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2018年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 利用导数研究函数极值课件3 新人教B版选修2-2_图文

利用导数研究函数的极值 探究 f ' ( x) ? 0 a f ' (a) ? 0 y f ' (b) ? 0 f ' ( x) ? 0 ob f ' ( x) ? 0 x y ? f ( x) 问题: (1)函数 y ? f ? x ?在点 a , b 的函数值与这些点附近的 函数值有什么关系? (2)函数 y ? f ? x ? 在点 a , b 的导数值是多少? (3)在点 a , b 附近, y ? f ? x?的导数的符号有什么规律? 探究 ' y f ' (b) ? 0 极大f(b) f ? x? ? 0 ' f ( x) ? 0 a ob f ' ? x? ? 0 y ? f ( x) 极小值f(a) x f ' (a) ? 0 点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. 点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 极小值点、极大值点统称极值点,极大值和极小值统称为极值. 1、(1)如图是函数 y ? f ( x) 的图象,试找出函数 y ? f ( x) 的 极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点? ' (2)如果把函数图象改为导函数 y ? f ? x ? 的图象? y x3 a x1 o x2 x4 x5 x6 b x 答: (1)x1,x3,x5,x6是函数y=f(x)的极值点,其中x1,x5是函 数y=f(x)的极大值点,x3,x6函数y=f(x)的极小值点。 (2)x2,x4是函数y=f(x)的极值点,其中x2是函数y=f(x) 的极大值点,x4是函数y=f(x)的极小值点。 2、下图是导函数 y ? f ?( x) 的图象, 在标记的点中, 在哪一点处 (1)导函数 y y ? f ?( x)有极小值? x ? x1 或 x ? x4 (3)函数 y ? f ( x)有极大值? (2)导函数 x ? x2 ? f ?( x) 有极大值? y y ? f ' ( x) (4)函数 y ? f ( x)有极小值? x ? x3 x1 x2 o x3 x4 x5 x x ? x5 典例分析 1 3 f x ? 例1:求函数 ? ? 3 x ? 4 x ? 4 的极值. f ? x? ? 1 3 x ? 4x ? 4 3 y ' 2 f x ? x ? 4 ? ? x ? 2?? x ? 2? ? ? ∴ 解:∵ 令 f ' ? x ? ? 0, 解得x=2,或x=-2. ?2 o 2 x 当x变化时,f ' ? x ? , f ? x ?的变化情况如下表: f ' ? x? x ? ??, ?2? f ? x? ? ?2 ? ?2, 2? ? 单调递减 ? 0 28 3 2 0 4 3 ? 2, ??? ? 单调递增 单调递增 ∴当x=-2时, f(x)的极大值为 f (?2) ? 28 当x=2时, f(x)的极小值为 4 f ? 2? ? ? 3 3 归纳:求函数y=f(x)极值的方法是: ' ' f x ? 0 f ,右侧 ? x ? ? 0, 列表 (1)如果在 x0 附近的左侧 ? ? 那么f ? x0 ? 是极大值; 解方程 f ' ? x ? ? 0 ,当 f ' ? x0 ? ? 0 时: (2)如果在 x0 附近的左侧 f 那么 f ? x0 ?是极小值 ' ? x ? ? 0 ,右侧 f ' ? x ? ? 0, 练习: 1、下列结论中正确的是( B )。 A、导数为零的点一定是极值点。 B、如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么 f(x0)是极大值。 C、如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么 f(x0)是极大值。 D、极大值一定大于极小值。 2、求函数 的极值 (1) f ? x ? ? 3x ? x3 (2) f ( x) ? 6 x 2 ? x ? 2; 3 ' 2 f x ? 3 ? 3 x ? ? ∴ 解:(1)∵ f ? x ? ? 3x ? x 令 f ' ? x ? ? 3 ? 3x2 ? 0 ,得 x ? 1 ,或 x ? ?1. 当 x 变化时, f ' ? x ? , f ? x ?的变化情况如下表: ? ??, ?1? ? ?1 0 ?1, ??? 1 ? ?1,1? f ? x? ? 0 ? f ? x? 单调递减 ?2 单调递增 2 单调递减 x ' ∴当x ? ?1 时,f ( x) 有极小值,并且极小值为 ? 2. 当 x ? 1 时,f ( x) 有极大值,并且极大值为 2. 解: (2) f ?( x) ? 12 x ? 1, 令 f ?( x) ? 0, 解得 列表: x 1 x? . 12 f ?( x) f (x) 1 (??, ) 12 – 单调递减 1 12 0 49 ? 24 1 ( ,??) 12 + 单调递增 1 1 49 所以, 当 x ? 时, f (x)有极小值 f ( ) ? ? . 12 12 24 例2:已知函数 f ? x ? ? ax3 ? bx2 ? 2x 在x ? ?2, x ? 1 处取得极值。 (1)求函数 f ? x ? 的解析式 (2)求函数 f ? x ?的单调区间 ' 2 f x ? 3 ax ? 2bx ? 2 ? ? 解:(1) ∵ f ? x ?在 x ? ?2, x ? 1 取得极值, ∴ f ?(?2) ? 0, f ?(1) ? 0 3 2 即 ?12a ? 4b ? 2 ? 0 解得 a ? 1 , b ? 1 ? (2) ∵ ∴f 1 3 1 2 ∴ f ? x ? ? x ? x ? 2x 3 22 ' ? 3a ? 2b ? 2 ? 0 f 解得 ?

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