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高一数学必修1第一章集合全章教案

第一章

集合与函数概念
§1.1 集合

教学目标: (1)了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系; (2)知道常用数集及其专用记号; (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性; (4)会用集合语言表示有关数学对象; 教学重点.难点 重点:集合的含义与表示方法. 难点:表示法的恰当选择.

1.1.1 集合的含义与表示
(一)集合的有关概念: ⒈定义:一般地,把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构 成的集合(或集) ,构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员) 。 2.表示方法:集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母 A,B,C…表示, 而元素用小写的拉丁字母 a,b,c…表示。 3.集合相等:构成两个集合的元素完全一样。 4.元素与集合的关系:(元素与集合的关系有“属于 ? ”及“不属于 ? 两种) ⑴若 a 是集合 A 中的元素,则称 a 属于集合 A,记作 a ? A; ⑵若 a 不是集合 A 的元素,则称 a 不属于集合 A,记作 a ? A。 5.常用的数集及记法: 非负整数集(或自然数集) ,记作 N; 正整数集,记作 N*或 N+;N 内排除 0 的集. 整数集,记作 Z; 6.关于集合的元素的特征 ⑴确定性:给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。 如: “地球上的四大洋” (太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋) 。 “中国古代四大发明” (造纸,印刷,火药,指南针)可以构成集合,其元素具有确定性;而“比较大 的数” , “平面点 P 周围的点”一般不构成集合,因为组成它的元素是不确定的. 有理数集,记作 Q; 实数集,记作 R;

第1页

⑵互异性:一个集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的。. 如:方程(x-2)(x-1)2=0 的解集表示为 ? 1,-2

? ,而不是 ?

1,1,-2

?

⑶无序性:即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 练 1:判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由: ⑶ 大于 3 小于 11 的偶数; ⑶非负奇数; ⑵我国的小河流; ⑷某校 2011 级新生; ⑸ 血压很高的人;

7.元素与集合的关系:(元素与集合的关系有“属于 ? ”及“不属于 ? ”两种) ⑴若 a 是集合 A 中的元素,则称 a 属于集合 A,记作 a ? A; ⑵若 a 不是集合 A 的元素,则称 a 不属于集合 A,记作 a ? A。 例如,我们 A 表示“1~20 以内的所有质数”组成的集合,则有 3∈A,4 ? A,等等。 练:A={2,4,8,16},则 4 ? A,8 ? A,32 ? A. 8.空集:是指不含任何元素的集合。空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。 空集不是无;它是内部没有元素的集合。可以将集合想象成一个装有元素的袋子,而空集的袋子是空的, 但袋子本身确实是存在的。 用符号 ? 或者{ }表示。 注意:{?}是有一个 ? 元素的集合,而不是空集。 举例 当两圆相离时,它们的公共点所组成的集合就是空集; 当一元二次方程的根的判别式值△<0 时,它的实数根所组成的集合也是空集。

8. 集合的分类
观察下列三个集合的元素个数 1. {4.8, 7.3, 3.1, -9}; 2. {x ? R∣0<x<3}; 3. {x ? R∣x +1=0}
2

由此可以得到

集合的分类 ? ?无限集 : 含有无限个元素的集合

?有限集 : 含有有限个元素的集合 ?空集 : 不含有任何元素的集合? ( e m p t? y ? s )e t

(二)例题讲解:

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例 1.用“∈”或“ ? ”符号填空: ⑴8 N; ⑵0 N;
2

⑶-3

Z;

⑷ 2

Q;

例 2.已知集合 P 的元素为 1, m, m ? m ? 3 , 若 2∈P 且-1 ? P,求实数 m 的值。 练:⑴给出下面四个关系: 3 ? R,0.7 ? Q,0 ? {0},0 ? N,其中正确的个数是:( A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个

)

(2)求集合{2a,a2+a}中元素应满足的条件? (3)若

1? t ? {t},求 t 的值. 1? t
1.1.2

一、集合的表示方法 ⒈列举法:把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“ ?

? ”括起来表示集合的方法叫列举法。如:

{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2},…; 说明:⑴书写时,元素与元素之间用逗号分开; ⑵一般不必考虑元素之间的顺序; ⑶在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序;

⑷集合中的元素可以为数,点,代数式等;
⑸列举法可表示有限集,也可以表示无限集。当元素个数比较少时用列举法比较简单;若集合中 的元素较多或无限,但出现一定的规律性,在不发生误解的情况下,也可以用列举法表示。 ⑹对于含有较多元素的集合,用列举法表示时,必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号, 象自然数集N用列举法表示为 ?1, 2,3, 4,5,......? 例 1.用列举法表示下列集合: (1) 小于 5 的正奇数组成的集合; (2) 能被 3 整除而且大于 4 小于 15 的自然数组成的集合; (3) 从 51 到 100 的所有整数的集合; (4) 小于 10 的所有自然数组成的集合; (5) 方程 x ? x 的所有实数根组成的集合;
2

⒉描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法,称为描述法。 。 方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,

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在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 一般格式: ? x ? A p ( x )

?

如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1}

说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素,如{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}是不同的两个集 合,只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如:{整数},即代表整数集 Z。 辨析:这里的{ }已包含“所有”的意思,所以不必写{全体整数}。写法{实数集},{R}也是错误的。

例 2.用描述法表示下列集合: (1) 由适合 x -x-2>0 的所有解组成的集合; (2) 到定点距离等于定长的点的集合; (3) 方程 x ? 2 ? 0 的所有实数根组成的集合
2
2

(4) 由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合。 说明:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意, 一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。 练: 1.用适当的方法表示集合:大于 0 的所有奇数 2.集合 A={x|

4 ∈Z,x∈N},则它的元素是 x ?3



3.判断下列两组集合是否相等? (1)A={x|y=x+1}与 B={y|y=x+1}; 课后作业: (2)A={自然数}与 B={正整数}

§1.2.1 集合间的基本关系
教学目的: (1)理解两个集合的并集与交集的的含义,会求两个简单集合的并集与交集; (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; (3)能用 Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。 教学重点:集合的交集与并集、补集的概念; 教学难点:集合的交集与并集、补集; 1.2.1 集合间的基本关系 ⒈子集:对于两个集合 A,B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们说这 两个集合有包含 关系,称集合 A 是集合 B 的子集(subset) 。 记作: A ? B(或B ? A) 读作:A 包含于 B,或 B 包含 A

当集合 A 不包含于集合 B 时,记作 A?B(或 B?A) B 第4页 A 表示: A ? B

用 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系: 2.真子集定义:若集合 A ? B ,但存在元素 x ? B, 且x ? A ,则称集合 A 是集合 B 的真子集。 记作:A B(或 B A) 读作:A 真包含于 B(或 B 真包含 A)

3.集合相等 定义:如果 A 是集合 B 的子集,且集合 B 是集合 A 的子集,则集合 A 与集合 B 中的元素是一样的,因此集合 A 与集合 B 相等,即若 A ? B且B ? A ,则 A ? B 。 如:A={x|x=2m+1,m ? Z},B={x|x=2n-1,n ? Z},此时有 A=B。 4.空集定义:不含有任何元素的集合称为空集。记作: ? 用适当的符号填空:

?

?0? ;

0

? ; ?

{ ? };

?0?

{? }

5.几个重要的结论: ⑴空集是任何集合的子集;对于任意一个集合 A 都有 ? ? A。 ⑵空集是任何非空集合的真子集; ⑶任何一个集合是它本身的子集; ⑷对于集合 A,B,C,如果 A ? B ,且 B ? C ,那么 A ? C 。 练习 ⑴2 N;
2

{2}

N;

?

A;

⑵已知集合 A={x|x -3x+2=0},B={1,2},C={x|x<8,x∈N},则 A 说明: ⑴注意集合与元素是“属于” “不属于”的关系,集合与集合是“包含于” “不包含于”的关系; ⑵在分析有关集合问题时,要注意空集的地位。 ⑶结论:一般地,一个集合元素若为 n 个,则其子集数为 2n 个,其真子集数为 2n-1 个, 特别地,空集的子集个数为 1,真子集个数为 0。 B; A C; {2} C; 2 C

1.2.2 集合间的基本运算
考察下列集合,说出集合 C 与集合 A,B 之间的关系: (1) A ? {1,3,5} , B ? {2,4,6},

C ? ?1,2,3,4,5,6? ;

(2) A ? {x x是有理数} , B ? {x x是无理数},

C ? ?x x 是实数? ;

1.并集:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合,称为集合 A 与集合 B 的并集,即 A 与 B 的所有部分, 记作 A∪B, Venn 图表示: 读作:A 并 B 即 A∪B={x|x∈A 或 x∈B}。

第5页

2.交集定义: 一般地, 由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合, 叫作集合 A、 B 的交集 (intersection set) ,记作:A∩B 读作:A 交 B 即:A∩B={x|x∈A,且 x∈B} (阴影部分即为 A 与 B 的交集)

Venn 图表示:

常见的五种交集的情况: B A B A B

B A

A(B)

A

说明:当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个集合没有交集. 3. 全集、补集概念及性质: 全集的定义:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么 就称这个集合为全集,记作 U,是相对于所研究问题而言的一个相对概念。 补集的定义:对于一个集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合,叫作集 合 A 相对于全集 U 的补集, 记作: CU A ,读作:A 在 U 中的补集,即 CU A ? ?x x ?U , 且x ? A? Venn 图表示: (阴影部分即为 A 在全集 U 中的补集)

U A CUA
说明:补集的概念必须要有全集的限制 课后作业:

§1.2 函数及其表示
教学目标: 1、 掌握函数的三种表示方法:列表法、图 像法、解析法,体会三种表示方法的特点。 2、 掌握函数图像的画法及解析式的求法。了解区间的概念。 3、 理解函数的概念,能用集合与对应的语言刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用 教学重点:通过实例领悟构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域、值域。 教学难点:了解映射概念及含义,会判断给定的对应关系是否是映射。理解映射与函数的关系。 知识点一、函数的定义 1.函数的定义

第6页

设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数. 记作:y=f(x),x A. 其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值 的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域. 2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如 果两个函数的定义域和对应关系完全—致,即称这两个函数相等(或为同一函数); ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致,而与表示自变量和函数值的字母无关. 3.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间的数轴表示. 区间表示: {x|a≤x≤b}=[a,b]; ; . 规律方法指导 1.函数定义域的求法 (1)当函数是以解析式的形式给出时,其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体 地讲,就是考虑分母不为零,偶次根号的被开方数、式大于或等于零,零次幂的底数不为零以及我们在后 面学习时碰到的所有有意义的限制条件. (2)当函数是由实际问题给出时,其定义域不仅要考虑使其解析式有意义,还要有实际意义,注意定义 域是一个集合,其结果必须用集合或区间来表示. 2.函数值域的求法 观察法:通过对函数解析式的简单变形,利用熟知的基本函数的值域,或利用函数的图象的"最高点" 和"最低点",观察求得函数的值域; 配方法:对二次函数型的解析式可先进行配方,在充分注意到自变量取值范围的情况下,利用求二次 函数的值域方法求函数的值域; 判别式法:将函数视为关于自变量的二次方程,利用判别式求函数值的范围,常用于一些"分式"函数 等;此外,使用此方法要特别注意自变量的取值范围; ;

第7页

换元法:通过对函数的解析式进行适当换元,将复杂的函数化归为几个简单的函数,从而利用基本函 数的取值范围来求函数的值域. 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式, 除了上述常用方法外, 还有最值法、 数形结合法等.总之, 求函数的值域关键是重视对应法则的作用,还要特别注意定义域对值域的制约. 经典例题 类型一、函数概念 1.下列各组函数是否表示同一个函数? (1)

(2)

(3) (4) 思路点拨:对于根式、分式、绝对值式,要先化简再判断,在化简时要注意等价变形,否则等号不成 立. 总结:函数概念含有三个要素,只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是 同一函数,换言之就是: (1)定义域不同,两个函数也就不同;(2)对应法则不同,两个函数也是不同的. (3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数,它们也不一定是同一函数,因为函数的定义域和值域不 能唯一地确定函数的对应法则. 【变式 1】判断下列命题的真假

(1)y=x-1 与

是同一函数; (2)

是同一函数;

2.求下列函数的定义域(用区间表示).

(1)



(2)



(3)

.

思路点拨:由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围. 总结:使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零;②偶次根式中,被开方数非负.当函数解析式

第8页

是由多个式子构成时,要使这多个式子对同一个自变量 x 有意义,必须取使得各式有意义的各个不等式的 解集的交集,因此,要列不等式组求解. 【变式 1】求下列函数的定义域:

(1)

; (2) 3.已知函数 f(x)=3x +5x-2,求 f(3),
2

; (3) ,f(a),f(a+1).

.

思路点拨:由函数 f(x)符号的含义,f(3)表示在 x=3 时,f(x)表达式的函数值.

【变式 1】已知函数

.

(1)求函数的定义域;(2)求 f(-3),
2

的值; (3)当 a>0 时,求 f(a)×f(a-1)的值.

【变式 2】已知 f(x)=2x -3x-25,g(x)=2x-5,求: (1)f(2),g(2); (2)f(g(2)),g(f(2)); (3)f(g(x)),g(f(x)) 思路点拨:根据函数符号的意义,可以知道 f(g(2))表示的是函数 f(x)在 x=g(2)处的函数值,其它同 理可得. 4. 求值域(用区间表示):

(1)y=x -2x+4; 知识点二、函数的表示法 1.函数的三种表示方法:

2

.

解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点:简明,给自变量求函数值. 图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点:直观形象,反应变化趋势. 列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点:不需计算就可看出函数值. 2.分段函数: 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来, 并分别注明各部分的自变量的取值情况. 3.复合函数: 知识点三、映射与函数 1.映射定义:

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设 A、B 是两个非空集合,如果按照某个对应法则 f,对于集合 A 中的任何一个元素,在集合 B 中都有 唯一的元素和它对应,这样的对应叫做从 A 到 B 的映射;记为 f:A→B. 象与原象:如果给定一个从集合 A 到集合 B 的映射,那么 A 中的元素 a 对应的 B 中的元素 b 叫做 a 的 象,a 叫做 b 的原象. 注意: (1)A 中的每一个元素都有象,且唯一; (2)B 中的元素未必有原象,即使有,也未必唯一; (3)a 的象记为 f(a). 2.函数: 设 A、B 是两个非空数集,若 f:A→B 是从集合 A 到集合 B 的映射,这个映射叫做从集合 A 到集合 B 的 函数,记为 y=f(x). 注意: (1)函数一定是映射,映射不一定是函数; (2)函数三要素:定义域、值域、对应法则; (3)B 中的元素未必有原象,即使有原象,也未必唯一; (4)原象集合=定义域,值域=象集合. 类型二、映射与函数 5. 下列对应关系中,哪些是从 A 到 B 的映射,哪些不是?如果不是映射,如何修改可以使其成为 映射? (1)A=R,B=R,对应法则 f:取倒数; (2)A={平面内的三角形},B={平面内的圆},对应法则 f:作三角形的外接圆; (3)A={平面内的圆},B={平面内的三角形},对应法则 f:作圆的内接三角形. 思路点拨:根据定义分析是否满足“A 中任意”和“B 中唯一” . 【变式 1】判断下列两个对应是否是集合 A 到集合 B 的映射? ①A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9},对应法则 ②A=N ,B={0,1},对应法则 f:x→x 除以 2 得的余数; ③A=N,B={0,1,2},f:x→x 被 3 除所得的余数;
*

④设 X={0,1,2,3,4},

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思路点拨:判断是否构成映射应注意:①A 中元素的剩余;②“多对一” “一对一”构成,而“一对多” 不构成映射. 【变式 3】下列对应哪些是从 A 到 B 的映射?是从 A 到 B 的一一映射吗?是从 A 到 B 的函数吗? (1)A=N,B={1,-1},f:x→y=(-1) ; (2)A=N,B=N+,f:x→y=|x-3|;
x

(3)A=R,B=R, (4)A=Z,B=N,f:x→y=|x|; (5)A=N,B=Z,f:x→y=|x|; (6)A=N,B=N,f:x→y=|x|. 6. 已知 A=R,B={(x,y)|x,y R},f:A→B 是从集合 A 到集合 B 的映射,f:x→(x+1,x +1),
2

求 A 中的元素

的象,B 中元素

的原象.

【变式 1】设 f:A→B 是集合 A 到集合 B 的映射,其中 (1)A={x|x>0},B=R,f:x→x -2x-1,则 A 中元素
2

的象及 B 中元素-1 的原象分别为什么?

(2)A=B={(x,y)|x∈R,y∈R},f:(x,y)→(x-y,x+y),则 A 中元素(1,3)的象及 B 中元素(1,3)的 原象分别为什么? 类型三、函数的表示方法 7. 求函数的解析式 (1)若 f(2x-1)=x ,求 f(x);(2)若 f(x+1)=2x +1,求 f(x). 【变式 1】(1) 已知 f(x+1)=x +4x+2,求 f(x);
2 2 2

(2)已知: 总结:求函数解析式常用方法:

,求 f[f(-1)].

(1)换元法;(2)配凑法;(3)定义法;(4)待定系数法等.注意:用换元法解求对应法则问题时,要关注 新变元的范围. 8.作出下列函数的图象. (1) ; (2) ;

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(3)



(4)

.

思路点拨:(1)直接画出图象上孤立的点;(2)(3)先去掉绝对值符号化为分段函数. 类型四、分段函数

9. 已知

,求 f(0),f[f(-1)]的值.

思路点拨:分段函数求值,必须注意自变量在不同范围内取值时的不同对应关系.

【变式 1】已知

,作出 f(x)的图象,求 f(1),f(-1),f(0),f{f[f(-1)+1]}的值.

10.移动公司开展了两种通讯业务: “全球通” ,月租 50 元,每通话 1 分钟,付费 0.4 元; “神州 行” 不缴月租, 每通话 1 分钟, 付费 0.6 元, 若一个月内通话 x 分钟, 两种通讯方式的费用分别为 y1, y2(元), Ⅰ. 写出 y1,y2 与 x 之间的函数关系式? Ⅱ. 一个月内通话多少分钟,两种通讯方式的费用相同? Ⅲ. 若某人预计一个月内使用话费 200 元,应选择哪种通讯方式? 课后作业:

§1.3 函数的基本性质
【教学目标】 1.理解并掌握函数最大(最小)值的概念及其几何意义,并能利用函数图象及函数单调性求函数的最大 (最小)值. 2.理解函数的单调性,在求函数最大(最小)值中,渗透数形结合的数学思想. 3.会判断函数的奇偶性和周期性。 【教学重难点】 教学重点:理解函数最大(最小)值.函数奇偶性。 教学难点:利用函数的单调性求函数最大(最小)值。 函数的基本性质: 1.有界性 设函数 f(x)在区间 X 上有定义, 如果存在 M>0, 对于一切属于区间 X 上的 x, 恒有|f(x)|≤M, 则称 f(x) 在区间 X 上有界,否则称 f(x)在区间上无界。

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2.单调性 设函数 f(x)的定义域为 I,区间 D 包含于 I。如果对于区间 D 上任意两点 x1 及 x2,当 x1<x2 时,恒有 f(x1)<f(x2),则称函数 f(x)在区间 D 上是单调递增的;如果对于区间 D 上任意两点 x1 及 x2,当 x1<x2 时,恒 有 f(x1)>f(x2),则称函数 f(x)在区间 D 上是单调递减的。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数 。 设 x1 ? x2 ? ?a, b?, x1 ? x2 那么

( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ? ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b?上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是减函数. x1 ? x2

(2)设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导,如果 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数;如果 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为减函数. 注:如果函数 f ( x) 和 g ( x) 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 f ( x) ? g ( x) 也是减函数;如果函数

y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数 y ? f [ g ( x)] 是增函数.
3.奇偶性 对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)= - f(x),则 f(x)为奇函数。 几何上,一个奇函数关于原点对称,亦即其图像在绕原点做 180 度旋转后不会改变。 奇函数的例子有 x、sin(x)、sinh(x)和 erf(x)。 对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)= f(x),则 f(x)为偶函数。 几何上,一个偶函数关于 y 轴对称,亦即其图在对 y 轴映射后不会改变。 偶函数的例子有|x|、x 、cos(x)和 cosh(x)。 函数奇偶性的判定(定义域对称) 奇函数的图象关于原点对称, 偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来, 如果一个函数的图象关于原点对称, 那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数. 注 : 若 函 数 y ? f ( x ) 是 偶 函 数 , 则 f ( x ? a ) ? f ( ? x ? a ) ; 若 函 数 y ? f ( x ? a) 是 偶 函 数 , 则
2

f ( x ? a) ? f ( ? x ? a) .
注: 对于函数 y ? f ( x) ( x ? R ), f ( x ? a) ? f (b ? x) 恒成立,则函数 f ( x) 的对称轴是函数 x ?

a?b ; 2

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两个函数 y ? f ( x ? a) 与 y ? f (b ? x) 的图象关于直线 x ?

a?b 对称. 2
a 2

注:若 f ( x) ? ? f (? x ? a) ,则函数 y ? f ( x) 的图象关于点 ( ,0 ) 对称;若 f ( x) ? ? f ( x ? a) ,则函数

y ? f ( x) 为周期为 2 a 的周期函数.
4.周期性 设函数 f(x)的定义域为 D。如果存在一个正数 T,使得对于任一 有 ,且 f(x+T)=f(x)

恒成立,则称 f(x)为周期函数,T 称为 f(x)的周期,通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。周期函 数的定义域 D 为至少一边的无界区间,若 D 为有界的,则该函数不具周期性。并非每个周期函数都有最小 正周期,例如狄利克雷函数。 周期函数有以下性质: (1)若 T(T≠0)是 f(x)的周期,则-T 也是 f(x)的周期。 (2)若 T(T≠0)是 f(x)的周期,则 nT(n 为任意非零整数)也是 f(x)的周期。 (3)若 T1 与 T2 都是 f(x)的周期,则 也是 f(x)的周期。

(4)若 f(x)有最小正周期 T*,那么 f(x)的任何正周期 T 一定是 T*的正整数倍。 (5)T*是 f(x)的最小正周期,且 T1、T2 分别是 f(x)的两个周期,则 T1/T2∈Q(Q 是有理数集) (6)若 T1、T2 是 f(x)的两个周期,且 T1/T2 是无理数,则 f(x)不存在最小正周期。 (7)周期函数 f(x)的定义域 M 必定是双方无界的集合 。 几个函数方程的周期(约定 a>0) (1) f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f ( x ) 的周期 T=a; (2) f ( x) ? f ( x ? a) ? 0 ,或 f ( x ? a) ?

1 1 ( f ( x) ? 0) ,或 f ( x ? a) ? ? ( f ( x) ? 0) , f ( x) f ( x)



1 ? 2

f ( x) ? f 2 ( x) ? f ( x ? a ), ( f ( x) ? ?0,1?) ,则 f ( x) 的周期 T=2a;

(3) f ( x) ? 1 ?

1 ( f ( x) ? 0) ,则 f ( x) 的周期 T=3a; f ( x ? a)

(4) f ( x1 ? x2 ) ? T=4a;

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 且 f (a) ? 1( f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1,0 ?| x1 ? x2 |? 2a) , 则 f ( x ) 的 周 期 1 ? f ( x1 ) f ( x2 )

(5) f ( x) ? f ( x ? a) ? f ( x ? 2a) f ( x ? 3a) ? f ( x ? 4a)

第 14 页

? f ( x) f ( x ? a) f ( x ? 2a) f ( x ? 3a) f ( x ? 4a) ,则 f ( x) 的周期 T=5a;
(6) f ( x ? a) ? f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f ( x ) 的周期 T=6a. 5.函数 y ? f ( x) 的图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x) ? f (2a ? x) ? f ( x) . (2)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ?

a?b 对称 ? f (a ? mx) ? f (b ? mx ) 2

? f (a ? b ? mx) ? f (mx) .
两个函数图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称. (2)函数 y ? f (mx ? a) 与函数 y ? f (b ? mx) 的图象关于直线 x ? (3)函数 y ? f ( x) 和 y ? f
?1

a?b 对称. 2m

( x) 的图象关于直线 y=x 对称.

(4)若将函数 y ? f ( x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y ? f ( x ? a) ? b 的图象;若将曲线

f ( x, y) ? 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线 f ( x ? a, y ? b) ? 0 的图象.

例 1. 判断下列函数的奇偶性

















例 2.(2002 天津文.16)设函数 f(x)在(-∞,+∞)内有定义,下列函数:①y=-|f(x)|; ②y=xf(x );③y=-f(-x);④y=f(x)-f(-x)。 必为奇函数的有_____(要求填写正确答案的序号) 答案:②④;解析:y=(-x)f[(-x) ]=-xf(x )=-y;y=f(-x)-f(x)=-y。 例 3.已知定义在 R 上的函数 y= f(x)满足 f(2+x)= f(2-x),且 f(x)是偶函数,当 x∈[0,2]时,f(x)=2x -1,求 x∈[-4,0]时 f(x)的表达式。
2 2 2

第 15 页

解:由条件可以看出,应将区间[-4,0]分成两段考虑: ①若 x∈[-2,0],-x∈[0,2], ∵f(x)为偶函数, ∴当 x∈[-2,0]时,f(x)= f(-x)=-2x-1, ②若 x∈[-4,-2 , ∴4+ x∈[0,2 , ∵f(2+x)+ f(2-x), ∴f(x)= f(4-x), ∴f(x)= f(-x)= f[4-(-x)]= f(4+x)=2(x+4)-1=2x+7;

综上, 点评:结合函数的数字特征,借助函数的奇偶性,处理函数的解析式。 例 4.已知函数

,且 上为减函数,并且在

, 上为增函数. .

,试问,是否存在实数 ,

使得 解:



有题设 当 时, , 则 当 , 则
课后作业:

, 时, , .



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