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高一数学1.3.2-1奇偶性_图文

1.3.2 奇偶性

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第一课时

函数的奇偶性

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通过本节的学习,要求理解函数奇、偶性的概念,学会利用定义

判断函数的奇偶性,会用函数的奇偶性在解决有关问题.如求函数解析
式,作函数的图象等.

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1.偶函数的定义
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有________, 那么函数f(x)就叫做________. 2.奇函数的定义 如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有________,那么函

数f(x)就叫做________.

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自我校对 1.f(-x)=f(x) 偶函数

2.f(-x)=-f(x)

奇函数

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1.奇函数的特点
(1)图象关于原点对称; (2)在关于原点对称的区间上具有相同的单调性; (3)如果在x=0时有定义,则f(0)=0. 2.偶函数的特点

(1)图象关于y轴对称;
(2)在y轴两侧具有相反的单调性.

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3.判定函数的奇偶性的方法 (1)定义法:若函数的定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶

函数;若函数的定义域关于原点对称,则应进一步判断f(-x)是否等于
±f(x),或判断f(-x)±f(x)是否等于0,从而确定奇偶性. (2)图象法:若函数图象关于原点对称,则函数为奇函数;若函数

图象关于y轴对称,则函数为偶函数.
(3)对于选择题或填空题,还有如下方法判断函数的奇偶性. 两个奇函数的和仍为奇函数;两个奇函数的积为偶函数;两个偶 函数的和仍为偶函数;两个偶函数的积为偶函数;一个奇函数与一个偶 函数的积为奇函数.

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题型一 判断函数的奇偶性
例1:判定下列函数的奇偶性.
x2+1 (1)f(x)= ; x-1 (2)f(x)= 1-x 2 + x2-1; 3x (3)f(x)= 2 ; x +3 (4)f(x)=|x+1|+|x-1|;

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分析:解答本题应首先判断函数的定义域是否关于原点对称,然 后再根据定义判定奇偶性.

解:(1)f(x)的定义域是(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,
∴f(x)是非奇非偶函数; (2)f(x)的定义域是{-1,1},关于原点对称,且f(-1)=f(1)=0,

∴f(-1)=f(1),
且f(-1)=-f(1), ∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数;

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(3)f(x)的定义域为(-∞,+∞),关于原点对称, 3?-x? 3x 又f(-x)= =- 2 =-f(x), x +3 ?-x?2+3 ∴f(x)是奇函数; (4)f(x)的定义域为R. 又f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f(x), ∴f(x)是偶函数.

规律技巧:判断函数的奇偶性,首先要看定义域是否关于原点对
称,若定义域关于原点对称,再用定义判断其奇偶性,否则,就是非奇 非偶函数.

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变式训练1:判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=x+1; 1 (2)f(x)=x+ ; x (3)f(x)=x4+x 2+1;

解:(1)定义域为R, f(-x)=-x+1≠x+1=f(x),

且f(-x)+f(x)=-x+1+x+1=2,
∴f(-x)≠-f(x). 故f(x)为非奇非偶函数.

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(2)f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
? 1? 1 f(-x)=-x+ =-?x+ ? x? -x ?

=-f(x), ∴f(x)为奇函数. (3)f(x)的定义域为R, f(-x)=(-x)4+(-x)2+1 =x4+x2+1=f(x) ∴f(x)为偶函数.

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题型二

判断分段函数的奇偶性

?x2+2x+3 ?x<0?, ? 例2:判断函数f(x)= ?0 ?x=0?, ?-x2+2x-3 ?x>0? ?
解:显然定义域关于原点对称. 当x<0时,-x>0, ∴f(-x)=-(-x)2+2(-x)-3

的奇偶性.

=-x2-2x-3
=-f(x),(x<0). 当x=0时,f(-x)=-f(x)=0.

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当x>0时,-x<0, ∴f(-x)=(-x)2+2(-x)+3

=x2-2x+3
=-(-x2+2x-3) =-f(x),(x>0). 故f(x)是奇函数.

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规律技巧:对于分段函数判断其奇偶性,应按照对应关系分段进 行判断,每段奇偶性相同,才具有奇偶性,否则是非奇非偶函数.

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?x?1-x?,x<0, ? 变式训练2:判断函数f(x)=? ?x?1+x?,x>0 ?

的奇偶性.

解:∵函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 并且当x<0时,-x>0, ∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x),(x<0).

当x>0时,-x<0,
∴f(-x)=-x(1+x)=-f(x),(x>0). ∴函数f(x)是奇函数.

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题型三

利用函数的奇偶性求解析式

例3:已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d是奇函数,并且f(1)=1,f(2)

=14,求f(x).
解:∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x), 即-ax3+bx2-cx+d=-(ax3+bx2+cx+d) ∴bx2+d=0,∴b=0,d=0. 又f(1)=a+c=1,①

f(2)=8a+2c=14,②
联立①②解得a=2,c=-1, ∴f(x)=2x3-x.

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规律技巧:该题抓住f(-x)=-f(x)对任意实数都成立,得到恒等式 bx2+d=0,进一步可得b=0,d=0.

若函数f(x)的解析式是关于x的多项式的形式,如果f(x)为偶函数,
那么x的奇次项的系数为0;如果是奇函数,那么x的偶次项系数为0,且 常数项为0.

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变式训练3:(2011·保定一模)函数f(x)是定义在R上的奇函数,当 x>0时,f(x)=-x+1,则当x<0时,f(x)的解析式为( )

A.f(x)=-x+1
C.f(x)=x+1 解析:当x<0时,-x>0, ∴f(-x)=-(-x)+1=x+1. 又f(-x)=-f(x),

B.f(x)=-x-1
D.f(x)=x-1

∴f(x)=-x-1.
答案:B

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例4:判断函数f(x)=(1+x)

1-x 的奇偶性. 1+x
21-x

错解:∵f(x)=(1+x) = 1-x2 .

1-x = 1+x

?1+x?

1+x

= ?1+x??1-x?

∴f(-x)= 1-?-x?2= 1-x2 =f(x). ∴f(x)为偶函数.

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错因分析:没有考查函数的定义域,而直接应用定义判断. 正解:由f(x)的解析式知,当x=1时,f(1)=0,函数有意义,当x=

-1时函数无意义.
所以函数的定义域不关于原点对称,所以函数f(x)为非奇非偶函数.

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1.函数f(x)=x2(x≥0)的奇偶性为(
A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数,又是偶函数 D.非奇非偶函数

)

答案:D

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1 2.函数f(x)=x- 的图象关于( x A.原点对称 C.x轴对称

) B.y轴对称 D.y=x对称

1 解析:易判断f(x)=x- 为奇函数,其图象关于原点对称. x
答案:A

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3.函数f(x)=ax2+1在[3-a,3]上是偶函数,则a=________. 解析:由f(x)为偶函数知,其定义域关于原点对称,∴3-a+3=

0,∴a=6.
答案:6

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4.(2011·抚顺模拟)已知函数y=f(x)在R上为偶函数,且当x>0时, f(x)=1,则函数y=f(-2)的值是________.

解析:∵f(x)为偶函数,且当x>0时,f(x)=1.
∴f(-2)=f(2)=1 答案:1

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5.设f(x)为定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-2x2 +3x+ 1,试求函数f(x)的解析式.

解:∵f(x)是定义在R上的奇函数.
∴f(0)=0. 当x<0时,-x>0, ∴f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1 =-2x2-3x+1,

又f(-x)=-f(x),
∴f(x)=2x2+3x-1.

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综上得,

?-2x2+3x+1, x>0, ? f(x)=?0, x=0, ?2x2+3x-1, x<0. ?

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