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高一数学数列的求和方法专题学案(含答案)

既然选择了远方,就必须风雨兼程


时间: 年


月 日

等比数列专题
刘满江老师 学生签名:

一、 兴趣导入
为科学而疯的人 在 1874—1876 年期间,德国数学家康托尔向神秘的无穷宣战。他成功地证明了一条直线上的点能够 和一个平面上的点一一对应,也能和空间中的点一一对应。这样看起来,1 厘米长的线段内的点与太平洋 面上的点, 以及整个地球内部的点都“一样多”, 后来几年, 康托尔对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章, 通过严格证明得出了许多惊人的结论。 有人说,康托尔的集合论是一种“疾病”,康托尔的概念是“雾中之雾”,甚至说康托尔是“疯子”。来自数 学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔,使他心力交瘁,患了精神分裂症,被送进精神病医院。 1897 年举行的第一次国际数学家会议上,他的成就得到承认,伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托尔的 工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。”可是这时康托尔仍然神志恍惚,不能从人们的崇敬中得 到安慰和喜悦。1918 年 1 月 6 日,康托尔在一家精神病院去世。

二、 学前测试
1 1.(人教 A 版教材习题改编)等比数列{an}的公比 q=2,a8=1,则 S8=( A.254 解析 B.255 C.256 D.257 ).

1 由 a8=1,q=2得 a1=27,
8

?1?8? 7? ? ?2? ? 2 1 - a1?1-q ? ? ? ?? 8 ∴S8= = 1 =2 -1=255. 1-q 1-2 答案 B

2.(2011· 潍坊模拟)设{an}是公差不为 0 的等差数列,a1=2 且 a1,a3,a6 成等比数列,则{an} 的前 n 项和 Sn=( n2 7n A. 4 + 4 解析 ). n2 3n C. 2 + 4 D.n2+n n2 5n B. 3 + 3

由题意设等差数列公差为 d,则 a1=2,a3=2+2d,a6=2+5d.又∵a1,a3,a6 成等比

2 2 数列,∴a2 3=a1a6,即(2+2d) =2(2+5d),整理得 2d -d=0.∵d≠0,

n?n-1? 1 n2 7 ∴d=2,∴Sn=na1+ 2 d= 4 +4n. 答案 A
1

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三、 方法培养
数列求和的常用方法 1.公式法 直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和 (1)等差数列的前 n 项和公式: n?a1+an? n?n-1? Sn= =na1+ 2 d; 2 (2)等比数列的前 n 项和公式:

?na1,q=1, n Sn=?a1-anq a1?1-q ? ? 1-q = 1-q ,q≠1.
2.倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么 求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法,如等差数列的前 n 项和公式即是用此法推导的. 3.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列 的前 n 项和即可用此法来求,如等比数列的前 n 项和公式就是用此法推导的. 4.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.

☆专题 1:公式法求和
【例 1】已知数列{an}是首项 a1=4,公比 q≠1 的等比数列,Sn 是其前 n 项和,且 4a1,a5,-

2a3 成等差数列. (1)求公比 q 的值; (2)求 Tn=a2+a4+a6+?+a2n 的值. [审题视点] 求出公比,用等比数列求和公式直接求解. 解 (1)由题意得 2a5=4a1-2a3.

∵{an}是等比数列且 a1=4,公比 q≠1, ∴2a1q4=4a1-2a1q2,∴q4+q2-2=0, 解得 q2=-2(舍去)或 q2=1,∴q=-1. (2)∵a2,a4,a6,?,a2n 是首项为 a2=4×(-1)=-4,公比为 q2=1 的等比数列,∴Tn=na2 =-4n.
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应用公式法求和时,要保证公式使用的正确性,尤其要区分好等差数列、等比数列 的通项公式及前 n 项和公式. 【训练 1】 在等比数列{an}中,a3=9,a6=243,求数列{an}的通项公式 an 及前 n 项和公式 Sn,并求 a9 和 S8 的值. 解 a6 243 在等比数列{an}中,设首项为 a1,公比为 q,由 a3=9,a6=243,得 q3=a = 9 =27,
3

∴q=3. 由 a1q2=a3,得 9a1=9,∴a1=1. 于是,数列{an}的通项公式为 an=1×3n-1=3n-1, 1×?1-3n? 3n-1 前 n 项和公式为 Sn= = 2 . 1-3 由此得 a9=3
9-1

38-1 =6 561,S8= 2 =3 280.

在等比数列 {an } 中, q ? 2 , an ? 96 , S n ? 189,求 a1 和 n

☆专题 2:裂 项 相 消 求 和
? ? 【例 2】在数列{an}中,a1=1,当 n≥2 时,其前 n 项和 Sn 满足 S2 n=an?Sn-2?. ? ? (1)求 Sn 的表达式; Sn (2)设 bn= ,求{bn}的前 n 项和 Tn. 2n+1
?1? [审题视点] 第(1)问利用 an=Sn-Sn-1(n≥2)后, 再同除 Sn-1· Sn 转化为?S ?的等差数列即可求 Sn. ? n?

1

第(2)问求出{bn}的通项公式,用裂项相消求和. 解 1? ? (1)∵S2 n=an?Sn-2?,an=Sn-Sn-1(n≥2), ? ?

1? ? ∴S2 n=(Sn-Sn-1)?Sn-2?, ? ? 即 2Sn-1Sn=Sn-1-Sn,① 由题意 Sn-1· Sn≠0, 1 1 ①式两边同除以 Sn-1· Sn,得S - =2, n Sn-1
?1? 1 1 ∴数列?S ?是首项为S =a =1,公差为 2 的等差数列. ? n?
1 1

1 1 ∴S =1+2(n-1)=2n-1,∴Sn= . 2n-1 n
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Sn 1 (2)又 bn= = 2n+1 ?2n-1??2n+1? 1 ? 1? 1 =2?2n-1-2n+1?, ? ? ∴Tn=b1+b2+?+bn 1 ?? 1? ?1 1? 1?? ? 1 =2??1-3?+?3-5?+?+?2n-1-2n+1?? ? ? ? ?? ? ?? 1 ? 1? n =2?1-2n+1?= . ? ? 2n+1 使用裂项法求和时,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏 写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源与目 的. 【训练 2】 在数列{an}中,an= 和 Sn. 解 = 1 2 n an= + +?+ n+1 n+1 n+1 1+2+?+n n?n+1? n = = . n+1 2?n+1? 2 1 2 n 2 + +?+ ,又 bn= ,求数列{bn}的前 n 项 n+1 n+1 n+1 an· an+1

2 2 8 ∴bn= = = an· an+1 n n+1 n?n+1? 2· 2 1 ? ?1 =8?n-n+1?. ? ? 1 ?? 1? ?1 1? ?? ?1 ∴Sn=8??1-2?+?2-3?+?+?n-n+1?? ? ? ? ?? ? ?? 1 ? 8n ? =8?1-n+1?= . ? ? n+1
数列 {an } 中, Sn=4an-1+1 (n≥2)且 a1=1; ①若 bn ? an?1 ? 2an ,求证数列{bn}是等比数列 ②若 c n ?

an ,求证:数列 ?cn ? 是等差数列 2n

☆专题 3:错位相减求和 【例 3】已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10.
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(1)求数列{an}的通项公式;
? an ? ? ? (2)求数列?2n-1?的前 n 项和. ? ? ? ? ? an ? ? ? [审题视点] 第(1)问列出关于首项 a1 与公差 d 的方程组可求解;第(2)问观察数列?2n-1?的通项 ? ? ? ?

采用错位相减法. 解 ?a1+d=0, ?a1=1, (1)设等差数列{an}的公差为 d,由已知条件可得? 解得? ?2a1+12d=-10, ?d=-1.

故数列{an}的通项公式为 an=2-n.
? ? an ? ? (2)设数列?2n-1?的前 n 项和为 Sn, ? ? ? ?



an 2-n 1 n = = - , 2n-1 2n-1 2n-2 2n-1

1 1 1 ? ? 2 3 n ? ? ∴Sn=?2+1+2+22+?+2n-2?-?1+2+22+?+2n-1?. ? ? ? ? 2 3 n 记 Tn=1+2+22+?+ n-1, 2 1 1 2 3 n 则2Tn=2+22+23+?+2n, 1 1 1 1 n ①-②得:2Tn=1+2+22+?+ n-1-2n, 2 1 1-2n 1 n ∴2Tn= 1 -2n. 1-2 1? n ? 即 Tn=4?1-2n?- n-1. ? ? 2 ? ?1? ? 2?1-?2?n? 1? ? ? ?? n ? ?1-2n?+ n-1 ∴Sn= 1 -4? ? 2 1-2 1? 1? n ? ? =4?1-2n?-4?1-2n?+ n-1 ? ? ? ? 2 = 2
n-1.

① ②

n

用错位相减法求和时,应注意 (1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;
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(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn- qSn”的表达式. n 【训练 3】 设数列{an}满足 a1+3a2+32a3+?+3n-1an=3,n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; n (2)设 bn=a ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
n



n (1)a1+3a2+32a3+?+3n-1an=3,



∴当 n≥2 时, n-1 a1+3a2+32a3+?+3n-2an-1= 3 , n n-1 1 1 ①-②得:3n-1an=3- 3 =3,∴an=3n. 1 当 n=1 时,a1=3也适合上式, 1 ∴an=3n. n (2)bn=a =n· 3n ,
n



∴Sn=1×3+2×32+3×33+?+n· 3n , 则 3Sn=32+2×33+3×34+?+n· 3n+1, ∴③-④得: -2Sn=3+32+33+?+3n-n· 3n+1 = 3?1-3n? -n· 3n+1 1-3

③ ④

3 =-2(1-3n)-n· 3n+1. n· 3 3 ∴Sn=4(1-3n)+ 2 3 3 ?2n-1?· =4+ 4
n+1 n+1

.

四、强化练习
1. (2011· 北京海淀模拟)等差数列{an}的通项公式为 an=2n+1, 其前 n 项的和为 Sn, 则数列? ?
?n? ?Sn?

的前 10 项的和为(
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).
6

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A.120 C.75 解析

B.70 D.100

n?3+2n+1? Sn ∵Sn= = n ( n + 2) ,∴ 2 n =n+2.
? ?

?Sn? ∴数列? n ?前 10 项的和为:(1+2+?+10)+20=75.

答案

C

五、训练辅导 ☆专题 4:等差数列的性质 【例 4】(2010· 四川)已知等差数列{an}的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4.
(1)求数列{an}的通项公式; 解:(1)设{an}的公差为 d,则由已知得 ?a1+a2+a3=6, ?3a1+3d=6, ? 即? ?a1+a2+?+a8=-4, ?8a1+28d=-4, 解得 a1=3,d=-1,故 an=3-(n-1)=4-n.

六、家庭作业布置:
家长签字:_________________ (请您先检查确认孩子的作业完成后再签字)

附件:堂堂清落地训练 (坚持堂堂清,学习很爽心)
1.已知数列 1,3a,5a
2

,?, (2n ? 1)a n?1 (a ? 0) ,求前 n 项和。
0 2 n?1

思路分析:已知数列各项是等差数列 1,3,5,?2n-1 与等比数列 a , a, a ,?, a 相减法求和。

对应项积,可用错位

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解: S n ? 1 ? 3a ? 5a 2 ? ? ? (2n ? 1)a n?1

?1?

aSn ? a ? 3a 2 ? 5a 3 ? ? ? (2n ? 1)a n

?2?

?1? ? ?2? : (1 ? a)Sn ? 1 ? 2a ? 2a 2 ? 2a3 ? ?? 2a n?1 ? (2n ? 1)a n
当a ?1 时, (1 ? a)S n ? 1 ? 当 a ?1 时, S n ? n 2

2a(1 ? a n?1 ) ? (2n ? 1) n (1 ? a) 2

Sn ?

1 ? a ? (2n ? 1)a n ? (2n ? 1)a n?1 (1 ? a) 2

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