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高一数学上学期期末考试复习卷必修一和二

高一上学期期末考试复习卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.
1.直线 3 x ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角是( A、 30? B、 60? ) C、 120? D、 135? ) D.1 )
1 9

2.两条平行线 l1 : 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 与 l2 : 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 之间的距离是( A.3 B.
3 5

C.

1 5

?log x, x ? 0 ? ? 1 ?? 3.已知函数 f ? x ? ? ? x 2 , 则 f ? f ? ? ? 的值是( ? ? 4 ?? ?3 , x ? 0

A. 9 4.函数 f ( x) ?

B.

1 9

C. ?9 )

D. ?

lg( x ? 1) 的定义域是( x ?1

A. (?1, ??)

B. [?1, ??)

C. (?1,1) ? (1, ??) D. [?1,1) ? (1, ??) ) D. y ? x
1 3

5.下列函数在其定义域内既是奇函数,又是增函数的是( A. y ?
x

B.

y?3

x

C. y ? log 2 x

6.已知不同直线 m 、 n 和不同平面 ? 、 ? ,给出下列命题: ①
? // ? ? ? ? m // ? m ???
m ??? ? ? m, n 异面 n?? ?



m // n ? ? ? n // ? m // ? ?



④ )个 B.1

? ? ?? ??m? ? m // ? ?

其中错误的命题有( A.0

C.2

D.3 )

7. ? O1 : x2 ? y 2 ? 4 x ? 6 y ? 12 ? 0 与 ? O2 : x2 ? y 2 ? 8x ? 6 y ? 16 ? 0 的位置关系是( A.相交 B.外离 C.内含

D.内切 )

8.函数 f ( x) ? 4 ? 4 x ? e x ( e 为自然对数的底)的零点所在的区间为( A. (1, 2) B. (0,1) C. (?1,0) ) D. (?2, ?1)

9.已知 a ? log 1 5, b ? log 2 3, c ? 1, d ? 3?0.5 ,那么(
2

A. a ? c ? b ? d

B. a ? d ? c ? b

C. a ? b ? c ? d

D. a ? c ? d ? b

10. 把正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二角后,下列命题正确的是: A. AB ? BC B. AC ? BD C. CD ? 平面ABC D. 平面ABC ? 平面ACD
1

11.函数 f ( x) ? x ?
y ?1

x x y

的图像为(


y y

1

o
A

x

o

1 ?1

x

1? o? ?1

x
C

1? ?o ?1

x
D

B

12.设奇函数 f ( x) 在 (0, ? ?) 上为减函数,且 f (1) ? 0 ,则不等式 A. (?1, 0) ? (1, ? ?) B. (??, ? 1) ? (0, 1)

f ( x) ? f (? x) ) ? 0 的解集为( x C. (??, D. (?1, ? 1) ? (1, ? ?) 0) ? (0, 1)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13. lg 5 ? lg 20 的值是 14.过点 (5, 2) 且在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程是
2 2 2

.
2 2 2

15. 一个几何体的三视图如图 2 所示,那么这个几何体的表面积 为 ...

.
4 4

2 正视图

2 侧视图

俯视图

16.函数 y ? (m2 ? m ? 1) x m

2

? 2 m ?1

是幂函数,且在 x ? ?0,?? ? 上是减函数,则实数 m ?

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分. 17. (本小题满分 14 分)已知直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 , (1)求与 l 平行,且过点 (1, 4) 的直线方程: (2)已知圆心为 (1, 4) ,且与直线 l 相切求圆的方程;

2

18.(本小题 12 分) 如图,长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? AD ? 1 ,点

D1 C1 P

A1 B1

P 为 DD1 的中点。 (1)求证:直线 BD1 ∥平面 PAC ; (2)求证:平面 PAC ? 平面 BDD1 ;

D C B

A

19. (本小题满分 14 分)如图,已知矩形 ABCD 中, AB ? 10 , BC ? 6 ,将矩形沿对角线 BD 把 ?ABD 折起, 使 A 移到 A?1 点,且 A?1 在平面 BCD 上的射影 O 恰在 CD 上,即 A?1O ? 平面 DBC . (1)求证: BC ? A1 D ; (2)平面 A?1 BC ? 平面 A?1 BD ; (3)求点 C 到平面 A?1 BD 的距离.

A1

D A
x ?1 ?x ? 1? . x ?1

O B

C

20、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? (1)证明 f ( x ) 在 ?1,?? ? 上是减函数;

(2)当 x ? ?3,5?时,求 f ( x ) 的最小值和最大值.

21、 (本小题满分 16 分)已知直线 l : x ? 2 y ? 3 ? 0 与圆 C : x 2 ? y 2 ? x ? 6 y ? m ? 0 相交于 P, Q 两点 O 为坐 标原点,D 为线段 PQ 的中点。 (1)求圆心 C 和点 D 的坐标; (3)若 OP ? OQ ,求 PQ 的长以及 m 的值。

3

22. (本小题满分 14 分) 设 a 为常数, a ? R ,函数 f ( x) ? x 2 ? | x ? a | ?1 ( x ? R) . (1)若函数 f ( x) 为偶函数,求实数 a 的值; (2)求函数 f ( x) 的最小值.

2013 年高一上学期期末考试复习卷(A 卷)参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 1.直线 3 x ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角是( A、 30? B、 60? C ) D、 135?

C、 120?

2.两条平行线 l1 : 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 与 l2 : 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 之间的距离是( B ) A.3 B.

3 5

C.

1 5

D.1

3.已知函数 f

? x?

?log 2 x, x ? 0 ? 1 ?? ? ? , 则f ? ? f ? ? ? 的值是( B ) x ?3 , x ? 0 ? ? 4 ??
B.

A. 9 4.函数 f ( x) ?

1 9

C. ?9

D. ?

1 9

lg( x ? 1) 的定义域是( C ) x ?1
B. [?1, ??) C. (?1,1) ? (1, ??) D. [?1,1) ? (1, ??)
4

A. (?1, ??)

5.下列函数在其定义域内既是奇函数,又是增函数的是( A. y ?

D


1

x

B.

y ? 3x

C.

y ? lg | x |
m // n ? ? ? n // ? m // ? ?

D. y ? x 3

6.已知不同直线 m 、 n 和不同平面 ? 、 ? ,给出下列命题: ①

? // ? ? ? ? m // ? m ???
m ??? ? ? m, n 异面 n?? ?







? ? ?? ??m? ? m // ? ?
C.2 D.3 )

其中错误的命题有( D )个 A.0 B.1

7. ? O1 : x2 ? y 2 ? 4 x ? 6 y ? 12 ? 0 与 ? O2 : x2 ? y 2 ? 8x ? 6 y ? 16 ? 0 的位置关系是(D A.相交 B.外离 C.内含 D.内切

8.函数 f ( x) ? 4 ? 4 x ? e ( e 为自然对数的底)的零点所在的区间为( B )
x

A. (1, 2)

B. (0,1)

C. (?1, 0) )

D. (?2, ?1)

9.已知 a ? log 1 5, b ? log 2 3, c ? 1, d ? 3?0.5 ,那么(B
2

A. a ? c ? b ? d

B. a ? d ? c ? b

C. a ? b ? c ? d

D. a ? c ? d ? b

10. 把正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二角后,下列命题正确的是:B A. AB ? BC B. AC ? BD C. CD ? 平面ABC D. 平面ABC ? 平面ACD

11.函数 f ( x ) ? x ?

x x y

的图像为( C )

y ?1

y

y

1

o

x

o
B

1 ?1

x

1? o? ?1
C

x

1? ?o ?1
D

x

A

12.设奇函数 f ( x) 在 (0, ? ?) 上为减函数,且 f (1) ? 0 ,则不等式 A. (?1 , 0) ? (1 , ? ?) B. (??, ? 1) ? (0, 1)

f ( x) ? f (? x) ? 0 的解集为( C ) x C. (??, D. (?1 ? 1) ? (1 , ? ?) , 0) ? (0, 1)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.
5

13. lg 5 ? lg 20 的值是

1
2x ? 5 y ? 0 或 x ? 2 y ? 9 ? 0 ;

14.过点 (5, 2) 且在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程是
15. 一个几何体的三视图如图 2 所示,那么这个几何体的表面积 为 ...

11?

.

2 2

2

2 2

2

16.函数 y ? (m ? m ? 1) x 则实数 m ? 2
2

m2 ?2 m ?1

是幂函数,且在 x ? ?0,?? ? 上是减函数,
2 正视图

4

4

2 侧视图

俯视图

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 17. (本小题满分 12 分)已知直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 , (1)求与 l 平行,且过点 (1, 4) 的直线方程: (2)已知圆心为 (1,4) ,且与直线 l 相切求圆的方程; 解: (1)∵所求的直线与直线 l 平行, ∴设所求的直线方程为 x ? 2 y ? c ? 0(c ? ?4) ,

?直线经过点 (1, 4) 即 1 ? 2 ? 4 ? c ? 0, c ? ?9
∴所求的直线方程为 x ? 2 y ? 9 ? 0 . ……6 分

(2) 设圆的半径为 r ,?圆与直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 相切

?r ?

1? 8 ? 4 1? 2
2

? 5

∴所求的圆的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 4) ? 5 . ……12 分
2 2

18.(本小题 12 分) 如图,长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? AD ? 1 ,点

D1 C1 P

A1 B1

P 为 DD1 的中点。 (1)求证:直线 BD1 ∥平面 PAC ; (2)求证:平面 PAC ? 平面 BDD1 ;

D

A B

18. 证明: (1)设 AC 和 BD 交于点 O,连 PO, 由 P,O 分别是 DD1 ,BD 的中点,故 PO// BD1 ,

C

6

所以直线 BD1 ∥平面 PAC ------------5 (2)长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? AD ? 1 , 底面 ABCD 是正方形,则 AC ? BD 又 DD1 ? 面 ABCD,则 DD1 ? AC, 所以 AC ? 面 BDD1 ,则平面 PAC ? 平面 BDD1 --

19. (本小题满分 14 分)如图,已知矩形 ABCD 中, AB ? 10 , BC ? 6 ,将矩形沿对角线 BD 把 ?ABD 折起, 使 A 移到 A?1 点,且 A?1 在平面 BCD 上的射影 O 恰在 CD 上,即 A?1O ? 平面 DBC . (1)求证: BC ? A1 D ; (2)平面 A?1 BC ? 平面 A?1 BD ;
D A A1

(3)求点 C 到平面 A?1 BD 的距离. 19. 【解析】 (1)∵ A?1O ? 平面 DBC ,∴ A?1O ? BC , 又 ∵ BC ? DC , A1O ? DC ? O , ∴ BC ? 平面 A?1 DC ,∴ BC ? A?1 D . (2)∵ BC ? A?1 D , A?1 D ? A?1 B , BC ? A?1 B ? B , ∴ A1 D ? 平面 A1 BC , 又 ∵ A?1 D ? 平面 A?1 BD , ∴平面 A?1BC ? 平面 A?1 BD . (3)设 C 到平面 A?1 BD 的距离为 h ,则 ∵ VC ? A1BD ? VA1 ? DBC , 又 ∵ S ?A1BD ∴ h? ……9 分 ……4 分
O B C

1 1 S?A1BD ? h ? S?DBC ? A1O , 3 3 6 ? 8 24 ? S ?DBC , A1O ? , ? 10 5
∴ ……14 分

24 . 5

20、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? (1)证明 f ( x ) 在 ?1,?? ? 上是减函数;

x ?1 ?x ? 1? . x ?1

(2)当 x ? ?3,5?时,求 f ( x ) 的最小值和最大值. (1)证明:设 1 ? x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

x1 ? 1 x 2 ? 1 ? x1 ? 1 x 2 ? 1

…2 分

7

?

?x1 ? 1??x2 ? 1? ? ?x2 ? 1??x1 ? 1? ? ? 2?x2 ? x1 ? ?x1 ? 1??x2 ? 1? ?x1 ? 1??x2 ? 1?

……4 分

? x1 ? 1, x2 ? 1, ? x1 ? 1 ? 0, x2 ? 1 ? 0, ? ( x1 ? 1)?x2 ? 1? ? 0, ? x1 ? x2 ,? x2 ? x1 ? 0, ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )
? f ( x) 在 ?1,?? ? 上是减函数。
(2)? ?3,5? ? ?1,?? ? ,? f ( x) 在 ?3,5? 上是减函数, ……10 分 ……12 分

……6 分 ……7 分 ……8 分

? f ( x ) max ? f (3) ? 2, f ( x ) min ? f (5) ? 1.5,

21、 (本小题满分 14 分)已知直线 l : x ? 2 y ? 3 ? 0 与圆 C : x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0 相交于 P, Q 两点,
2 2

O 为坐标原点,D 为线段 PQ 的中点。 (1)求圆心 C 和点 D 的坐标; (3)若 OP ? OQ ,求 PQ 的长以及 m 的值。
2 2 21.解:(1)? C : x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0 ? C : ( x ? ) ? ( y ? 3) ?
2 2

1 2

37 ?m 4

圆心 C 为 ( ?

1 1 ?2 ,3) ,? CD ? PQ ? kCD ? ? k PQ 2

1 ? lCD : y ? 3 ? 2( x ? ) 即 2 x ? y ? 4 ? 0 2
联立方程 ?

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? x ? ?1 解之得 ? 即 D(?1, 2) …………………6 分 ?2 x ? y ? 4 ? 0 ?y ? 2

(2)解法一:连接 PC ,? D 为 PQ 的中点, OP ? OQ …………………8 分

? PQ ? 2 OD ? 2 1 ? 22 ? 2 5 …………………10 分
在 Rt? PCD 中,? CD ? PD ? PC ? 又 PD ?
2 2 2

37 ? m …………………11 分 4

1 1 5 AB ? 5, CD ? ?1 ? …………………13 分 2 4 2

?

37 25 ? m ? , m ? 3 …………………14 分 4 4
y p yQ
p Q

(2)解法二:设点 P(xp,yQ),Q(xQ,yQ) 当 OP⊥OQ≥Kop· KOQ=-1 ?x · x =-1 ? xpxQ+ypyQ = 0 (1)……………………8 分

8

又直线与圆相交于 P、Q

? x ? 2 y ? 3 ? 0(2) ?? 2 2 ? x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0(3)

? 是方程 5x2+10x+(4m-27)=0 的两根 4m ? 27 有:xp+xQ=-2,xp· xQ= ……………………10 分 5 1 又 P、Q 在直线 x+2y-3=0 上 yp· yQ= (3- xp)· (3- xQ) 2 1 = [9-3(xp+ xQ)+ xp· xQ] ……………………11 分 4
的根是 P、Q 坐标 由(1)(2)(3)得:m=3………………………………12 分 且检验△ >O 成立…………………………………13 分 故存在 m=3,使 OP⊥OQ…………………………14 分

22. (本小题满分 14 分) 设 a 为常数, a ? R ,函数 f ( x) ? x ? | x ? a | ?1 ( x ? R) .
2

(1)若函数 f ( x) 为偶函数,求实数 a 的值;

(2)求函数 f ( x) 的最小值.

解: (1)因为 f ( x) 为 R 上的偶函数,所以 f (? x) ? f ( x) 对一切实数 x 恒成立, 即 (? x) ? | ? x ? a | ?1 ? x ? | x ? a | ?1 恒成立,
2 2

化简得 | ? x ? a | ?| x ? a | 恒成立,故 ?x ? a ? x ? a 或 ?x ? a ? ?x ? a 恒成立, 故a ? 0; (2)注:此问和第(1)问无关系。二次函数问题要画图分析

3 1 ,对称轴为 x ? ? , 2 4 1 1 1 1 3 若 a ? ? , f ( x) 的最小值 g (a) ? f (? ) ? (? ) 2 ? (? ) ? a ? 1 ? ?a ? ; 2 2 2 2 4 1 2 2 若 a ? ? , f ( x) 的最小值 g (a) ? f (a) ? a ? a ? a ? 1 ? a ? 1 ; 2 1 3 1 当 x ? a 时, f ( x) ? x 2 ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) 2 ? a ? ,对称轴为 x ? , 2 4 2 1 2 2 若 a ? , f ( x) 的最小值 g (a) ? f (a) ? a ? a ? a ? 1 ? a ? 1 ; 2 1 1 1 1 3 若 a ? , f ( x) 的最小值 g (a) ? f ( ) ? ( ) 2 ? ? a ? 1 ? a ? ; 2 2 2 2 4
当 x… a 时, f ( x) ? x 2 ? x ? a ? 1 ? ( x ? )2 ? a ?

1 2

3 1 ? a? ? ??a ? 4 , 2 ? 1 1 ? 2 综上, f ( x) 的最小值 g ( a ) ? ? a ? 1, ? ? a ? 2 2 ? 3 1 ? a? ? a? 4, 2 ?
9

10


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