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浙江省嘉兴市第一中学湖州中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题 含解析

2018 学年第二学期高一数学试题

一、选择题:在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.

1.不等式

的解集是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先分解因式再解不等式.

【详解】因为

,所以



,选 C.

【点睛】本题考查解一元二次不等式,考查基本求解能力,属基础题.

2.若

的三个内角满足

,则( ).

A. 一定 直角三角形

B. 一定是钝角三角形

C. 一定是锐角三角形

D. 可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形

是 【答案】B

【解析】

【分析】

先根据正弦定理得边的关系,再根据余弦定理求最大角的余弦值,最后根据符号确定选项.

【详解】因为

,所以

,

因此最大角为 C,设

,则

一定是钝角三角形,选 B. 【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理,考查基本分析与求解能力,属基础题.

,所以 C 为钝角,即

3.已知向量 A. 【答案】C 【解析】





B.

,若 C.

,则 的值为( ) D.

【分析】

根据向量共线坐标表示得方程,解得结果.

【详解】因为

,所以

,

【点睛】本题考查向量共线,考查基本分析与求解能力,属基础题.

选 C.

4.若 A.

,且

,则下列不等式一定成立的是( ) B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据不等式性质确定选项.

【详解】当 时,

因为

,所以

当 时,

不成立;

不成立; ;

当 时,

不成立;

所以选 B. 【点睛】本题考查不等式性质,考查基本分析判断能力,属基础题.

5.平面向量 与 的夹角为 60°,



()

A.

B. 12

C. 4

D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据向量数量积定义得 ,再根据向量的模求结果.

【详解】因为

,所以

【点睛】本题考查向量数量积以及向量的模,考查基本分析求解能力,属基础题.

6.在 中,角 所对的边分别是 ,若

,则 为( )

选 D.

A.

B.

C.

.【答案】C
【解析】 试题分析:


,则有 ,即

所以

,故有

,解得

,因为

考点:1 正弦定理;2.边角互化

,则有 ,所以

7.已知

,则 的取值范围是( )

A.

B.

C.

【答案】D

【解析】

【分析】

先寻找



、 的关系,再根据不等式性质得结果.

【详解】因为

+2( ),所以

【点睛】本题考查不等式性质,考查基本分析求解能力,属基础题.

D. ,则有 ,故选 C.
D.

,即 ,选 D.

,即 ,因为

8.若数列 满足 A. 无最大值 C. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求数列 周期,再根据周期确定选项. 【详解】因为

,记数列 的前 项积为 ,则下列说法错误的是( ) B. 有最大值 D.


所以

因此数列 为周期数列,

, 有最大值 2,



因为

,

所以

周期数列,

, 有最大值 4,

,

综上选 A.

【点睛】本题考查数列周期,考查基本分析求解能力,属中档题.

为 9.设等差数列 的前 项和为 ,且

A.

B.

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据条件得首项与公差关系,再结合选项判断

【详解】因为



,则使得 C.
符号.

的最小的 为( ) D.

所以



时,





时,

所以选 B. 【点睛】本题考查等差数列通项公式与求和公式,考查基本分析判断能力,属中档题.

10.数列 :1,1,2,3,5,8,13,21,34,…,称为斐波那契数列,是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波

那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始,每项等于其前相邻两项之和.即:

.记该数列 的前 项和为 ,则下列结论正确的是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据递推关系利用裂项相消法探求和项与通项关系,即得结果.

【详解】因为



所以

,选 D.

【点睛】本题考查裂项相消法,考查基本分析判断能力,属中档题.

二、填空题:本大题共 7 小题。

11.已知等比数列 满足:

,且

【答案】 (1).

(2).

【解析】

【分析】

根据条件列方程组解得首项与公比,再求 .

【详解】因为

,所以

,则 _____; _____





因为

,所以

【点睛】本题考查等比数列首项与公比,考查基本分析求解能力,属中档题.

12.已知等差数列 的前 项和记为 ,若

,则

【答案】 (1).

(2).

【解析】

【分析】

根据等差数列和项性质求 .根据首项与公差求 .

【详解】因为等差数列中

仍成等差数列,

所以

因为

,

_____; ,

_____

所以



【点睛】本题考查等差数列求和公式以及性质,考查基本分析求解能力,属中档题.

13.在 中,角 所对的边分别是

的取值范围是______.

【答案】 (1).

(2).

【解析】

,已知

.若 ,则 的面积为____;若 有两解,则

【分析】 根据等腰三角形性质可得 【详解】若 ,则

的面积,根据正弦定理确定有两解条件. ,因此 的面积为

由正弦定理得

,

因为 有两解,所以 【点睛】本题考查正弦定理以及三角形面积,考查基本分析判断与求解能力,属中档题.

14.已知 是不共线的两个单位向量, 不可能垂直,则 在 上的投影为______.

若 ,则 _____;若对任意的 , 都

【答案】 (1).

(2).

【解析】 【分析】 根据向量平行可列方程解得 ;先根据向量数量积探求

的值,再根据向量投影公式可得结果.

【详解】因为 , 是不共线的两个单位向量,所以

由题意得

, 对任意的 恒成

立,所以

所以 在 上的投影为

.

【点睛】本题考查向量共线、垂直与投影,考查基本分析判断与求解能力,属中档题.

15.已知平面向量 满足

,则 的夹角等于_____

【答案】

【解析】

【分析】

由向量垂直的充分必要条件可得

【详解】由

得,

据此可得:

,据此求得向量夹角的余弦值,然后求解向量的夹角即可.

,即







又 与 的夹角的取值范围为 ,故 与 的夹角为 . 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积,向量垂直的充分必要条件,向量夹角的计算等知识,意在考查学生的 转化能力和计算求解能力.

16.已知 中, 的平分线交对边 BC 于点 D,

,且

【答案】

【解析】 【分析】 根据三角形面积公式列函数关系式,再根据三角形内角范围求结果.

【详解】由题意得

,则实数 的取值范围是_____ ,

所以

,

即 【点睛】本题考查三角形面积公式,考查基本分析判断与求解能力,属中档题.

17.已知数列 满足

,且当 时,

【答案】 【解析】 【分析】 变形递推关系式,再根据叠乘法求结果. 【详解】当 时, 因此当 时,

,所以

,则 _____ ,

所以

因为当 时,

,所以

.

【点睛】本题考查利用叠乘法求数列通项,考查基本分析判断与求解能力,属中档题.

三、解答题:本大题共 5 小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.已知函数

(Ⅰ)若不等式

的解集是

(Ⅱ)若 ,且不等式

对任意

,求实数 的值; 恒成立,求实数 的取值范围.

【答案】(Ⅰ)

(Ⅱ)

【解析】

分析】

(Ⅰ)根据不等式解集与对应方程根的关系列式求解,(Ⅱ)分离变量,转化为求对应函数最值问题.

【详解】(Ⅰ)因为不等式

的解集是



所以 为

两根,且 ,

因此

(Ⅱ)因为 ,所以不等式

可化为

因当



,

所以

,因为 ,解得

【点睛】本题考查不等式解集与对应方程根的关系以及不等式恒成立问题,考查基本分析判断与求解能力,属中档题.

【19.在 中,角 (Ⅰ)求边 的长;

所对的边分别是

,已知

(Ⅱ)若 的面积为 ,求 的值.

【答案】(Ⅰ) 【解析】
为 【分析】

(Ⅱ)

的周长为

,且

(Ⅰ)先根据正弦定理得边的关系,再根据周长求 ;(Ⅱ)根据三角形面积公式得 的值,再根据余弦定理求结果.

【详解】(Ⅰ)因为

,所以由正弦定理得

,

因为周长为

,所以

(Ⅱ)因为 的面积为 ,所以



所以

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及面积公式,考查基本分析判断与求解能力,属中档题. 20.如图,在梯形 中,

(Ⅰ)若 (Ⅱ)若

,求实数 的值;

,求数量积

的值

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)

【解析】 【分析】 (Ⅰ)根据平面向量基本定理求解,(Ⅱ)根据向量数量积定义求解.

【详解】(Ⅰ)因为

,所以

,

,

因此



(Ⅱ)

【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量数量积,考查基本分析判断与求解能力,属中档题.

21.设公差不为 的等差数列 中,



(Ⅰ)求数列 的通项公式;

构成等比数列.

(Ⅱ)若数列 的前 项和 满足:

,求数列

的前 项和 .

【答案】(Ⅰ)

(Ⅱ)

【解析】 【分析】 (Ⅰ)根据条件列方程解得公差,再根据等差数列通项公式得结果,(Ⅱ)先根据和项求通项,再根据错位相减法求

和. 【详解】(Ⅰ)因为
所以 (Ⅱ)当 时 当时


构成等比数列,所以 (0 舍去)
, ,

相减得 所以

即 【点睛】本题考查等差数列通项公式以及错位相减法求和,考查基本分析求解能力,属中档题.

22.已知数列 满足



.

(Ⅰ)求证:数列

是等比数列;

(Ⅱ)比较

的大小,并用数学归纳法证明;

(Ⅲ)设

,数列 的前 项和为 ,若

对任意

恒成立,求实数 的取值范围.

【答案】(Ⅰ)见证明(Ⅱ)

(Ⅲ)

【解析】 【分析】 (Ⅰ)根据等比数列定义证明,(Ⅱ)先求 ,再根据数学归纳法证明,(Ⅲ)先化简 ,再利用裂项相消法求和得 , 最后根据 最大值得结果.

【详解】(Ⅰ)



,

(Ⅱ)由(Ⅰ)知:

是以 3 为首项, 为公比的等比数列,

,下面用数学归纳法证明

(1)当 时,

(2)假设当

时,

,



时,

立,

由(1)(2)得

,

(Ⅲ)因为

,即当

时,结论成

【点睛】本题考查证等比数列、数学归纳法以及裂项相消法求和,考查基本分析论证与求解能力,属中档题.


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