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江苏省苏州市昆山市2015-2016学年七年级数学下学期期中试题(含解析) 苏科版


江苏省苏州市昆山市 2015-2016 学年七年级数学下学期期中试题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分.请将下列各小题唯一正确的选项代号填涂在 答题卡相应的位置上) 2 3 1.计算 2x ?x 的结果是( ) 5 6 5 A.2x B.2x C.2x D.x 2.甲型 H1N1 流感病毒的直径大约是 0.000000081 米,用科学记数法可表示为( ) ﹣9 ﹣8 ﹣9 ﹣7 A.8.1×10 米 B.8.1×10 米 C.81×10 米 D.0.81×10 米 3.以下列各组线段为边,能组成三角形的是( ) A.2cm、2cm、4cm B.8cm、6cm、3cm C.2cm、6cm、3cm D.11cm、4cm、6cm 4.一个多边形的内角和是 720°,这个多边形的边数是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 5.如图,给出下列条件: ①∠1=∠2;②∠3=∠4;③∠A=∠CDE;④∠A+∠ADC=180°. 其中,能推出 AB∥DC 的条件为( )

A.①④ B.②③ C.①③ D.①③④ 6.如图,将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,∠1=30°,∠3=20°,则∠2 的度数等 于( )

A.40° B.45° C.50° D.60° 7.如图①,从边长为 a 的正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形,然后将剩余部分剪拼成 一个长方形(如图②) ,则上述操作所能验证的公式是( )

A. (a+b) (a﹣b)=a ﹣b B. (a﹣b) =a ﹣2ab+b 2 2 2 2 C. (a+b) =a +2ab+b D.a +ab=a(a+b)

2

2

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2

2

8.在下列条件中,①∠A+∠B=∠C; ②∠A:∠B:∠C=1:2:3; ③∠A= ∠B= ∠C; ④ ∠A=∠B=2∠C; ⑤∠A=2∠B=3∠C,能确定△ABC 为直角三角形的条件有( )

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A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 0 2015 2016 9.计算 1 ﹣(0.5) ×(﹣2) 的结果是( ) A.﹣2 B.﹣1 C.2 D.3 x+3 10.如果等式(2x﹣3) =1,则等式成立的 x 的值的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4



二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分) m n m+n 11.若 x =3,x =5,则 x = . 12.若 a+b=1,ab=﹣2,则(a+1) (b+1)的值为 . 13.等腰三角形的两边长为 4,9.则它的周长为 . 2 14.计算:2015 一 2014×2016= . 15.如图,在△ABC 中,∠A=50°,∠ABC、∠ACB 的角平分线相交于点 P,则∠BPC 的度数 为 .

16.如果(x+1) (x+m)的乘积中不含 x 的一次项,则 m 的值为 . 17.如图,将正方形纸片 ABCD 沿 BE 翻折,使点 C 落在点 F 处,若∠DEF=40°,则∠ABF 的 度数为 .

18.如图,在△ABC 中,已知点 D,E,F 分别为边 BC,AD,CE 的中点,且 S△ABC=4cm ,则 S 2 cm . 阴影=

2

三、解答题(本大题共 11 小题,共 76 分,应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明) 19.计算: (1)|﹣2|﹣(2﹣π ) +(﹣ ) 2 2 2 (2)﹣2xy?3x y﹣x y(﹣3xy+xy ) 2 (3) (2a+b) (b﹣2a)﹣(a﹣3b) . 20.如图,△ABC 的顶点都在方格纸的格点上.将△ABC 向左平移 2 格,再向上平移 3 格. (1)请在图中画出平移后的△A′B′C′;
0 ﹣1

2

(2)在△ABC 中画出中线 BD; (3)在△ABC 中画出 AB 边上高(图中标上字母) .

21.已知 n 为正整数,且 x =4,求(x ) ﹣2(x ) 的值. 22.先化简再求值: (a﹣2b) +(a﹣b) (a+b)﹣2(a﹣3b) (a﹣b) ,其中 a= ,b=﹣3. 23.如图,在△ABC 中,BD⊥AC,EF⊥AC,垂足分别为 D、F,且∠1=∠2,试判断 DE 与 BC 的位置关系,并说明理由.
2

2n

3n

2

2

2n

24.已知:x+y=6,xy=4,求下列各式的值 2 2 2 (1)x +y (2) (x﹣y) . 25.如图,已知△ABC 中,AD 是高,AE 是角平分线. (1)若∠B=20°,∠C=60°,求∠EAD 度数; (2)若∠B=α ,∠C=β (β >a) ,则∠EAD=

. (用 α 、β 的代数式表示)

26.图①是一个长为 2m、宽为 2n 的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然 后按图②的形状拼成一个正方形. (1)将图②中的阴影部分面积用 2 种方法表示可得一个等式,这个等式为 . (2)若 m+2n=7,mn=3,利用(1)的结论求 m﹣2n 的值.

27.如图,正方形 ABCD 的边长为 a,面积为 6;长方形 CEFG 的长、宽分别为 a,b,长方形 的面积为 2,其中点 B、C、E 在同一直线上,连接 DF.求△BDF 的面积.

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28.观察下列关于自然数的等式: 2 2 3 ﹣4×1 =5 ① 2 2 5 ﹣4×2 =9 ② 2 2 7 ﹣4×3 =13 ③ … 根据上述规律解决下列问题: 2 2 (1)完成第四个等式:9 ﹣4× = ; (2)写出你猜想的第 n 个等式(用含 n 的式子表示) ,并验证其正确性. 29. Rt△ABC 中, ∠C=90°, 点 D、 E 分别是△ABC 边 AC、 BC 上的点, 点 P 是一动点. 令∠PDA=∠1, ∠PEB=∠2,∠DPE=∠α . (1)若点 P 在线段 AB 上,如图(1)所示,且∠α =50°,则∠1+∠2= °; (2) 若点 P 在边 AB 上运动, 如图 ( 2) 所示, 则∠α 、 ∠1、 ∠2 之间的关系为: ;

(3)若点 P 运动到边 AB 的延长线上,如图(3)所示,则∠α 、∠1、∠2 之间有何关系? 猜想并说明理由.

(4) 若点 P 运动到△ABC 形外, 如图 (4) 所示, 则∠α 、 ∠1、 ∠2 之间的关系为:



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2015-2016 学年江苏省苏州市昆山市七年级(下)期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分.请将下列各小题唯一正确的选项代号填涂在 答题卡相应的位置上) 2 3 1.计算 2x ?x 的结果是( ) 5 6 5 A.2x B.2x C.2x D.x 【考点】单项式乘单项式. 【分析】据同底数幂相乘,底数不变指数相加进行计算即可得解. 2 3 2+3 5 【解答】解:2x ?x =2x =2x . 故选 A. 2.甲型 H1N1 流感病毒的直径大约是 0.000000081 米,用科学记数法可表示为( ) ﹣9 ﹣8 ﹣9 ﹣7 A.8.1×10 米 B.8.1×10 米 C.81×10 米 D.0.81×10 米 【考点】科学记数法—表示较小的数. n 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的 值时, 要看把原数变成 a 时, 小数点移动了多少位, n 的绝对值与小数点移动的位数相同. 当 原数绝对值大于 10 时,n 是正数;当原数的绝对值小于 1 时,n 是负数. ﹣8 【解答】解:0.000 000 081=8.1×10 米. 故选 B. 3.以下列各组线段为边,能组成三角形的是( ) A.2cm、2cm、4cm B.8cm、6cm、3cm C.2cm、6cm、3cm D.11cm、4cm、6cm 【考点】三角形三边关系. 【分析】根据已知三角形的两边,则第三边的范围是:大于已知的两边的差,而小于两边的 和,分别判断即可. 【解答】解:根据三角形的三边关系,知 A、2+2=4,不能组成三角形,故此选项错误; B、3+6>8,能够组成三角形,故此选项正确; C、2+3<6,不能组成三角形,故此选项错误; D、4+6<11,不能组成三角形,故此选项错误. 故选 B. 4.一个多边形的内角和是 720°,这个多边形的边数是( A.4 B.5 C.6 D.7 【考点】多边形内角与外角. 【分析】根据内角和定理 180°?(n﹣2)即可求得. 【解答】解:∵多边形的内角和公式为(n﹣2)?180°, ∴(n﹣2)×180°=720°, 解得 n=6, ∴这个多边形的边数是 6. 故选 C. )

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5.如图,给出下列条件: ①∠1=∠2;②∠3=∠4;③∠A=∠CDE;④∠A+∠ADC=180°. 其中,能推出 AB∥DC 的条件为( )

A.①④ B.②③ C.①③ D.①③④ 【考点】平行线的判定. 【分析】直接根据平行线的判定定理对各小题进行逐一分析即可. 【解答】解:①∵∠1=∠2,∴AB∥CD,故本选项正确; ②∵∠3=∠4,∴BC∥AD,故本选项错误; ③∵∠A=∠CDE,∴AB∥CD,故本选项正确; ④∵∠A+∠ADC=180°,∴AB∥CD,故本选项正确. 故选 D. 6.如图,将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,∠1=30°,∠3=20°,则∠2 的度数等 于( )

A.40° B.45° C.50° D.60° 【考点】平行线的性质. 【分析】根据三角形外角性质求出∠4,根据平行线性质得出∠2=∠4,代入求出即可. 【解答】解:如图所示,

∵∠4=∠1+∠3, ∴∠4=30°+20°=50°, ∵AB∥CD, ∴∠2=∠4=50°, 故选 C. 7.如图①,从边长为 a 的正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形,然后将剩余部分剪拼成 一个长方形(如图②) ,则上述操作所能验证的公式是( )

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A. (a+b) (a﹣b)=a ﹣b B. (a﹣b) =a ﹣2ab+b 2 2 2 2 C. (a+b) =a +2ab+b D.a +ab=a(a+b) 【考点】平方差公式的几何背景. 【分析】由大正方形的面积﹣小正方形的面积=矩形的面积,进而可以证明平方差公式. 2 2 【解答】解:大正方形的面积﹣小正方形的面积=a ﹣b , 矩形的面积=(a+b) (a﹣b) , 2 2 故 a ﹣b =(a+b) (a﹣b) . 故选 A.

2

2

2

2

2

8 .在下列条件中,①∠A+∠B=∠C; ②∠A:∠B:∠C=1: 2 : 3 ; ③∠A= ∠B= ∠C; ④∠A=∠B=2∠C; ⑤∠A=2∠B=3∠C,能确定△ABC 为直角三角形的条件有( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 【考点】三角形内角和定理. 【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析,从而得到答案. 【解答】解:①、∵∠A+∠B=∠C=90°,∴△ABC 是直角三角形,故小题正确; ②、∵∠A:∠B:∠C=1:2:3,∴∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°,△ABC 是直角三角形, 故本小题正确; ③、设∠A=x,∠B=2x,∠C=3x,则 x+2x+3x=180°,解得 x=30°,故 3x=90°,△ABC 是直 角三角形,故本小题正确; ④∵设∠C=x,则∠A=∠B=2x,∴2x+2x+x=180°,解得 x=36°,∴2x=72°,故本小题错误; ⑤∠A=2∠B=3∠C, ∴∠A+∠B+∠C=∠A+ ∠A+ A=180°,

∴∠A= °,故本小题错误. 综上所述,是直角三角形的是①②③共 3 个. 故选 B. 9.计算 1 ﹣(0.5) ×(﹣2) 的结果是( ) A.﹣2 B.﹣1 C.2 D.3 【考点】幂的乘方与积的乘方;零指数幂. 【分析】直接利用零指数幂的性质结合积的乘方运算法则将原式变形求出答案. 0 2015 2016 【解答】解:1 ﹣(0.5) ×(﹣2) 2015 =1﹣[0.5×(﹣2)] ×(﹣2) =1﹣2 =﹣1. 故选:B.
0 2015 2016

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10.如果等式(2x﹣3) =1,则等式成立的 x 的值的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】零指数幂;有理数的乘方. 【分析】由于任何非 0 数的 0 次幂等于 1 和 1 的任何指数为 1,所以分两种情况讨论. 【解答】解:当 x+3=0 时,x=﹣3; 当 2x﹣3=1 时,x=2. ∴x 的值为 2,﹣3, x+3 当 x=1 时,等式(2x﹣3) =1, 故选 C 二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分) m n m+n 11.若 x =3,x =5,则 x = 15 . 【考点】同底数幂的乘法. m n m+n m n 【分析】由 x =3,x =5,又由 x =x ?x ,即可求得答案. m n 【解答】解:∵x =3,x =5, m+n m n ∴x =x ?x =3×5=15. 故答案为:15 12.若 a+b=1,ab=﹣2,则(a+1) (b+1)的值为 0 . 【考点】整式的混合运算—化简求值. 【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算,整理后把 a+b 与 ab 的值代入计算即可求出 值. 【解答】解:原式=ab+a+b+1=ab+(a+b)+1, 当 a+b=1,ab=﹣2 时,原式=1﹣2+1=0, 故答案为:0 13.等腰三角形的两边长为 4,9.则它的周长为 22 . 【考点】等腰三角形的性质;三角形三边关系. 【分析】由于题目没有说明 4 和 9,哪个是底哪个是腰,所以要分类讨论. 【解答】解:当腰长为 4,底长为 9 时;4+4<9,不能构成三角形; 当腰长为 9,底长为 4 时;9﹣4<9<9+4,能构成三角形; 故等腰三角形的周长为:9+9+4=22. 故填 22. 14.计算:2015 一 2014×2016= 1 . 【考点】平方差公式. 【分析】把 2014×2016 写成×,然后利用平方差公式计算即可得解. 2 【解答】解:2015 ﹣2014×2016 2 =2015 ﹣× 2 =2015 ﹣ 2 2 =2015 ﹣2015 +1 =1. 故答案是:1.
2

x+3

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15.如图,在△ABC 中,∠A=50°,∠ABC、∠ACB 的角平分线相交于点 P,则∠BPC 的度数 为 115° .

【考点】三角形内角和定理;三角形的外角性质. 【分析】根据三角形的内角和等于 180°求出∠ABC+∠ACB,再根据角平分线的定义求出 ∠PBC+∠PCB,然后利用三角形的内角和等于 180°列式计算即可得解. 【解答】解:∵∠A=50°, ∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°, ∵∠ABC 与∠ACB 的角平分线相交于 P, ∴∠PBC+∠PCB= (∠ABC+∠ACB)= ×130°=65°, 在△PBC 中,∠BPC=180°﹣(∠PBC+∠PCB)=180°﹣65°=115°. 故答案为:115°. 16.如果(x+1) (x+m)的乘积中不含 x 的一次项,则 m 的值为 ﹣1 . 【考点】多项式乘多项式. 【分析】把式子展开,找到所有 x 项的所有系数,令其和为 0,可求出 m 的值. 2 【解答】解: (x+1) (x+m)=x +(1+m)x+m, ∵结果不含 x 的一次项, ∴1+m=0, 解得:m=﹣1. 故答案为:﹣1. 17.如图,将正方形纸片 ABCD 沿 BE 翻折,使点 C 落在点 F 处,若∠DEF=40°,则∠ABF 的 度数为 50° .

【考点】翻折变换(折叠问题) . 【分析】根据翻折的性质可得∠BEF=∠BEC,∠EBF=∠EBC,然后求出∠BEC,再根据直角三 角形两锐角互余求出∠EBC,然后根据∠ABF=90°﹣∠EBF﹣∠EBC 代入数据进行计算即可得 解. 【解答】解:补全正方形如图, 由翻折的性质得,∠BEF=∠BEC,∠EBF=∠EBC, ∵∠DEF=30°,

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∴∠BEC= = =70°, ∴∠EBC=90°﹣∠BEC=90°﹣70°=20°, ∴∠ABF=90°﹣∠EBF﹣∠EBC =90°﹣20°﹣20° =50°. 故答案为:50°.

18.如图,在△ABC 中,已知点 D,E,F 分别为边 BC,AD,CE 的中点,且 S△ABC=4cm ,则 S 2 1 cm . 阴影=

2

【考点】三角形的面积. 【分析】根据三角形的面积公式,知△BCE 的面积是△ABC 的面积的一半,进一步求得阴影 部分的面积是△BEC 的面积的一半. 【解答】解:∵点 E 是 AD 的中点, ∴△BDE 的面积是△ABD 的面积的一半,△CDE 的面积是△ACD 的面积的一半. 2 则△BCE 的面积是△ABC 的面积的一半,即为 2cm . ∵点 F 是 CE 的中点, 2 ∴阴影部分的面积是△BCE 的面积的一半,即为 1cm . 三、解答题(本大题共 11 小题,共 76 分,应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明) 19.计算: (1)|﹣2|﹣(2﹣π ) +(﹣ ) 2 2 2 (2)﹣2xy?3x y﹣x y(﹣3xy+xy ) 2 (3) (2a+b) (b﹣2a)﹣(a﹣3b) . 【考点】整式的混合运算;零指数幂;负整数指数幂. 【分析】 (1)根据绝对值、零指数幂、负指数幂计算即可; (2)根据同底数幂的乘法、单项式乘以多项式进行计算即可; (3)根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可. 【解答】解: (1)原式=2﹣1﹣3 =﹣2; 3 2 3 2 3 3 (2)原式=﹣6x y +3x y ﹣x y
0 ﹣1

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=﹣3x y ﹣x y ; 2 2 2 2 (3)原式=b ﹣4a ﹣a +6ab﹣9b 2 2 =﹣5a +6ab﹣8b . 20.如图,△ABC 的顶点都在方格纸的格点上.将△ABC 向左平移 2 格,再向上平移 3 格. (1)请在图中画出平移后的△A′B′C′; (2)在△ABC 中画出中线 BD; (3)在△ABC 中画出 AB 边上高(图中标上字母) .

3 2

3 3

【考点】作图-平移变换. 【分析】 (1)分别作出点 A、B、C 向左平移 2 格,再向上平移 3 格的点,然后顺次连接; (2)作出 AC 的中点 D,然后连接 BD; (3)过点 C 作 CD⊥AB 延长线于点 E,然后连接 CE. 【解答】解: (1)所作图形如图所示: (2)如图所示,BD 即为所作中线; (3)如图所示,CE 即为 AB 的高.

21.已知 n 为正整数,且 x =4,求(x ) ﹣2(x ) 的值. 【考点】整式的混合运算—化简求值. 【分析】原式利用幂的乘方运算法则变形,将已知等式代入计算即可求出值. 2n 【解答】解:∵n 为正整数,且 x =4, 2n 3 2n 2 3 2 ∴原式=(x ) ﹣2(x ) =4 ﹣2×4 =64﹣32=32.

2n

3n

2

2

2n

22.先化简再求值: (a﹣2b) +(a﹣b) (a+b)﹣2(a﹣3b) (a﹣b) ,其中 a= ,b=﹣3. 【考点】整式的混合运算—化简求值. 【分析】原式第一项利用完全平方公式展开,第二项利用平方差公式计算,最后一项利用多 项式乘多项式法则计算,去括号合并得到最简结果,把 a 与 b 的值代入计算即可求出值. 2 2 2 2 2 2 2 【解答】解:原式=a ﹣4ab+4b +a ﹣b ﹣2a +8ab﹣6b =4ab﹣3b ,

2

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当 a= ,b=﹣3 时,原式=﹣6﹣27=﹣33. 23.如图,在△ABC 中,BD⊥AC,EF⊥AC,垂足分别为 D、F,且∠1=∠2,试判断 DE 与 BC 的位置关系,并说明理由.

【考点】平行线的判定与性质. 【分析】 根据平行线的判定求出 EF∥BD, 根据平行线的性质得出∠1=∠BDE, 求出∠2=∠BDE, 根据平行线的判定得出即可. 【解答】解:DE∥BC, 理由是:∵BD⊥AC,EF⊥AC, ∴∠EAF=∠BDF=90°, ∴EF∥BD, ∴∠1=∠BDE, 又∵∠1=∠2, ∴∠2=∠BDE, ∴DE∥BC. 24.已知:x+y=6,xy=4,求下列各式的值 2 2 2 (1)x +y (2) (x﹣y) . 【考点】完全平方公式. 2 2 2 【分析】 (1)根据完全平方公式可得 x +y =(x+y) ﹣2xy,然后把 x+y=6,xy=4 整体代入进 行计算即可; 2 2 (2)根据完全平方公式可得(x﹣y) =(x+y) ﹣4xy,然后把 x+y=6,xy=4 整体代入进行 计算即可. 2 2 2 【解答】解: (1)∵x +y =(x+y) ﹣2xy, 2 2 2 2 ∴当 x+y=6,xy=4,x +y =(x+y) ﹣2xy=6 ﹣2×4=28; (2)∵(x﹣y) =(x+y) ﹣4xy, 2 2 2 ∴当 x+y=6,xy=4, (x﹣y) =(x+y) ﹣4xy=6 ﹣4×4=20. 25.如图,已知△ABC 中,AD 是高,AE 是角平分线. (1)若∠B=20°,∠C=60°,求∠EAD 度数; (2)若∠B=α ,∠C=β (β >a) ,则∠EAD= (β ﹣α ) . (用 α 、β 的代数式表示)
2 2

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【考点】三角形内角和定理;三角形的角平分线、中线和高. 【分析】 (1) )根据∠B=20°,∠C=60°,得出∠BAC 的度数,再根据 AE 是角平分线,AD 是高,分别得出∠EAC 和∠DAC 的度数,从而求出答案; (2)证明过程同(1) ,只不过把∠B 和∠C 的度数用字母代替,从而用字母表示出各个角的 度数. 【解答】解: (1)∵∠B=20°,∠C=60°, ∴∠BAC=180°﹣20°﹣60°=100°, ∵AE 是角平分线, ∴∠EAC=50°, ∵AD 是高, ∴∠ADC=90°, ∴∠DAC=30°, ∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=50°﹣30°=20°; (2) )∵∠B=α ,∠C=β , ∴∠BAC=180°﹣α ﹣β , ∵AE 是角平分线, ∴∠EAC=90°﹣ α ﹣ β , ∵AD 是高, ∴∠ADC=90°, ∴∠DAC=90°﹣β , ∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=(90°﹣ α ﹣ β )﹣(90°﹣β )= (β ﹣α ) . 26.图①是一个长为 2m、宽为 2n 的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然 后按图②的形状拼成一个正方形. 2 (1)将图②中的阴影部分面积用 2 种方法表示可得一个等式,这个等式为 (m+n) ﹣4mn= 2 (m﹣n) . (2)若 m+2n=7,mn=3,利用(1)的结论求 m﹣2n 的值.

【考点】完全平方公式的几何背景. 【分析】 (1)大正方形的面积减去矩形的面积即可得出阴影部分的面积,也可得出三个代数 2 2 式(m+n) 、 (m﹣n) 、mn 之间的等量关系; 2 (2)根据(1)所得出的关系式,可求出(m﹣2n) ,继而可得出 m﹣2n 的值. 2 2 2 2 【解答】解: (1) (m+n) ﹣4mn=(m﹣n) ;故答案为: (m+n) ﹣4mn=(m﹣n) 2 2 (2) (m﹣2n) =(m+2n) ﹣8mn=25, 则 m﹣2n=±5.

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27.如图,正方形 ABCD 的边长为 a,面积为 6;长方形 CEFG 的长、宽分别为 a,b,长方形 的面积为 2,其中点 B、C、E 在同一直线上,连接 DF.求△BDF 的面积.

【考点】整式的混合运算. 【分析】 由图形得三角形 BDF 的面积=正方形 ABCD 的面积+梯形 DCEF﹣三角形 ABD 的面积﹣ 三角形 BEF,再计算即可. 【解答】解:S△BDF=S 正方形 ABCD+S 梯形 DCEF﹣S△ABD﹣S△BEF =a + (a+b)?a﹣ a ﹣ ?2a?b =a ﹣ ab; 2 由题意得:a =6,ab=2, 则 S△BDF=6﹣ ×2=5. 28.观察下列关于自然数的等式: 2 2 3 ﹣4×1 =5 ① 2 2 5 ﹣4×2 =9 ② 2 2 7 ﹣4×3 =13 ③ … 根据上述规律解决下列问题: 2 2 (1)完成第四个等式:9 ﹣4× 4 = 17 ; (2)写出你猜想的第 n 个等式(用含 n 的式子表示) ,并验证其正确性. 【考点】规律型:数字的变化类;完全平方公式. 【分析】由①②③三个等式可得,被减数是从 3 开始连续奇数的平方,减数是从 1 开始连续 自然数的平方的 4 倍,计算的结果是被减数的底数的 2 倍减 1,由此规律得出答案即可. 2 2 【解答】解: (1)3 ﹣4×1 =5 ① 2 2 5 ﹣4×2 =9 ② 2 2 7 ﹣4×3 =13 ③ … 2 2 所以第四个等式:9 ﹣4×4 =17; (2)第 n 个等式为: (2n+1) ﹣4n =4n+1, 2 2 2 2 左边=(2n+1) ﹣4n =4n +4n+1﹣4n =4n+1, 右边=4n+1. 左边=右边 2 2 ∴(2n+1) ﹣4n =4n+1. 29. Rt△ABC 中, ∠C=90°, 点 D、 E 分别是△ABC 边 AC、 BC 上的点, 点 P 是一动点. 令∠PDA=∠1,
2 2 2 2 2

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∠PEB=∠2,∠DPE=∠α . (1)若点 P 在线段 AB 上,如图(1)所示,且∠α =50°,则∠1+∠2= 140 °; ( 2 )若点 P 在边 AB 上运动,如图( 2 )所示,则∠α 、∠1、∠2 之间的关系为: ∠1+∠2=90°+α ;

(3)若点 P 运动到边 AB 的延长线上,如图(3)所示,则∠α 、∠1、∠2 之间有何关系? 猜想并说明理由.

(4) 若点 P 运动到△ABC 形外, 如图 (4) 所示, 则∠α 、 ∠1、 ∠2 之间的关系为: ∠2=90°+∠1 ﹣α . 【考点】三角形内角和定理;三角形的外角性质. 【分析】 (1)根据四边形内角和定理以及邻补角的定义得出∠1+∠2=∠C+∠α ,进而得出即 可; (2)利用(1)中所求得出答案即可; (3)利用三角外角的性质得出∠1=∠C+∠2+α =90°+∠2+α ; (4)利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出. 【解答】解: (1)∵∠1+∠2+∠CDP+∠CEP=360°,∠C+∠α +∠CDP+∠CEP=360°, ∴∠1+∠2=∠C+∠α , ∵∠C=90°,∠α =50°, ∴∠1+∠2=140°; 故答案为:140°; (2)由(1)得出: ∠α +∠C=∠1+∠2, ∴∠1+∠2=90°+α 故答案为:∠1+∠2=90°+α ;

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(3)∠1=90°+∠2+α , 理由:∵∠2+∠α =∠DME,∠DME+∠C=∠1, ∴∠1=∠C+∠2+α =90°+∠2+α . (4)∵∠PFD=∠EFC, ∴180°﹣∠PFD=180°﹣∠EFC, ∴∠α +180°﹣∠1=∠C+180°﹣∠2, ∴∠2=90°+∠1﹣α . 故答案为:∠2=90°+∠1﹣α .

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