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2015高考数学必得分精讲(知识整合+方法技巧+例题分析):导数应用


2015 高考数学必得分精讲:导数应用的题型与方法 一、专题综述 导数是微积分的初步知识,是研究函数,解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于导 数的学习,主要是以下几个方面: 1.导数的常规问题: (1)刻画函数(比初等方法精确细微) ; (2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平 面曲线的切线) ; (3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高,而导数方法显得简便)等关 于 n 次多项式的导数问题属于较难类型。 2.关于函数特征,最值问题较多,所以有必要专项讨论,导数法求最值 要比 初等方法快 捷简便。 3.导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型,也是高考中考察综合能力的 一个方向,应引起注意。 [来源:学科网] 二、知识整合 1.导数概念的理解. 2.利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值 与最小值. 复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。课本中先通过实例,引出复合函数 的求导法则 ,接下来对法则进行了证明。 3.要能正确求导,必须做到以下两点: (1)熟练掌握各基本初等函数的 求导公式以及和、差、积、商的求导法则,复合函数的求导 法则。 (2)对于一个复合函数,一定要理清中间的复合关系,弄清各分解函数中应对哪个变量求导。 4.求复合函数的导数,一般按以下三个步骤进行: (1)适当选定中间变量,正确分解复合关系; ( 2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变 量对哪个变量求导) ; (3)把中间变量代回原自变量(一般是 x)的函数。 也就是说,首先,选定中间变量,分解复合关系,说明函数关系 y=f(μ ),μ =f(x);然 后将已知函数对中间变量求导 ( y ' ? ) ,中间变量对自变量求导 ( ? ' x ) ;最后求 y ' ? ?? ' x ,并将 中间变量代回为自变量的函数。整个过程可简记为分解——求导——回 代。熟练以后,可以 省略中间过程。若遇多 重复合,可以相应地多次用中间变量。 三、例题分析 ?x 2 例 1. y ? f ( x) ? ? ?ax ? b ?x 2 y ? f ( x ) ? 思路: ? ?ax ? b x ?1? x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 在 x ? 1 处可导,则 a ? b? 在 x ? 1 处可导,必连续 lim f ( x) ? 1 ? x ?1 lim f ( x) ? a ? b f (1) ? 1 ∴ a ?b ?1 ∴ a?2 ?x ?0 lim? ?y ?2 ?x ?x ?0 lim? ?y ?a ?x b ? ?1 例 2.已知 f(x)在 x=a 处可导,且 f′(a)=b,求下列极限: (1) lim ?h ?0 f (a ? h 2 ) ? f (a) f (a ? 3h) ? f (a ? h) ; (2) lim ?h ?0 h 2h 须选择相对应的形式。利用函数 f(x)在 x ? a 处可导的条件,可以将已给定的极限式恒等变 形转化为导数定义的结构形式。 解: (1) lim h ?0 分析:在导数定义中,增量△x 的形式是多种多样,但不论△x 选择哪种形式,△y 也必 f (a ? 3h) ? f (a ? h) f (a ? 3h) ? f (a ) ? f (a ) ? f (a ? h) ? lim h ? 0 2h 2h f (a ? 3h) ? f (a ) f ( a ) ? f ( a ? h) ? lim h ?0 h ?0 2h 2h 3 f (a ?

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