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广西南宁市第三中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)

南宁三中 2018~2019 学年度上学期高一期考 数学试题
一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。 )
1.已知集合 A. 【答案】A 【解析】 因为 , ,所以 故选 A. B. C. D. 则 ( )

考点:本题主要考查不等式基础知识及集合的交集运算.

2.如果

,且

,则 是( ) B. 第二象限的角 D. 第四象限的角

A. 第一象限的角 C. 第三象限的角 【答案】C 【解析】 试题分析:由题

, 是第二或第三象限。

, 是第一或第三象限。

综上: 是第三象限的角. 考点:角的象限与三角函数值的正负. 3. A. C. 【答案】C 【解析】 试题分析:要使函数有意义,需满足: 考点:函数的定义域. ,所以 . D. B. 的定义域为( )

4.已知 是第四象限角, A. 【答案】C 【解析】 【分析】 B. C.

,则 D.

(

)

根据同角三角函数关系式和角 α 在第四象限,确定 cosα 的值,再求得 tanα 的值即可。 【详解】因为 解得 又因为 α 在第四象限 所以 所以 所以选 C 【点睛】本题考查了同角三角函数关系式,角在四个象限的符号,属于简单题。 5.函数 A. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意易知函数 f (x) =3x+2x﹣7 在定义域上是连续增函数, 再由函数零点的判定定理求解. 【详解】易知函数 f(x)=3 +2x﹣7 在定义域上是连续增函数, f(1)=3+2﹣7=﹣2<0, f(2)=9+4﹣7=6>0, f(1)f(2)<0; 由零点判定定理,可知函数 f(x)=3x+2x﹣7 的零点所在的区间为(1,2) ; 故选:B. 【点睛】本题考查了函数的零点的判断,属于基础题.
x

,代入

的零点所在的区间为( B. C. D.



6.函数 f(x)=ln( A. 【答案】C 【解析】 求得函数的定义域为 为 ,外函数在 B.

)的递增区间为( ) C. D.

,设内函数 单调递增,内函数在

,外函数 单调递增,根据复合函数单调性“同

增异减”,所以函数 f(x)在区间 7.若 A. B. ,则 C. D.

上单调递增,选 C. ( )

【答案】C 【解析】 【分析】 由已知求得 tanα ,再由同角三角函数基本关系式化弦为切求得 sin α ﹣ sinα cosα ﹣ 3cos α 的值. 【详解】由 ∴ 可知: ,∴ ,
2 2

又 故选 C.

=

= .

【点睛】本题考查三角函数的化简求值,考查同角三角函数基本关系式的应用,是基础题. 8.如图,矩形 的三个顶点 , , 分别在函数 , , ,的图像上, ) .

且矩形的边分别平行于两坐标轴,若点 的纵坐标为 ,则点 的坐标为(

A. 【答案】C 【解析】

B.

C.

D.

由图可知点 在函数 所以将

上,又点 的纵坐标为 , , 的图像上,

代入对数函数解析式可求得点 的坐标为

所以点 的横坐标为 ,点 的纵坐标为 ,点 在幂函数 所以点 的坐标为 , 的图像上,

所以点 的横坐标为 ,点 的指数函数 所以点 的坐标为 ,

所以点 的纵坐标为 , 所以点 的坐标为 故选: . 9.已知定义在 上的函数 的图象关于 轴对称,且函数 在 上单调递减,则不等式 .

的解集为( ) A. C. 【答案】A 【解析】 【分析】 函数图像关于 轴对称,故函数在 个不等式. 【详解】依题意,函数 故 是偶函数,且 在 上单调递增, ,故选 A. 上递增,由此得到 ,两边平方后可解得这 D. B.

【点睛】本小题主要考查函数的对称性,考查函数的单调性以及绝对值不等式的解法,属于 中档题.

10.将函数 数 A. 【答案】B 【解析】 的图像,则函数 B.

图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,得到函 的图像的一个对称中心是( ) C. D.

分析:根据三角函数的放缩变换,可得到 详解:函数 得到 由 当 , ,可得 时,对称中心为 ,故选 B. ,

,由余弦函数的对称性可得结果.

图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,

点睛:本题主要考查三角函数的图象与性质,属于中档题.由 函数 数的周期为 ;由 11.有以下四个命题:①集合 围为 经过点 A. 1 ;②函数 ,若 B. 2 C. 3 则 D. 4 只有一个零点;③函数 可得对称中心横坐标;由

可求得函 可得对称轴方程. 若 则 的取值范

的周期为 ;④角 的终边 )个.

.这四个命题中,正确的命题有(

【答案】A 【解析】 【分析】 由 A 为空集和不为空集,可得 m 的不等式组,解不等式可得 m 的范围,可判断①; 由 y=|log3x|和 y=3 的图象交点个数, 可得函数 y=3 |log3x|﹣1 的零点个数, 可判断②; 求得 f(x+π )=f(x) ,即可判断③;由任意角三角函数的定义,计算可判断④. 【详解】对于①,A=?时,即 2m﹣1<m?m<1,当 A≠?时, 综上所述,m 的取值范围为 ;∴①不对; ?1≤m≤2.
﹣x

x

对于②,函数 在同一坐标系中画出函数 y

的零点个数等价于方程

|log3x|的解的个数,

与 y=|log3x|的图象,如图所示:

易判断其交点个数为 2 个,所以函数 由 f(x+π )=|cos(x+π 为 π ,故③正确; 对于④,当 x=0 时, 故选 A. 但 )|=|cos(x

有两个零点,∴②不对; )|=f(x) ,可得函数 的周期

可判④错误.

【点睛】本题考查集合的包含关系和函数的零点个数问题、三角函数的周期求法,以及任意 角三角函数的定义,考查分类讨论思想方法和运算能力、推理能力,属于中档题. 12.已知函数 A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 ,则方程 的实根个数不可能为( )

【答案】D 【解析】 【分析】 运用排除法,令 t=x (x)的图象,以及 t=x 1,则 t∈(﹣∞,﹣3]∪[1,+∞)可得 f(t)=a,作出 y=f 1 的图象,讨论 a=1,a=log35,log35<a<2 时,求得 t 的

范围,可得 x 的解分别为 6,7,8,即可得到结论. 【详解】∵ 令 t=x , 1,则 t∈(﹣∞,﹣3]∪[1,+∞)

可得 f(t)=a, 画出 y=f(x)的图象,

当 a=1 时,t=﹣1, ,2,4,由 t=x 当 a=log35,即有 t=﹣3, ,3± 由 t=x 1 的图象可得 x 有 7 个解;

1 的图象可得 x 有 6 个解; ,

当 log35<a<2 时,t 有一个小于﹣3 的解,三个大于 1 的解, 由 t=x 1 的图象可得 x 有 8 个解; 的实根个数不可能为 5.

综上可得方程 故选:D.

【点睛】本题重点考查分段函数的运用、函数的零点等知识,注意运用换元法和数形结合思 想方法,属于中档题.

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13. 【答案】 【解析】 【分析】 的值为_______.

由条件利用诱导公式进行化简所给的式子,可得结果. 【详解】sin150°?cos240°=sin30°?(﹣cos60°) 故答案为: . ?( ) ,

【点睛】本题主要考查利用诱导公式进行化简三角函数式,属于基础题. 14.函数 【答案】 【解析】 【分析】 把函数转化为 cosx,把 cosx 看为自变量,利用二次函数求最值. 【详解】 :y=sin2x+cosx=﹣cos2x+cosx+1=﹣(cosx cosx 时,ymax . )2 , 的最大值为_____________.

故答案为: . 【点睛】本题考查三角函数的有界性,二次函数的最值,考查转化思想以及计算能力. 15.若函数 【答案】 【解析】 【分析】 根据 的定义域为 的定义域. 【详解】因为 则 所以 故填 . 的定义域为 , ,解得 . , 知, 要有意义则需 ,即可求出 的定义域为 ,则函数 的定义域为________.

要有意义则需 的定义域为

【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域,属于中档题. 16.对函数 已知函数 ,若 为某一个三角形的边长,则称 为“ 三角函数”,

为“ 三角函数”,则实数 的取值范围是__________

【答案】 【解析】 【分析】 因对任意实数 a、b、c,都存在以 f(a) 、f(b) 、f(c)为三边长的三角形,则 f(a)+f (b)>f(c)恒成立,将 f(x)解析式用分离常数法变形,由均值不等式可得分母的取值 范围,整个式子的取值范围由 t﹣1 的符号决定,故分为三类讨论,根据函数的单调性求出 函数的值域,然后讨论 k 转化为 f(a)+f(b)的最小值与 f(c)的最大值的不等式,进而 求出实数 k 的取值范围. 【详解】由题意可得 f(a)+f(b)>f(c)对于? a,b,c∈R 都恒成立, 由于 f(x) 1 ,

①当 t﹣1=0,f(x)=1,此时,f(a) ,f(b) ,f(c)都为 1,构成一个等边三角形的三 边长, 满足条件. ②当 t﹣1>0,f(x)在 R 上是减函数,1<f(a)<1+t﹣1=t, 同理 1<f(b)<t,1<f(c)<t, 由 f(a)+f(b)>f(c) ,可得 2≥t,解得 1<t≤2. ③当 t﹣1<0,f(x)在 R 上是增函数,t<f(a)<1, 同理 t<f(b)<1,t<f(c)<1, 由 f(a)+f(b)>f(c) ,可得 2t≥1,解得 1>t 综上可得, .

t≤2,

故实数 t 的取值范围是[ ,2], 故答案为:[ ,2] 【点睛】 本题主要考查了求参数的取值范围, 以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求 函数的值域,同时考查了分类讨论的思想,属于难题.

三、解答题:第 17 题 10 分,其余每题都是 12 分,共 70 分。解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)化简:

.

(2)已知 【答案】 (1) 【解析】 【分析】

,且 ; ( 2) .



.

(1)由条件利用诱导公式进行化简所给的式子,可得结果. (2)由题意利用同角三角函数的基本关系求得 sinα ﹣cosα 的值,可得 sinα 和 cosα 的值,进而求得 tanα 的值.

【详解】 (1)



(2)由题意得 因为 故 ,故

,sinα >0,cosα <0,∵ ,又 sinα >0,cosα <0, ,



【点睛】本题主要考查应用同角三角函数的基本关系、诱导公式化简三角函数式,要特别注 意符号的选取,这是解题的易错点,属于中档题. 18.(1)求值: (2) 已知函数 图象上,解不等式 【答案】 (1) 【解析】 【分析】 (1)进行对数式的运算即可; (2)容易看出函数 g(x)过定点(2,2) ,从而得出 A(2,2) ,从而得出 解出 a=1,从而得出 g(x)=2x﹣2+1,这样解 2x﹣2+1>3 即可求出原不等式的解集. , ; (2) (3,+∞). ; 的图象恒过定点 , 且点 又在函数 的

【详解】 (1)原式=2log32﹣(log332﹣log39)+3log32﹣3 =2log32﹣5log32+2+3log32﹣3 =﹣1; (2)由题意知定点 A 的坐标为(2,2) ; ∴ 解得 a=1; ∴g(x)=2
x﹣2



+1;

∴由 g(x)>3 得,2x﹣2+1>3; ∴2x﹣2>2; ∴x﹣2>1; ∴x>3; ∴不等式 g(x)>3 的解集为(3,+∞) . 【点睛】本题考查对数式的运算,对数的定义,考查了指数函数过定点的问题,以及运用指 数函数的单调性解不等式,属于中档题. 19.设函数 数取最值时对应的 的值. 【答案】当 【解析】 【分析】 设 t=log2x,由对数函数性质可得 t 的取值范围,原函数可化为 g(t)=(t+2) (t+1) , (﹣ 2≤t≤2) ,利用二次函数的性质求解即可. 【详解】设 t=log2x, ∵ ,则 t∈[﹣2,2] 时,取得最小值 ;当 时,取得最大值 . 的定义域为 ,求 的最大值与最小值, 并求出函

设 g(t)=(t+1) (t+2) ,t∈[﹣2,2], ∵y=(t+1) (t+2)=t2+3t+2 在区间 ∴当 即 是减函数,在区间 ; 是增函数,

时,y=f(x)有最小值

当 t=log2x=2,即 x=4 时,y=f(x)有最大值 f(4)=g(2)=12.

【点睛】本题主要考查对数函数的性质与对数的运算、函数的单调性与最值以及换元法,属 于中档题. 20.已知函数 (1)求 的值; (2)求函数 (3)当 的值域; 时, 恒成立,求实数 的取值范围. ; (3) . 是定义在 上的奇函数.

【答案】 (1)2 ; (2) 【解析】 【分析】 根据奇函数的性质, 由 函数

列出方程, 可求出 的值; (2) 先分离参数可得 判断出

, ,再把 t 分 ,代入上式

单调递减,利用指数函数的性质可求出值域. 由 ,对

离出来转化为

时恒成立,利用换元法:令

并求出 的范围,再转化为求 【详解】 函数 是定义在 .



上的最大值.

上的奇函数,

,解得

由 又

得 , , , ,



函数 由 当

的值域 可得 时,

. , ,

当 则等价于

时,

恒成立, 对 时恒成立,

令 即 当

, 在

,即

,当

时恒成立, 上单调递增,

上的最大值,易知在 ,

时有最大值 0,所以 .

故所求的 t 范围是:

【点睛】 本题考查了奇函数的性质应用, 恒成立问题以及转化思想和分离常数法求参数范围, 难度较大. 不等式恒成立问题常见方法: ① 分离参数 恒成立( 或 21.已知函数 即可) ;② 数形结合( 恒成立. 的部分图象如图所示: 图象在 恒成立( 即可)或

上方即可);③ 讨论最值

(1)求 (2)求 (3)将

的解析式; 的单调增区间和对称中心坐标; 的图象向左平移 个单位,再将横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,最后将 的图象,求函数 (3) 在 上的最大值和最小值. ,

图象向上平移 1 个单位,得到函数 【答案】 (1) 最大值为 【解析】 【解析】试题分析: (1)由最值可求 .

(2)

最小值为

由最值点横坐标之间 看作整体,根据正弦

距离可求周期,进而得 ,最后将最值点代入解析式求 , (2)把

函数性质可列不等式(单调区间)或方程(对称中心横坐标) ,解出 可得单调增区间和对称 中心横坐标,而对称中心纵坐标由图象向下平移得到, (3)先根据图象变换得到 , 再根据 范围确定 后根据正弦函数图象与性质确定最值. 试题解析:解: (1)由图象可知 又由于 ,所以 , ,所以 , , 表达式: 范围, 最

由图象及五点法作图可知: 所以 (2)由(1)知, 令 所以 令 所以 的单调递增区间为 ,得 的对称中心的坐标为 , ,得 . ,

, ,

. , ,

(3)由已知的图象变换过程可得: 因为 所以当 当 ,所以 ,得 时,即 时,

取得最小值 .



取得最大值 ,函数 的解集; ,均存在 , (2)

22.已知函数 (1)若 ,求不等式

(2)若对任意 【答案】 (1) 【解析】

,使得

成立,求实数 的取值范围.

分析: (1)根据绝对值的定义分类去掉绝对值符号后解相应不等式; (2)求出 的最小值 , 的最小值 ,然后再解不等式 ,注意分

类讨论. 详解: (1)依题意得 当 当 时, 时, , ,无解 或 , ;

所以原不等式的解集为 (2)因为 所以当 当 所以当 在 当 则 当 又因为 所以①当 时, 在 上单调增, 时, 在 时, 时, 时, 时, 上单调增,在 , 上单调增,在 的 上单调增, 上单调减,在 上单调增 上单调增,在 上单调减

②当

时,又因为

,结合

时,

的单调性,故



综上, ,又因为 所以①当 综上得: 当 当 当 时,由 时,由 时,由 得 得 得 ,故 ,故 ,故 时, ;②当 , 时,

综上所述: 的取值范围是

点睛:不等式恒成立问题的等价转化: ①对任意 ②对任意 ③存在 , ,存在 ,对任意 , ,使 ,使 恒成立 成立 成立 ; ; .


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