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平面向量基本定理及坐标表示

平面向量基本定理及坐标表示

1.平面向量基本定理 如果 e1,e2 是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量 a,有且只 有一对实数 λ1、λ2,使 a=λ1e1+λ2e2. 其中,不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),
2 λa=(λx1,λy1),|a|= x2 1+y1 .

(2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. → → ②设 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. 3.平面向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠0.a∥b?x1y2-x2y1=0.

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底. → → (2)在△ABC 中,向量AB,BC的夹角为∠ABC. (3)若 a,b 不共线,且 λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则 λ1=λ2,μ1=μ2. ( × ( × ( √ ) ) )

(4)平面向量的基底不唯一,只要基底确定后,平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一 表示. x1 y1 (5)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件可表示成 = . x2 y2 1 (6)已知向量 a=(1-sin θ,1),b=( ,1+sin θ),若 a∥b,则 θ 等于 45° . 2 → 2.已知点 A(6,2),B(1,14),则与AB共线的单位向量为________. 5 12 5 12 答案 (- , )或( ,- ) 13 13 13 13 ( √ ( × ( × ) ) )

解析 因为点 A(6,2),B(1,14), → → 所以AB=(-5,12),|AB|=13, → AB 1 → 与AB共线的单位向量为± =± (-5,12) 13 → |AB| 5 12 =± (- , ). 13 13 π → → 3.已知 A(-3,0),B(0,2),O 为坐标原点,点 C 在∠AOB 内,|OC|=2 2,且∠AOC= ,设OC 4 → → = λOA+OB(λ∈R),则 λ 的值为________. 答案 2 3

解析 过 C 作 CE⊥x 轴于点 E(图略). π 由∠AOC= ,知 OE=CE=2, 4 → → → → → 所以OC=OE+OB=λOA+OB, → → 即OE=λOA, 2 所以(-2,0)=λ(-3,0),故 λ= . 3 → → → 4.在?ABCD 中,AC 为一条对角线,AB=(2,4),AC=(1,3),则向量BD的坐标为__________. 答案 (-3,-5) → → → 解析 ∵AB+BC=AC, → → → ∴BC=AC-AB=(-1,-1), → → → → → ∴BD=AD-AB=BC-AB=(-3,-5). → |AC| → 2→ 1→ 5.在平面直角坐标系中, O 为坐标原点, A、 B、 C 三点满足OC= OA+ OB, 则 =________. 3 3 → |AB| 答案 1 3

→ 2→ 1→ 解析 ∵OC= OA+ OB, 3 3 → 1→ 1→ 1 → → |AC| 1 → → → 1→ ∴OC-OA=- OA+ OB= (OB-OA),∴AC= AB,∴ = . 3 3 3 3 → 3 |AB|

题型一 平面向量基本定理的应用 例1 → 2→ 1→ 在△ABC 中,点 P 是 AB 上一点,且CP= CA+ CB,Q 是 BC 的中点,AQ 与 CP 的 3 3

→ → 交点为 M,又CM=tCP,试求 t 的值. → → → → → → 思维启迪 根据题意可选择AB,AC为一组基底,将CM,CP线性表示出来,通过CM=tCP 键立关于 t 的方程组,从而求出 t 的值. → 2→ 1→ 解 ∵CP= CA+ CB, 3 3 → → → ∴3CP=2CA+CB, → → → → 即 2CP-2CA=CB-CP, → → ∴2AP=PB, 即 P 为 AB 的一个三等分点(靠近点 A),如图所示. ∵A,M,Q 三点共线, → → → x→ → ∴设CM=xCQ+(1-x)CA= CB+(x-1)AC, 2 → → → → x→ x → 而CB=AB-AC,∴CM= AB+( -1)AC. 2 2 → → → 1→ → 又CP=AP-AC= AB-AC, 3 → → 由已知CM=tCP可得, x→ x 1→ → → AB+( -1)AC=t( AB-AC), 2 2 3

?2=3 ∴? x ?2-1=-t

x

t

3 ,解得 t= . 4

思维升华 平面向量基本定理表明,平面内的任意一个向量都可用一组基底唯一表示,题 中将同一向量用同一组基底的两种形式表示出来,因此根据表示的“唯一性”可建立方程 组求解.

→ 1→ → 如图, 在△ABC 中, AN= NC, P 是 BN 上的一点, 若AP 3 → 2→ =mAB+ AC,则实数 m 的值为________. 11 答案 3 11

→ → 解析 设|BP|=y,|PN|=x, x → → → → 1→ 则AP=AN+NP= AC- BN, 4 x+y y → → → → → AP=AB+BP=AB+ BN, x+y x → y → → ①×y+②×x 得AP= AB+ AC, x+y 4?x+y? y 2 8 3 令 = ,得 y= x,代入得 m= . 3 11 4?x+y? 11 题型二 平面向量的坐标运算 例2 已知 A(1,-2),B(2,1),C(3,2),D(-2,3), ① ②

→ → → (1)求AD+2BD-3BC; → → → → → (2)设CM=3CA,CN=-2BC,求MN及 M、N 点的坐标. → → → 思维启迪 (1)直接计算AD、BD、BC的坐标,然后运算; (2)根据向量的坐标相等列方程求点 M,N 的坐标. 解 (1)∵A(1,-2),B(2,1),C(3,2),D(-2,3), → ∴AD=(-2-1,3+2)=(-3,5), → BD=(-2-2,3-1)=(-4,2), → BC=(3-2,2-1)=(1,1), → → → ∴AD+2BD-3BC=(-3,5)+2(-4,2)-3(1,1) =(-3-8-3,5+4-3)=(-14,6). → → → → (2)∵CM=3CA,CN=-2BC, → → → → → → → ∴MN=CN-CM=-2BC-3CA=-2BC+3AC, → 由 A、B、C、D 点坐标可得AC=(3,2)-(1,-2)=(2,4). → ∴MN=-2(1,1)+3(2,4)=(4,10). 设 M(xM,yM),N(xN,yN). → → → → → → 又CM=3CA,∴OM-OC=3(OA-OC),

∴(xM,yM)-(3,2)=3[(1,-2)-(3,2)]=(-6,-12). ∴xM=-3,yM=-10,∴M(-3,-10). → → → → → 又CN=-2BC,即ON-OC=-2BC, ∴(xN,yN)-(3,2)=-2(1,1), ∴xN=1,yN=0,∴N(1,0). 思维升华 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点 的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则. → → → → 已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB=a,BC=b,CA=c,且CM= → 3c,CN=-2b, (1)求 3a+b-3c; (2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n; → (3)求 M、N 的坐标及向量MN的坐标. 解 由已知得 a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),
? ? ?-6m+n=5, ?m=-1, ∴? 解得? ?-3m+8n=-5, ?n=-1. ? ?

→ → → (3)设 O 为坐标原点,∵CM=OM-OC=3c, → → ∴OM=3c+OC=(3,24)+(-3,-4)=(0,20). → → → ∴M(0,20).又∵CN=ON-OC=-2b, → → ∴ON=-2b+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2), → ∴N(9,2).∴MN=(9,-18). 题型三 向量共线的坐标表示 例3 (1)已知梯形 ABCD,其中 AB∥CD,且 DC=2AB,三个顶点 A(1,2),B(2,1),C(4,2),

则点 D 的坐标为________. (2)已知向量 a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7),若(a-c)∥b,则 k=________. 思维启迪 (1)根据向量共线列式求相关点的坐标; (2)根据向量共线求参数. 答案 (1)(2,4) (2)5 → → 解析 (1)∵在梯形 ABCD 中,DC=2AB,∴DC=2AB.

设点 D 的坐标为(x,y), → 则DC=(4,2)-(x,y)=(4-x,2-y), → AB=(2,1)-(1,2)=(1,-1), ∴(4-x,2-y)=2(1,-1),即(4-x,2-y)=(2,-2),
?4-x=2 ?x=2 ? ? ∴? ,解得? ,故点 D 的坐标为(2,4). ? ? ?2-y=-2 ?y=4

(2)依题意得 a-c=(3,1)-(k,7)=(3-k,-6), 又∵(a-c)∥b, 3-k -6 故 = ,∴k=5. 1 3 思维升华 (1)两平面向量共线的充要条件有两种形式:①若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件是 x1y2-x2y1=0;②若 a∥b(a≠0),则 b=λa. (2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行, 也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非 零时,也可以利用坐标对应成比例来求解. (1)已知向量 a=(1,2), b=(1,0), c=(3,4).若 λ 为实数, (a+λb)∥c, 则 λ=_______. → → → (2)已知向量OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(5-m,-3-m),若点 A、B、C 能构成 三角形,则实数 m 满足的条件是________. 1 答案 (1) 2 1 (2)m≠ 2

解析 (1)∵a=(1,2),b=(1,0), ∴a+λb=(1,2)+λ(1,0)=(1+λ,2), 由于(a+λb)∥c,且 c=(3,4), 1 ∴4(1+λ)-6=0,解得 λ= . 2 → → → (2)因为OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(5-m,-3-m), → → 所以AB=(3,1),BC=(-m-1,-m). → → 由于点 A、B、C 能构成三角形,所以AB与BC不共线, 3 1 1 → → 而当AB与BC共线时,有 = ,解得 m= , 2 -m-1 -m 1 故当点 A、B、C 能构成三角形时实数 m 满足的条件是 m≠ . 2

方法与技巧 1.平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则,将向量进行分解. 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示,其中坐标运算法则是运算的关键. 2.平面向量共线的坐标表示 (1)两向量平行的充要条件 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件是 a=λb,这与 x1y2-x2y1=0 在本质上是 没有差异的,只是形式上不同. (2)三点共线的判断方法 判断三点是否共线,先求由三点组成的任两个向量,然后再按两向量共线进行判定. 失误与防范 1.要区分点的坐标和向量的坐标,向量坐标中包含向量大小和方向两种信息;两个向量共线 有方向相同、相反两种情况. x1 y1 2.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件不能表示成 = ,因为 x2,y2 有可能等于 x2 y2 0,所以应表示为 x1y2-x2y1=0.

一、填空题 → → → 1.(2012· 广东改编)若向量BA=(2,3),CA=(4,7),则BC=________. 答案 (-2,-4) → → 解析 由于BA=(2,3),CA=(4,7), → → → 所以BC=BA+AC=(2,3)+(-4,-7)=(-2,-4). → → → → 2.在△ABC 中,点 P 在 BC 上,且BP=2PC,点 Q 是 AC 的中点,若PA=(4,3),PQ=(1,5), → 则BC=________. 答案 (-6,21) → → → → 解析 BC=3PC=3(2PQ-PA) → → =6PQ-3PA=(6,30)-(12,9) =(-6,21).

1 1 3.若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b) (ab≠0)共线,则 + 的值为________. a b 答案 1 2

→ → 解析 AB=(a-2,-2),AC=(-2,b-2), 依题意,有(a-2)(b-2)-4=0, 1 1 1 即 ab-2a-2b=0,所以 + = . a b 2 → → → → 4.如图,在△OAB 中,P 为线段 AB 上的一点,OP=xOA+yOB,且BP → =2PA,则 x=________,y=________. 答案 2 1 3 3

→ → → → → → → 2→ → 2 → → 2 → 解析 由题意知OP=OB+BP,又BP=2PA,所以OP=OB+ BA=OB+ (OA-OB)= OA 3 3 3 1→ 2 1 + OB,所以 x= ,y= . 3 3 3 → → → 5.已知 A(-3,0),B(0, 3),O 为坐标原点,C 在第二象限,且∠AOC=30° ,OC=λOA+OB, 则实数 λ 的值为________. 答案 1 → → 解析 由题意知OA=(-3,0),OB=(0, → 3),则OC=(-3λ, 3),

由∠AOC=30° 知以 x 轴的非负半轴为始边,OC 为终边的一个角为 150° , ∴tan 150° = 3 3 3 ,即- =- ,∴λ=1. 3 3λ -3λ

6.已知向量 a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,且 u∥v,则实数 x 的值为________. 答案 1 2

解析 因为 a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b, 所以 u=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4), v=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3), 又因为 u∥v,所以 3(2x+1)-4(2-x)=0, 1 即 10x=5,解得 x= . 2 1 2 → → 7.(2013· 江苏)设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的点,AD= AB,BE= BC.若DE=λ1AB 2 3 → +λ2AC(λ1,λ2 为实数),则 λ1+λ2 的值为________. 答案 1 2

1 → → → 1→ 2 → 1→ 2 → → 解析 如图,DE=DB+BE= AB+ BC= AB+ (AC-AB)=- 2 3 2 3 6 1 2 1 → 2→ AB+ AC,则 λ1=- ,λ2= ,λ1+λ2= . 3 6 3 2 8.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 p=(a+c,b),q=(b-a,c-a), 且 p∥q,则角 C=________. 答案 60° 解析 因为 p∥q,则(a+c)(c-a)-b(b-a)=0, a2+b2-c2 1 所以 a2+b2-c2=ab, = , 2ab 2 1 结合余弦定理知,cos C= , 2 又 0° <C<180° ,∴C=60° . 二、解答题 9.已知 A(1,1)、B(3,-1)、C(a,b). (1)若 A、B、C 三点共线,求 a、b 的关系式; → → (2)若AC=2AB,求点 C 的坐标. → → 解 (1)由已知得AB=(2,-2),AC=(a-1,b-1). → → ∵A、B、C 三点共线,∴AB∥AC, ∴2(b-1)+2(a-1)=0,即 a+b=2. → → (2)∵AC=2AB,∴(a-1,b-1)=2(2,-2),
? ? ?a-1=4 ?a=5 ∴? ,解得? , ?b-1=-4 ?b=-3 ? ?

∴点 C 的坐标为(5,-3). 10.如图,G 是△OAB 的重心,P,Q 分别是边 OA、OB 上的动点,且 P,G,Q 三点共线. → → → → → (1)设PG=λPQ,将OG用 λ,OP,OQ表示; 1 1 → → → → (2)设OP=xOA,OQ=yOB,证明: + 是定值. x y → → → → → → → → (1)解 OG=OP+PG=OP+λPQ=OP+λ(OQ-OP) → → =(1-λ)OP+λOQ. (2)证明 一方面,由(1),得 → → → → → OG=(1-λ)OP+λOQ=(1-λ)xOA+λyOB;① 另一方面,∵G 是△OAB 的重心,

→ 2 → 2 1 → → 1→ 1→ ∴OG= OM= × (OA+OB)= OA+ OB.② 3 3 2 3 3

??1-λ?x=3, → → 而OA,OB不共线,∴由①②,得? 1 ?λy=3. ?x=3-3λ, 解得? 1 ?y=3λ.
1 1 1 ∴ + =3(定值). x y

1

备用题 1.设向量 a,b 满足|a|=2 5,b=(2,1),且 a 与 b 的方向相反,则 a 的坐标为________. 答案 (-4,-2) 解析 ∵a 与 b 方向相反,∴可设 a=λb(λ<0),∴a=λ(2,1)=(2λ,λ).由|a|= 5λ2=2 5,解 得 λ=-2,故 a=(-4,-2). → → → 2.设OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0),a>0,b>0,O 为坐标原点,若 A、B、C 1 2 三点共线,则 + 的最小值是________. a b 答案 8 → → 解析 据已知得AB∥AC, → → 又∵AB=(a-1,1),AC=(-b-1,2), ∴2(a-1)-(-b-1)=0,∴2a+b=1, 1 2 2a+b 4a+2b ∴ + = + a b a b b 4a =4+ + ≥4+2 a b b 4a · =8, a b

b 4a 1 1 当且仅当 = ,即 a= ,b= 时取等号, a b 4 2 1 2 ∴ + 的最小值是 8. a b → → → → → 3.已知△ABC 中,点 D 在 BC 边上,且CD=2DB,CD=rAB+sAC,则 r+s 的值是________. 答案 0 → → → 解析 ∵DB=AB-AD, → → → → → 1→ → ∴CD=AB-DB-AC=AB- CD-AC, 2

3→ → → → 2→ 2→ ∴ CD=AB-AC,∴CD= AB- AC. 2 3 3 2 2 → → → 又CD=rAB+sAC,∴r= ,s=- , 3 3 ∴r+s=0. 1 → → 4.已知 A(7,1)、B(1,4),直线 y= ax 与线段 AB 交于 C,且AC=2CB,则实数 a=________. 2 答案 2 → → 解析 设 C(x,y),则AC=(x-7,y-1),CB=(1-x,4-y),
? ? ?x-7=2?1-x? ?x=3 → → ∵AC=2CB,∴? ,解得? . ?y-1=2?4-y? ?y=3 ? ?

1 ∴C(3,3).又∵C 在直线 y= ax 上, 2 1 ∴3= a· 3,∴a=2. 2 → → → → 5.设 A1, A 2, A3, A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点, 若A1A3=λA1A2 (λ∈R), A1A4=μA1A2 1 1 (μ∈R),且 + =2,则称 A3,A4 调和分割 A1,A2.已知点 C(c,0),D(d,0)(c,d∈R)调和分 λ μ 割点 A(0,0),B(1,0),则下面说法正确的是________.(填序号) ①C 可能是线段 AB 的中点; ②D 可能是线段 AB 的中点; ③C,D 可能同时在线段 AB 上; ④C,D 不可能同时在线段 AB 的延长线上. 答案 ④ 1 1 → → → → 解析 依题意,若 C,D 调和分割点 A,B,则有AC=λAB,AD=μAB,且 + =2.若 C 是 λ μ 1 1 1 1 → 1→ 线段 AB 的中点,则有AC= AB,此时 λ= .又 + =2,所以 =0,不可能成立.因此①不 2 2 λ μ μ 对,同理②不对. 1 1 → → → → 当 C,D 同时在线段 AB 上时,由AC=λAB,AD=μAB知 0<λ<1,0<μ<1,此时 + >2,与已 λ μ 1 1 知条件 + =2 矛盾,因此③不对. λ μ 1 1 → → → → 若 C, D 同时在线段 AB 的延长线上, 则AC=λAB时, λ>1, AD=μAB时, μ>1, 此时 + <2, λ μ 1 1 与已知 + =2 矛盾,故 C,D 不可能同时在线段 AB 的延长线上. λ μ

2π → → 6.给定两个长度为 1 的平面向量OA和OB,它们的夹角为 .如图所示, 3 → → → 点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上运动.若OC=xOA+yOB,其中 x, y∈R,求 x+y 的最大值. → 解 以 O 为坐标原点,OA所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系, 如图所示,则 A(1,0), 1 3 B(- , ), 2 2 2π 设∠AOC=α(α∈[0, ]),则 C(cos α,sin α), 3 → → → 由OC=xOA+yOB,

?cos α=x-2y 得? 3 ?sin α= 2 y
所以 x=cos α+

1



3 2 3 sin α,y= sin α, 3 3

π 所以 x+y=cos α+ 3sin α=2sin(α+ ), 6 2π π 又 α∈[0, ],所以当 α= 时,x+y 取得最大值 2. 3 3 → → → 7.已知 O(0,0),A(1,2),B(4,5)及OP=OA+tAB,试问: (1)t 为何值时,P 在 x 轴上?在 y 轴上?在第三象限? (2)四边形 OABP 能否成为平行四边形,若能,求出相应的 t 值;若不能,请说明理由. → → 解 (1)∵OA=(1,2),AB=(3,3), → → → ∴OP=OA+tAB=(1+3t,2+3t). 2 若点 P 在 x 轴上,则 2+3t=0,解得 t=- ; 3 1 若点 P 在 y 轴上,则 1+3t=0,解得 t=- ; 3
? ?1+3t<0, 2 若点 P 在第三象限,则? 解得 t<- . 3 ?2+3t<0. ?

→ → (2)若四边形 OABP 为平行四边形,则OP=AB,
? ?1+3t=3, ∴? ?2+3t=3. ?

∵该方程组无解,∴四边形 OABP 不能成为平行四边形.


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