当前位置:首页 >> >>

标题-2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5:模块复习精要 复习课(二)数 列

复习课(二) 数 列对应学生用书P58 等差数列与等比数列的基本运算 数列的基本运算以小题出现具多,但也可作为解答题第一步命题,主要考查利用数列 的通项公式及求和公式,求数列中的项、公差、公比及前 n 项和等,一般试题难度较小. [考点精要] 1.等差数列 (1)通项公式:an=a1+(n-1)d. (2)前 n 项和公式:Sn=na1+ n?n-1? ?a1+an?n d= . 2 2 d? d (3)前 n 项和公式 Sn= n2+? ?a1-2?n 视为关于 n 的一元二次函数,开口方向由公差 d 2 的正负确定;Sn= 换”思想解题. 2.等比数列 (1)通项公式:an=a1qn 1. - ?a1+an?n 中(a1+an)视为一个整体,常与等差数列性质结合利用“整体代 2 na ?q=1?, ? ? 1 (2)前 n 项和公式:Sn=?a1?1-qn? a1-anq = ?q≠1?. ? 1-q ? 1-q (3)等比数列{an},Sn 为其前 n 项和,则 Sn 可表示为 Sn=k· qn+b,(k≠0,且 k+b=0). [典例] 成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2,5,13 后成为等 比数列{bn}中的 b3,b4,b5. (1)求数列{bn}的通项公式; 5? ? (2)数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:数列?Sn+4?是等比数列. ? ? [解] (1)设成等差数列的三个正数分别为 a-d,a,a+d.依题意,得 a-d+a+a+d= 15,解得 a=5. 所以{bn}中的 b3,b4,b5 依次为 7-d,10,18+d. 依题意,(7-d)(18+d)=100, 解得 d=2 或 d=-13(舍去), ∴b3=5,公比 q=2,故 bn=5· 2n 3. - 5 (2)证明:由(1)知 b1= ,公比 q=2, 4 5 ?1-2n? 4 5 - ∴Sn= =5· 2n 2- , 4 1-2 5 - 4 5· 2n 2 5 5 5 - 则 Sn+ =5· 2n 2,因此 S1+ = , = n-3=2(n≥2). 4 4 2 5 5· 2 Sn-1+ 4 Sn+ 5? ? 5 ∴数列?Sn+4?是以 为首项,公比为 2 的等比数列. 2 ? ? [类题通法] 在等差(或等比)数列中,首项 a1 与公差 d(或公比 q)是两个基本量,一般的等差(或等比) 数列的计算问题,都可以设出这两个量求解.在等差数列中的五个量 a1,d,n,an,Sn 或 等比数列中的五个量 a1,q,n,an,Sn 中,可通过列方程组的方法,知三求二.在利用 Sn 求 an 时,要注意验证 n=1 是否成立. [题组训练] 1.在等比数列{an}中,Sn 是它的前 n 项和,若 a2· a3=2a1,且 a4 与 2a7 的等差中项为 17,则 S6=( 63 A. 4 C.15 ) B.16 61 D. 4 解析:选 A 设{an}的公比为 q,则由等比数列的性质知,a2a3=a1a4=2a1,则 a4=2; a7 由 a4 与 2a7 的等差中项为 17 知,a4+2a7=2×17=34,得 a7=16.∴q3= =8,即 q=2,∴ a4 1 ?1-26? 4 a4 1 63 a1= 3= ,则 S6= = ,故选 A. q 4 4 1-2 2.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a3+a8=13,S7=35,则 a7=________. 解 析 : 设 等 差 数 列 {an} 的 公 差 为 d , 则 由 已 知 得 (a1 + 2d) + (a1 + 7d) = 13 , S7 = 7?a1+a1+6d? =35.联立两式,解得 a1=2,d=1,∴a7=a1+6d=8. 2 答案:8 3 . 设 Sn 是 数 列 {an} 的 前 n 项 和 , 已 知 a1 = - 1 , Sn + 1 - Sn = SnSn + 1. ?其中12+22+?+n2=1n?n+1??2n+1?? 6 ? ? ?1? (1)求证?S ?是等差数列,并求 Sn; ? n? 1 (2)若 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an 1 1 解:(1)证明: = =-1. S1 a1 1 1 因为 Sn+1-Sn=SnSn+1,所以 - =-1, Sn+1 Sn ?1? 所以?S ?是首项为-1、公差为-1 的等差数列, ? n? 1 所以S =-1+(n-1)×(-1)=-n, n 1 故 Sn=-n. 1 1 1 1 (2)b1= =-1.当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=-n+ = ,b =n2-n. a1 n-1 n?n-1? n 所以 T1=-1.当 n≥2 时, Tn=-1+(22+32+?+n2)-(2+3+?+n) =-1+(12+22+32+?+n2)-(1+2+3+?+n) 1 1 =-1+ n(n+1)(2n+1)- n(n+1) 6 2 1 =-1+ n(n+1)(n-1). 3 1 故 Tn=-1+ n(n+1)(n-1). 3 等差、等比数列的性质及应用 等差、等比数列的性质主要涉及数列的单调性、最值及其前 n 项和的性质.利用性质 求数列中某一项等,试题充分体现“小”“巧”“活”的特点,题型多以选择题和填空题 的形式出现,一般难度较小. [考点精要] 等差数列的性质 若 m+n=p+q(m,n,p,q∈N*) 则 am+an=ap+aq. 特别地,若 m+n=2p, 则 am+an=2ap am,am+k,am+2k,?仍是等差数列,公差为 kd 若{an},{bn}是两个项数相同的等差数列,则 {pan+qbn}仍是等差数列 等比数列的性质 若 m+n=p+q(m,n,p,q∈N*) 则 am· an=ap· aq 特别地,若 m+n=2p, 则 am· an=a2 p am,am+k,am

更多相关标签: