG ? GN ? NE ?

2 ,所以△ EGN 是正三角形, 2

故 ?ENH ? 60? ,即 EN 与平面 BMN 所成角的大小为 60?.

师大教育,助你成功

28.【2012 高考真题新课标理 19】 (本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? BC ?

1 AA1 , 2

D 是棱 AA 的中点, DC1 ? BD 1
(1)证明: DC1 ? BC (2)求二面角 A1 ? BD ? C1 的大小.

师大教育,助你成功

E 29.【2012 高考江苏 16】 (14 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB1 ? AC1 , D , 分 1 1

F CC 别是棱 BC , 1 上的点(点 D 不同于点 C ) ,且 AD ? DE , 为 B1C1 的中点.
求证: (1)平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 ; (2)直线 A1 F // 平面 ADE .

【解析】 要证平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 , (1) 只要证平面 ADE 上的 AD ? 平面 BCC1 B1 即可。 它可由已知 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱和 AD ? DE 证得。 (2)要证直线 A1 F // 平面 ADE ,只要证 A1 F ∥平面 ADE 上的 AD 即可。 32.【2012 高考真题北京理 16】 (本小题共 14 分) 如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,BC=3,AC=6,D,E 分别是 AC,AB 上的点, 且 DE∥BC,DE=2,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如图 2.

师大教育,助你成功

(I)求证:A1C⊥平面 BCDE; (II)若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小; (III)线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直?说明理由

【答案】解: (1)? CD ? DE , A1 E ? DE

? DE ? 平面 A1CD ,
又? AC ? 平面 A1CD , 1

? AC ? DE 1
又 A1C ? CD ,

? AC ? 平面 BCDE 。 1
(2)如图建系 C ? xyz ,则 D ? ?2 , , ? , A 0 ,0 ,2 3 , B ? 0 , , ? ,E ? ?2 , , ? 0 0 3 0 2 0

?

?

???? ? ???? ∴ A1 B ? 0 ,3 ,? 2 3 , A1E ? ? ?2 , 1, ? ? 0

?

?

? 设平面 A1 BE 法向量为 n ? ? x ,y , ? z

???? ? ? A1 B ? n ? 0 ? ? ????? ? ? A1 E ? n ? 0 ?



?3 y ? 2 3z ? 0 ? ? ??2 x ? y ? 0 ?

z A1 (0,0,2 3) M E (-2,2,0) y B (0,3,0)

? 3 y ?z ? ? 2 ∴? ?x ? ? y ? ? 2
? ∴ n ? ?1 ,2 , 3

D (-2,0,0) C (0,0,0)

?

?

x

又∵ M ?1 ,0 , 3

?

?

???? ? ∴ CM ? ?1 ,0 , 3

?

?

???? ? ? CM ? n 1? 3 4 2 ? ? ? ∴ cos ? ? ???? ? ? 2 | CM | ? | n | 1? 4 ? 3 ? 1? 3 2 ? 2 2 ,

∴ CM 与平面 A1 BE 所成角的大小 45? 。

师大教育,助你成功

3 3.【2012 高考真题浙江理 20】(本小题满分 15 分)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面是边长 为 2 3 的菱形,且∠BAD=120° ,且 PA⊥平面 ABCD,PA= 2 6 ,M,N 分别为 PB,PD 的 中点. (Ⅰ)证明:MN∥平面 ABCD; (Ⅱ) 过点 A 作 AQ⊥PC,垂足为点 Q,求二面角 A—MN—Q 的平面角的余弦值.

【答案】(Ⅰ)如图连接 BD. ∵M,N 分别为 PB,PD 的中点, ∴在 ? PBD 中,MN∥BD. 又 MN ? 平面 ABCD, ∴MN∥平面 ABCD; (Ⅱ)如图建系:

师大教育,助你成功

A(0,0,0),P(0,0, 2 6 ),M( ? N( 3 ,0,0),C( 3 ,3,0).

3 3 , ,0), 2 2

设 Q(x,y,z),则 CQ ? ( x ? 3,y ? 3,z), ? (? 3, 3, 6) . CP ? 2 ∵ CQ ? ? CP ? (? 3?, 3?, 6? ) ,∴ Q( 3 ? 3?, ? 3?, 6?) . ? 2 3 2 由 OQ ? CP 即: Q(
???? ??? ? ???? ??? ? 1 ? OQ ? CP ? 0 ,得: ? ? . 3 ??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

2 3 2 6 ,2, ). 3 3

40.【2012 高考真题湖南理 18】 (本小题满分 12 分) 如 图 5 , 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 , PA⊥ 平 面 ABCD , AB=4 , BC=3 , AD=5 , ∠DAB=∠ABC=90° 是 CD 的中点. ,E (Ⅰ)证明:CD⊥平面 PAE; (Ⅱ)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等,求四棱锥 P-ABCD 的体积.

师大教育,助你成功

由 PA ? 平面ABCD 知, ?PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角.

AB ? 4, AG ? 2, BG ? AF , 由题意,知 ?PBA ? ?BPF ,
因为 sin ?PBA ?

PA BF ,sin ?BPF ? , 所以 PA ? BF . PB PB
?

由 ?DAB ? ?ABC ? 90 知,AD / / BC, 又BG / /CD, 所以四边形 BCDG 是平行四边 形,故 GD ? BC ? 3. 于是 AG ? 2. 在 RtΔBAG 中, AB ? 4, AG ? 2, BG ? AF , 所以

AB2 16 8 5 BG ? AB ? AG ? 2 5, BF ? ? ? . BG 2 5 5
2 2

于是 PA ? BF ?

8 5 . 5

师大教育,助你成功

又梯形 ABCD 的面积为 S ?

1 ? (5 ? 3) ? 4 ? 16, 所以四棱锥 P ? ABCD 的体积为 2

1 1 8 5 128 5 V ? ? S ? PA ? ?16 ? ? . 3 3 5 15

解法 2:如图(2) ,以 A 为坐标原点, AB, AD, AP 所在直线分别为 x轴,y轴,z轴 建 立空间直角坐标系.设 PA ? h, 则相关的各点坐标为:

A(4,0,0), B(4,0,0), C(4,3,0), D(0,5,0), E(2, 4,0), P(0,0, h).

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? CD ? PB PA ? PB cos ? CD, PB ? ? cos ? PA, PB ? ,即 ??? ??? ? ??? ??? . ? ? ? ? CD ? PB PA ? PB
由(Ⅰ)知, CD ? (?4, 2,0), AP ? (0,0, ?h), 由 PB ? (4,0, ?h), 故

??? ?

??? ?

??? ?

?16 ? 0 ? 0 2 5 ? 16 ? h
2

?

0 ? 0 ? h2 h ? 16 ? h2

.

师大教育,助你成功

解得 h ?

8 5 . 5
1 ? (5 ? 3) ? 4 ? 16 ,所以四棱锥 P ? ABCD 的体积为 2

又梯形 ABCD 的面积为 S ?

1 1 8 5 V ? ? S ? PA ? ?16 ? ? 3 3 5
【2011 年高考试题】 一、选择题:

128 5 . 15

1. (2011 年高考山东卷理科 11)下图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题: ①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如下图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如 下图;③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如下图.其中真命题的个数是 (A)3 (B)2 (C)1 (D)0

【答案】A 【解析】对于①,可以是放倒的三棱柱;容易判断②③可以. 4.(2011 年高考安徽卷理科 6)一个空间几何体得三视图如图所示,则该几何体的表面积 为

(A) 48 【答案】C

(B)32+8 ??

(C) 48+8 ??

(D) 80

【解析】 由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为 2, 下

底为 4,高为 4, 。故

S表 ?

??? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ??

5.(2011 年高考辽宁卷理科 8)如图, 四棱锥 S-ABCD 的底面为正方形, SD⊥ 底面 ABCD, 则下列结论中不正确的是( ) ...

师大教育,助你成功

(A) AC⊥ SB (B) AB∥ 平面 SCD (C) SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 (D)AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角

8.(2011 年高考江西卷理科 8)已知 ?1 ,? 2 ,?3 是三个相互平行的平面.平面 ?1 ,? 2 之间 的距离为 d1 , 平面 ? 2 ,?3 之间的距离为 d2 . 直线 l 与 ?1 ,? 2 ,?3 分别相交于 P ,P ,P , 1 2 3 那么“ PP = P P ”是“ d1 ? d 2 ”的 1 2 2 3 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【答案】C 【解析】过点 P 作平面 ? 2 的垂线 g,交平面 ? 2 , ?3 分别于点 A、B 两点,由两个平面平 1 行的性质可知 P A ∥ P B ,所以 2 3 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

PP2 d1 1 ? ,故选 C. PP2 d 2 1

师大教育,助你成功

9. (2011 年高考湖南卷理科 3)设图 1 是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 A.

9? ? 12 2

B.

9? ? 18 2

C. 9? ? 42 D. 36? ? 18

3

2 3 正视图 侧视图

俯视图 图1 答案:B 解析: 由三视图可以还原为一个底面为边长是 3 的正方形, 高为 2 的长方体以及一个直 径为 3 的球组成的简单几何体,其体积等于

4 3 3 9? ? ( ) ?? ? 3? 3? 2 ? ? 18 。故选 B 3 2 2

10.(2011 年高考广东卷理科 7)如图 l—3.某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧 视图(左视图)和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为( )

A. 6 3

B. 9 3

C. 12 3

D. 18 3

【解析】B.由题得三视图对应的直观图是如图所示的直四棱柱, EA ? 平面ABCD.

V ? S 平行四边形 ABCD ? h ? 3 ? 2 2 ? 1 ? 3 ? 9 3 。所以选 B

师大教育,助你成功

11.(2011 年高考陕西卷理科 5)某几何体的三视图如图所示,则它的体积是

H G D E 3 A 1
2? ? (B) 8 ? 3 3 2? (C) 8 ? 2? (D) 3
(A) 8 ? 【答案】A

3 2 F

C

B

12.(2011 年高考重庆卷理科 9)高为

2 的四棱锥 S-ABCD 的 4

底面是边长为 1 的正方形,点 S、A、B、C、D 均在半径为 1 的同一球面上, 则底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离为 (A)

2 4

(B)

2 2

(C)1

(D) 2

解析:选 C. 设底面中心为 G,球心为 O,则易得 AG ?

2 2 ,于是 OG ? ,用一 2 2

个与 ABCD 所在平面距离等于

2 的平面去截球,S 便为其中一个交点,此平面的中心设 4

师大教育,助你成功

? 2? 7 2 2 2 2 2 为 H,则 OH ? ,故 SH ? 1 ? ? ? ? ? 4 ? ? 8 ,故 ? 2 4 4 ? ?

2

7 ? 2? SG ? SH ? HG ? ?? ? ?1 8 ? 4 ? ? ?
2 2

2

15. (2011 年高考全国卷理科 11)已知平面 ? 截一球面得圆 M,过圆心 M 且与 ? 成 60 ,
0

二面角的平面 ? 截该球面得圆 N,若该球的半径为 4,圆 M 的面积为 4 ? ,则圆 N 的面积 为 (A) 7? 【答案】D 【解析】由圆 M 的面积为 4? 得 MA ? 2 , OM ? 4 ? 2 ? 12
2 2 2

(B) 9?

(c) 11?

(D) 13?

O N 60° M

? OM ? 2 3 ,在 Rt?ONM中,?OMN ? 300
2 1 ? ON ? OM ? 3, r= 42 ? 3 ? 13 ? S圆N ? 13? 故选 D 2

B

A

二、填空题: 1.(2011 年高考辽宁卷理科 15)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为 2 3 , 它的三视图中的俯视图如右图所示,左视图是一个矩形,则这个矩形的面积是

____________.

师大教育,助你成功

2. (2011 年高考全国新课标卷理科 15)已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球 面上,且 AB ? 6, BC ? 2 3 ,则棱锥 O ? ABCD 的体积为 答案: 。
o j

8 3
D C

解析:如图,连接矩形对角线的交点 O1 和球心 O ,则,

1 AC ? 4 3 , O1 A ? AC ? 2 3 ,四棱锥的高为 2
O1O ? 4 2 ? (2 3 ) 2 ? 2 ,
所以,体积为 V ?

o1
A B

1 ? 6? 2 3 ? 2 ? 8 3 3

3.(2011 年高考天津卷理科 10)一个几何体的三视图如图所示(单位: m ) ,则这个几 何体的体积为__________ m
3

4. (2011 年高考四川卷理科 15)如图, 半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大 时,求球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 .

答案: 2? R

2

解析: S侧 ? 2? r ? 2 R ? r ? 4? r ( R ? r ) ? S侧 max 时,
2 2 2 2 2

R2 2 r ? R ?r ? r ? ?r ? R ,则 4? R2 ? 2? R2 ? 2? R2 2 2
2 2 2 2

三、解答题:

师大教育,助你成功

1. (2011 年高考山东卷理科 19)(本小题满分 12 分)在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为平行四边形,∠ ACB= 90? ,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,FG∥BC,E G∥AC.AB=2EF.

(Ⅰ)若M是线段AD的中点,求证:GM∥平面ABFE; (Ⅱ)若AC=BC=2AE,求二面角A-BF-C的大小. 【解析】 (Ⅰ)连结 AF,因为 EF∥AB,FG∥BC, EF∩ F G =F, 所 以 平 面 EFG∥ 平 面 ABCD, 又 易 证

?EFG ∽ ?ABC ,
所以

FG EF 1 1 1 ? ? ,即 FG ? BC ,即 FG ? AD ,又 BC AB 2 2 2 1 AD ,又因为FG∥BC∥AD,所 2

M 为 AD 的中点,所以 AM ?

以 F G ∥ A M, 所 以 四 边 形 AMGF 是 平 行 四 边 形 , 故 GM∥FA,又因为GM ? 平面ABFE,FA ? 平面ABF E,所以GM∥平面ABFE. (Ⅱ)取 AB 的中点 O,连结 CO,因为AC=BC,所以 CO⊥AB, 又因为EA⊥平面ABCD,CO ? 平面ABCD,所以EA⊥CO, 又EA∩AB=A,所以 CO⊥平面ABFE,在平面 ABEF 内,过点 O 作 OH⊥BF 于 H,连结 CH,由三垂线定理知: CH⊥BF,所以 ?CHO 为二面角A-BF-C的平面角. 设AB=2EF= 2a ,因为∠ ACB= 90? , AC=BC= 2a ,CO= a , AE ?

2 a ,连结 FO, 2

容易证得 FO∥EA 且 FO ?

2 6 3 2 2 a ,所以 BF ? a ,所以 OH= a ,所以在 = a? 2 2 2 6 3

师大教育,助你成功

Rt ?COH 中,tan∠ CHO=

CO ? OH

3 ,故∠ CHO= 60? ,所以二面角A-BF-C的大小为 60? .

AB 2.(2011 年高考浙江卷理科 20) (本题满分 15 分) 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中, ? AC ,
D 为 BC 的中点,PO⊥平面 ABC,垂足 O 落在线段 AD 上,已知 BC=8,PO=4,AO=3, OD=2(Ⅰ)证明:AP⊥BC; (Ⅱ)在线段 AP 上是否存在点 M,使得二面角 A-MC-β 为直 二面角?若存在,求出 AM 的长;若不存在,请说明理由。

平面 APC 的法向量 n2 ? ( x2 , y2 , z2 )

?? ?

???? ?? ? ? BM ? n1 ? 0 ??4 x1 ? (2 ? 3? ) y1 ? (4 ? 4? ) z1 ? 0 ? 由 ? ??? ?? 得? ? ? ??8 x1 ? 0 ? BC ? n2 ? 0 ?

师大教育,助你成功

? x1 ? 0 ?? 2 ? 3? ? ) 即? ,可取 n1 ? (0,1, 2 ? 3? 4 ? 4? ? z1 ? 4 ? 4? y1 ?
5 ? ?x 2 ? 4 y 2 ? ? ?z ? ? 3 y 2 ? 2 ? 4
可取 n2 ? (5,4, ?3) ,由 n1 ? n2 ? 0 得 4 ? 3 ? 综上所述,存在点 M 符合题意, AM ? 3

??? ?? ? ? ? AP ? n2 ? 0 ?3 y 2 ?4 z2 ? 0 ? 由 ? ???? ?? 即? 得 ? ? AC ? n2 ? 0 ? ?4 x 2 ?5 y2 ? 0 ?

?? ?

?? ?? ?

2 ? 3? 4 ? 0 解得 ? ? ,故 AM ? 3 4 ? 4? 5

从而 PM ? PB cos ?BPA ? 2 ,所以 AM ? PA ? PM ? 3 综上所述,存在点 M 符合题意,

AM ? 3 .
5. (2011 年高考全国新课标卷理科 18) (本小题满分 12 分) 如图, 四棱锥 P—ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形, DAB=60° ∠ ,AB=2AD,PD⊥ 底面 ABCD.

师大教育,助你成功

p

D a

C

A

2a

B

(Ⅰ )证明:PA⊥ BD; (Ⅱ PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值。 )若

师大教育,助你成功

8.(2011 年高考湖南卷理科 19)(本小题满分 12 分) 如图 5,在圆锥 PO 中,已知 PO = 2 ,⊙ 的直径 AB ? 2 , C 是 ? 的中点, D O AB 为 AC 的中点. (Ⅰ )证明:平面 POD ? 平面 PAC ; (Ⅱ )求二面角 B ? PA ? C 的余弦值.

解法 1:连结 OC,因为 OA ? OC, D是AC的中点,所以AC ? OD. 又 PO ? 底面⊙ O,AC ? 底面⊙ O,所以 AC ? PO , 因为 OD,PO 是平面 POD 内的两条相交直线,所以 AC ? 平面 POD, 而 AC ? 平面 PAC,所以平面 POD ? 平面 PAC。 (II)在平面 POD 中,过 O 作 OH ? PD 于 H,由(I)知, 平面 POD ? 平面PAC, 所以 OH ? 平面 PAC,又 PA ? 面 PAC,所以 PA ? OH . 在平面 PAO 中,过 O 作

OG ? PA 于 G,连接 HG,

则有 PA ? 平面 OGH, 从而 PA ? HG , ?OGH 为二面角 B—PA—C 的平面角。 故 在 Rt ?ODA中, OD ? OA ? sin 45? ?

2 . 2
2? 2 2 ? 10 . 5 1 2? 2

在 Rt ?POD中, OH ?

PO ? OD PO 2 ? OD 2

?

在 Rt ?POA中, OG ?

PO ? OA PO2 ? OA2

?

2 ?1 6 ? . 2 ?1 3

师大教育,助你成功

10 OH 15 ? 5 ? . 在 Rt ?OHG中,sin ?OGH ? OG 5 6 3
所以 cos ?OGH ? 1 ? sin ?OGH ? 1 ?
2

15 10 ? . 故二面角 B—PA—C 的余 25 5

弦值为

10 . 5

所以 z1 ? 0, x1 ? y1 , 取y1 ? 1, 得n1 ? (1,1,0). 设 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) 是平面 PAC 的一个法向 量, 则由 n2 ? PA ? 0, n2 ? PC ? 0 ,得 ?

??? ?

??? ?

?? x2 ? 2 z2 ? 0, ? ? y2 ? 2 z2 ? 0. ?

所以 x2 ? ? 2z2 , y2 ? 2z2 .取z2 ? 1, 得 n2 ? (? 2, 2,1) 。 因为 n1 ? n2 ? (1,1,0) ? (? 2, 2,1) ? 0,

师大教育,助你成功

9. (2011 年高考广东卷理科 18)如图 5,在椎体 P ? ABCD 中, ABCD 是边长为 1 的棱形, 且 ?DAB ? 60 , PA ? PD ? 2 , PB ? 2, E , F 分别是 BC , PC 的中点,
0

(1) 证明: AD ? 平面DEF (2)求二面角 P ? AD ? B 的余弦值。 【解析】法一: (1)证明:取 AD 中点 G,连接 PG,BG,BD。 因 PA=PD,有 PG ? AD ,在 ?ABD 中, AB ? AD ? 1, ?DAB ? 60? ,有 ?ABD 为 等 边 三 角 形 , 因 此 BG ? AD, BG ? PG ? G , 所 以 AD ? 平 面 PBG ? AD ? PB, AD ? GB. 又 PB//EF,得 AD ? EF ,而 DE//GB 得 AD ? DE,又 FE ?DE ?E ,所以 AD ? 平面 DEF。

师大教育,助你成功

(2)? PG ? AD, BG ? AD ,

? ?PGB 为二面角 P—AD—B 的平面角,
在 Rt ?PAG中, PG ? PA ? AG ?
2 2 2

7 4

在 Rt ?ABG中,BG=AB ? sin60?=

3 2
2

7 3 ? ?4 PG ? BG ? PB 21 4 4 ? cos ?PGB ? ? ?? 2PG ? BG 7 7 3 2? ? 2 2
2 2

师大教育,助你成功

??? ??? ? ? 3 ?| GB |?| AB | sin 60? ? 2 ? B(n ? ???? 3 3 3 1 n 3 1 m ,0,0), C (n ? ,1,0), E (n ? , ,0), F ( ? , , ). 2 2 2 2 2 4 2 2 ???? ??? ? 3 n 3 m , 0, 0), FE ? ( ? , 0, ? ) 2 2 4 2

由于 AD ? (0,1, 0), DE ? (

得 AD ? DE ? 0, AD ? FE ? 0, AD ? DE, AD ? FE, DE ? FE ? E

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

? AD ? 平面 DEF。

10. (2011 年高考湖北卷理科 18)(本小题满分 12 分)

师大教育,助你成功

如图,已知,本棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长都是 4,E 是 BC 的中点,动点 F 在侧棱 CC1 上,且不与点 C 重合. (Ⅰ 当 CF=1 时,求证:EF⊥ 1E ) A (Ⅱ )设二面角 C-AF-E 的大小为 ? ,求 tan? 的最小值.

解析: 过 E 点作 EN⊥ 于 N,连结 EF. AC (Ⅰ 如图 1, ) 连结 NF、 1, AC 由直线柱的性质知, 底面 ABC⊥ 侧面 A1C, 又底面 ABC∩ 侧面 A1C=AC,且 EN ? 底面 ABC,所以 EN⊥ 侧面 A1C,NF 为 EF 在侧面内的射影. 在 Rt△CEN 中,CN=cos600=1.则由
CF CN 1 ? ? ,得 NF // AC1 ,又 AC1 ? AC , 1 CC1 CA 4

故作 NF ? A1C ,由三垂线定理知 EF ? A1C . (Ⅱ )如图 2。连结 AF,过 N 作 NM⊥ 于 M,连结 ME,由(Ⅰ AF )知 EN⊥ 侧面 A1C。 根据三垂线定理得 EM⊥ AF,所以 EM⊥ AF,所以 ?EMN 是二面角 C ? AF ? E 的平面角,即
0 0 ?EMN ? ? . 设 ?FAC ? ? 则 0 ? ? ? 45 . 在 Rt?CNE 中

NE ? EC ? 600 ? 3 sin

. 在 Rt?AMN 中 ,

? MN? AN i n ? 3 s?n, 故 t a n ? ? ? s i
sin ? ?

NE 3 2 , 又 00 ? ? ? 450 , ?0 ? sin ? ? .故当 ? . MN 3 s i ? n 2

2 3 6 ,即当 ? ? 450 时, tan? 达到最小值, tan ? ? ? 2 ? .此时 F 与 C1 重合. 2 3 3

11.(2011 年高考陕西卷理科 16)(本小题满分 12 分) 如图:在 ? ABC中,?ABC=60 , ?BAC=90 ,
0 0

AD是BC上的高 ,沿 AD 把 ? ABD 折起,
使 ?BDC=90
0

师大教育,助你成功

(Ⅰ )证明:平面 ADB ? 平面BDC ; (Ⅱ )设 E为BC的中点,求AE与DB夹角的余弦值 。

?? ??? ? ?

AB 14.(2011 年高考全国卷理科 19)如图, 四棱锥 S ? ABCD 中, ? CD , BC ? CD , 侧面 SAB
为等边三角形, AB ? BC ? 2, CD ? SD ? 1. (Ⅰ )证明: SD ? SAB ; (Ⅱ AB 与平面 SBC 所成角的大小. )求 【解析】 ) (Ⅰ :连结 BD 过 D 作 DE ? AB于E, 则BEDC为正方形

? BE ? DE ? 2, 又AE ? AB ? BE,? AE ? 1 ,在

Rt?AED中,AD= AE2 ? DE2 ? 1 ? 22 ? 5
?SAB为等边三角形, SA ? SB ? AB ? 2 ,在 ?

?SAD中,AD2 ? 5, SA2 ? SD2 ? 22 ? 12 ? 5

师大教育,助你成功

? AD2 ? SA2 ? SD2

即SD ? SA ,同理可证 即SD ? SB, 又SA ? SB ? S

? SD ? 平面SAB 即SD ? SB, 又SA ? SB ? S ? SD ? 平面SAB
( Ⅱ) 过 D 做 Dz ? 平 面 A B C D 如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 D ? xyz , ,

1 3 A(2, ?1,0), B(2,1,0), C (0,1, 0), S ( , 0, ) 2 2
??? ? ? 可计算平面 SBC 的一个法向量是 n ? (0, 3, 2) , AB = (0, 2, 0)
z

???? ?? ? ? ??? ? ? | AB?n | 2 3 21 ? | cos ? AB, n ?|? ??? ? ? ? . 7 | AB || n | 2 7
x

y

21 所以 AB 与平面 SBC 所成角为 arccos . 7
15.(2011 年高考安徽卷江苏 16)如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 平面 PAD⊥ 平面 ABCD, AB=AD,∠ BAD=60° ,E、F 分别是 AP、AD 的中点.求证: (1)直线 EF∥ 平面 PCD; (2) 平面 BEF⊥ 平面 PAD

18.(2011 年高考上海卷理科 21)(14 分)已知 ABCD ? A B1C1D1 是底面边长为 1 的正四棱 1 柱, O1 是 AC1 和 B1D1 的交点。 1 (1)设 AB1 与底面 A1B1C1D1 所成的角的大小为 ? ,二面角 A ? B1D1 ? A 的大小为 ? 。 1 求证: tan ? ? 2 tan ? ;

师大教育,助你成功

(2)若点 C 到平面 AB1D1 的距离为 解:设正四棱柱的高为 h 。

4 ,求正四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 的高。 1 3

⑴ 连 AO1 , AA1 ? 底面 A1B1C1D1 于 A , 1 ∴ AB1 与底面 A1B1C1D1 所成的角为 ?AB1 A ,即 ?AB1 A1 ? ? 1 ∵ AB1 ? AD1 , O1 为 B1D1 中点,∴AO1 ? B1D1 ,又 AO1 ? B1D1 , 1 ∴ ?AO1 A 是二面角 A ? B1D1 ? A 的平面角,即 ?AO1 A1 ? ? 1 1 ∴ tan ? ?

AA1 AA1 ? h , tan ? ? ? 2h ? 2 tan ? 。 A1O1 A1B1



相关文章:
高中数学立体几何知识点总结大全
高中数学立体几何知识点总结大全 - 高中数学立体几何知识点总结大全 一、空间几何体的结构及其三视图与直观图 1.空间几何体的结构 (1)多面体 几何体 结构特征 ...
立体几何知识点总结
立体几何知识点总结 - 立体几何 一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示(正交基底,唯一的有序实数组,坐标) 二、空间向量的运算法则(加减数乘,平行的判定,一个...
高考立体几何知识点总结(详细)
收集整理:宋氏资料 2016-1-1 2016 高考立体几何知识点总结 一 、空间几何体 (一) 空间几何体的类型 1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的...
高考立体几何知识点详细总结
高考立体几何知识点详细总结_数学_高中教育_教育专区。重庆天星金考教育,专业高考文化课辅导编制 八、立体几何一、立体几何网络图: ⑹ 公理 4 ⑴ 线线平行 ⑵⑶...
立体几何知识点总结_典型方法总结_图文
立体几何知识点总结_典型方法总结 - 数学必修(二)知识梳理与解题方法分析 第一章 一、本章总知识结构 《空间几何体》 二、各节内容分析 1.1 空间几何体的结构...
高中立体几何知识点总结
高中立体几何知识点总结 - 高中立体几何知识点总结 一 、空间几何体 (一) 空间几何体的类型 1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形...
高中立体几何知识完全版总结
四面体. 1. 对照平面几何中的三角形,我们不难得到立体几何中的四面体的类似性质: ①四面体的六条棱的垂直平分面交于一点,这一点叫做此四面体的外接球的球心; ...
立体几何知识点总结(全)
立体几何知识点总结(全)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。必修 2 第一章 空间几何体知识点总结 第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识点总结公理 1 公理 ...
高中数学立体几何知识点总结
高中数学立体几何知识点总结 - 立体几何 一、平面的基本性质 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理 2 如果...
立体几何知识点总结
立体几何知识点总结 - 立体几何 知识点整理 1.公理及等角定理 (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. (2)公理 2:如果两...
更多相关标签: