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2016新课标三维人教A版数学必修2 3.1 直线的倾斜角与斜率


直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率

预习课本 P82~85,思考并完成以下问题 1.直线的倾斜角的定义是什么?

2.直线的倾斜角的范围是什么?

3.直线的斜率的计算公式是怎样的?

[新知初探]
1.直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义: 当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准,x 轴正方向与直线 l 向上方 向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角. 如图所示, 直线 l 的倾斜角是∠APx, 直线 l′的倾斜角是∠BPx. (2)倾斜角的范围: 直线的倾斜角 α 的取值范围是 0°≤α<180°, 并规定与 x 轴平行或重合的直线的倾斜 角为 0°. [点睛] (1)倾斜角定义中含有三个条件:

①x 轴正方向;②直线向上的方向;③小于 180°的非负角. (2)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角,且倾斜程度相同的直线, 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

其倾斜角相等;倾斜程度不同的直线,其倾斜角不相等. 2.直线的斜率 (1)斜率的定义: 一条直线的倾斜角 α 的正切值叫做这条直线的斜率. 常用小写字母 k 表示, 即 k=tan_α. (2)斜率公式: 经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k= 线 P1P2 没有斜率. (3)斜率的作用: 用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度. [点睛] 直线都有倾斜角,但并不是所有的直线都有斜率.当倾斜角是 90°时,直线的 y2-y1 .当 x1=x2 时,直 x2-x1

斜率不存在,此时,直线垂直于 x 轴(平行于 y 轴或与 y 轴重合).

[小试身手]
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任一直线都有倾斜角,都存在斜率( (2)倾斜角为 135°的直线的斜率为 1( ) ) )

(3)若一条直线的倾斜角为 α,则它的斜率为 k=tan α( (4)直线斜率的取值范围是(-∞,+∞)( 答案:(1)× (2)× (3)× (4)√ ) )

2.若直线 l 经过原点和(-1,1),则它的倾斜角是( A.45° C.45°或 135°

B.135° D.-45°

解析:选 B 作出直线 l,如图所示,由图易知,应选 B.

3.已知直线 l 的倾斜角为 30°,则直线 l 的斜率为( A. 3 3 B. 3 D. 2 2

)

C.1

解析:选 A 由题意可知,直线 l 的斜率 k=tan 30°=

3 . 3

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直线的倾斜角

[典例] 设直线 l 过原点, 其倾斜角为 α, 将直线 l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转 45°, 得到直线 l1,则直线 l1 的倾斜角为( A.α+45° C.135°-α [解析] ) B.α-135° D.α+45°或 α-135°

由 倾 斜 角 的 取 值 范 围 知 , 只 有 当 0°≤α + 45° <

180°(0°≤α<180°), 即 0°≤α<135°时, l1 的倾斜角才是 α+45°. 而 0°≤α< 180° ,所以当 135°≤α< 180° 时, l1 的倾斜角为 α- 135°(如图). [答案] D

求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法:结合图形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角. (2)两点注意:①当直线与 x 轴平行或重合时,倾斜角为 0°,当直线与 x 轴垂直时, 倾斜角为 90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是 0°≤α<180°.

[活学活用]
已知直线 l 经过第二、四象限,则直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是( A.0°≤α<90° C.90°<α<180° B.90°≤α<180° D.0°<α<180° )

解析:选 C 直线倾斜角的取值范围是 0°≤α<180°,又直线 l 经过第二、四象限, 所以直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是 90°<α<180°. 直线的斜率

[典例] 经过下列两点的直线的斜率是否存在?如果存在,求其斜率,并确定直线的倾 斜角 α. (1)A(2,3),B(4,5); (2)C(-2,3),D(2,-1); 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

(3)P(-3,1),Q(-3,10). [解] (1)存在.直线 AB 的斜率 kAB= 5-3 =1,即 tan α=1,又 0°≤α<180°,所以 4-2

倾斜角 α=45°. (2)存在.直线 CD 的斜率 kCD= 以倾斜角 α=135°. (3)不存在.因为 xP=xQ=-3,所以直线 PQ 的斜率不存在,倾斜角 α=90°. -1-3 =-1,即 tan α=-1,又 0°≤α<180°,所 2-?-2?

(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项 ①运用公式的前提条件是“x1≠x2”,即直线不与 x 轴垂直,因为当直线与 x 轴垂 直时,斜率是不存在的; ②斜率公式与两点 P1,P2 的先后顺序无关,也就是说公式中的 x1 与 x2,y1 与 y2 可 以同时交换位置. (2)在 0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记. 倾斜角 α 斜率 k 0° 0 30° 3 3 45° 1 60° 3 120° - 3 135° -1 150° - 3 3

[活学活用] 1.直线经过点(0,2)和点(3,0),则它的斜率为( 2 A. 3 C.- 2 3 3 B. 2 D.- 3 2 )

0-2 2 解析:选 C 斜率 k= =- . 3 3-0 2.已知坐标平面内△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(-1,1),B(1,1),C(1,-1),求 直线 AB,BC,AC 的斜率. 解:已知点的坐标,可代入过两点的直线的斜率公式求斜率,但应先验证两点的横坐 1-1 -1-1 标是否相等.kAB= =0,kAC= =-1. 1-?-1? 1-?-1? ∵B,C 两点的横坐标相等,∴直线 BC 的斜率不存在.

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直线的倾斜角、 斜率的应用

题点一:三点共线问题
5? 1.如果 A? ?2m,2?,B(4,-1),C(-4,-m)三点在同一条直线上,试确定常数 m 的 值. 解:由于 A,B,C 三点所在直线不可能垂直于 x 轴,因此可设直线 AB,BC 的斜率分 别为 kAB,kBC. 5 +1 2 7 由斜率公式,得 kAB= = , 2m-4 4m-8 kBC= -1+m m-1 = . 8 4+4

∵点 A,B,C 在同一条直线上,∴kAB=kBC. ∴ m-1 7 = ,即 m2-3m-12=0, 8 4m-8 3+ 57 3- 57 ,m2= . 2 2

解得 m1=

3+ 57 3- 57 ∴m 的值是 或 . 2 2

用斜率公式解决三点共线问题时,首先要估测三点中是否任意两点的连线垂直于 x 轴.当任意两点的连线垂直于 x 轴,且过同一点时,三点共线.否则,直线的斜率存在, 只要证明过同一点的两直线的斜率相等即可.

题点二:数形结合法求倾斜角或斜率范围 2.直线 l 过点 P(1,0),且与以 A(2,1),B(0, 3)为端点的线段有公共点,求直线 l 的斜 率和倾斜角的范围. 解:如图所示. ∵kAP= 1-0 3-0 =1,kBP= =- 3, 2-1 0-1

∴k∈(-∞,- 3 ]∪[1,+∞), ∴45°≤α≤120°.

(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式 k=tan α(α≠90°)解决. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式 k=

y2-y1 (x ≠x )求解. x2-x1 1 2

(3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解.

层级一
1.直线 x=1 的倾斜角和斜率分别是( A.45°,1 C.90°,不存在 解析:选 C 作出图象,故 C 正确.

学业水平达标
) B.135°,-1 D.180°,不存在

2.给出下列说法: ①若 α 是直线 l 的倾斜角,则 0°≤α<180°; ②若 k 是直线的斜率,则 k∈R; ③任一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率; ④任一条直线都有斜率,但不一定有倾斜角.其中说法正确的个数是( A.1 C.3 解析:选 C 显然①②③正确,④错误. 3.已知直线经过点 A(-2,0),B(-5,3),则该直线的倾斜角为( A.150° C.75° B.135° D.45° ) B.2 D.4 )

解析:选 B ∵直线经过点 A(-2,0),B(-5,3), 3-0 ∴其斜率 k= =-1. -5-?-2? 设其倾斜角为 θ(0°≤θ<180°), 则 tan θ=-1,∴θ=135°. 4.过两点 A(4,y),B(2,-3)的直线的倾斜角为 45°,则 y=( A.- 3 2 B. 3 2 )

C.-1 解析:选 C

D.1 y+3 y+3 tan 45°=kAB= ,即 =1,所以 y=-1. 4-2 4-2

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5. 已知直线 l 经过点 A(1,2), 且不经过第四象限, 则直线 l 的斜率 k 的取值范围是( A.(-1,0] C.[1,2] B.[0,1] D.[0,2]

)

解析:选 D 由图,可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时,满足题意,所以 直线 l 的斜率满足 0≤k≤2.故选 D.

6.如图,已知直线 l1 的倾斜角是 150°,l2⊥l1,垂足为 B.l1,l2 与 x 轴 分别相交于点 C,A,l3 平分∠BAC,则 l3 的倾斜角为________. 解析:因为直线 l1 的倾斜角为 150°,所以∠BCA=30°,所以 l3 的 1 倾斜角为 ×(90°-30°)=30°. 2 答案:30° 7.一束光线射到 x 轴上并经 x 轴反射.已知入射光线的倾斜角 α1=30°,则反射光线 的倾斜角 α2=________. 解析:作出入射光线和反射光线如图.因为入射光线的倾 斜角 α1=30°,所以入射角等于 60°.又因反射角等于入射角, 由图易知,反射光线的倾斜角为 60°+60°+30°=150°. 答案:150° 8.已知点 A(2,-1),若在坐标轴上存在一点 P,使直线 PA 的倾斜角为 45°,则点 P 的坐标为________. 0+1 n+1 解析:设 x 轴上点 P(m,0)或 y 轴上点 P(0,n).由 kPA=1,得 = =1,得 m= m-2 0-2 3,n=-3.故点 P 的坐标为(3,0)或(0,-3). 答案:(3,0)或(0,-3) 9.已知 A(m,-m+3),B(2,m-1),C(-1,4),直线 AC 的斜率等于直线 BC 的斜率 的 3 倍,求 m 的值. 解:由题意直线 AC 的斜率存在,即 m≠-1. ∴kAC= ∴ ?-m+3?-4 ?m-1?-4 ,kBC= . m+1 2-?-1?

?-m+3?-4 ?m-1?-4 =3· . m+1 2-?-1?

整理得:-m-1=(m-5)(m+1), 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

即(m+1)(m-4)=0, ∴m=4 或 m=-1(舍去). ∴m=4. 10.已知两点 A(-3,4),B(3,2),过点 P(2,-1)的直线 l 与线段 AB 有公共点,求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 解: ∵直线 l 与线段 AB 有公共点, ∴直线 l 的倾斜角介于直线 PB 与 PA 的倾斜角之间. 当 l 的倾斜角小于 90°时,k≥kPB;当 l 的倾斜角大于 90°时,k≤kPA. -1-4 -1-2 ∵kPA= =-1,kPB= =3,∴直线 l 的斜率 k 的取值范围是(-∞,-1] 2-?-3? 2-3 ∪[3,+∞).

层级二
所在直线的斜率之和为( A.-2 3 C. 3 )

应试能力达标

1.在平面直角坐标系中,正三角形 ABC 的 BC 边所在直线的斜率是 0,则 AC,AB 边

B.0 D.2 3

解析:选 B 由 BC 边所在直线的斜率是 0,知直线 BC 与 x 轴平行,所以直线 AC, AB 的倾斜角互为补角,根据直线斜率的定义,知直线 AC,AB 的斜率之和为 0.故选 B. 2.已知经过点 P(3,m)和点 Q(m,-2)的直线的斜率等于 2,则 m 的值为( A.-1 C.2 B.1 4 D. 3 )

m+2 4 解析:选 D 由直线的斜率公式,得 =2,∴m= . 3 3-m 3.如图,直线 l1,l2,l3 的斜率分别为 k1,k2,k3,则( A.k1<k2<k3 C.k3<k2<k1 )

B.k3<k1<k2 D.k1<k3<k2

解析:选 D 直线 l2,l3 的倾斜角为锐角,且直线 l2 的倾斜角大于直线 l3 的倾斜角,所 以 0<k3<k2.直线 l1 的倾斜角为钝角,斜率 k1<0,所以 k1<k3<k2. 4.若点 P(x,y)在以 A(-3,1),B(-1,0),C(-2,0)为顶点的△ABC 的内部运动(不包含 边界),则 y-2 的取值范围是( x-1 ) 1 ? B.? ?2,1? 1 ? D.? ?4,1?

1 ? A.? ?2,1? 1 ? C.? ?4,1?

解析:选 D 根据已知的条件,可知点 P(x,y)是点 A,B,C 围成的△ABC 内一动点,

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y-2 1 那么所求 的几何意义是过动点 P(x, y)与定点 M(1,2)的直线的斜率. 由已知, 得 kAM= , 4 x-1 y-2 1 2 ? kBM=1,kCM= .利用图象,可得 的取值范围是? ?4,1?.故选 D. 3 x-1 1 1 5.若 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)三点共线,则 + 的值为________. a b 2-0 2-b 解析:∵A,B,C 三点共线,∴kAB=kAC,即 = . 2-a 2-0 a+b 1 1 1 1 ∴2(a+b)=ab,∴ ab = ,∴a+b= . 2 2 答案: 1 2

6.若三点 A(3,1),B(-2,k),C(8,1)能构成三角形,则实数 k 的取值范围为________. 解析:kAB= k-1 1-k 1-1 0 = ,kAC= = =0. 5 -2-3 8-3 5

要使 A,B,C 三点能构成三角形,需三点不共线, 即 kAB≠kAC,∴ 1-k ≠0.∴k≠1. 5

答案(-∞,1)∪(1,+∞) 7.设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)是函数 y=x3 的图象上任意三个不同的点.求证: 若 A,B,C 三点共线,则 x1+x2+x3=0. 证明:∵A,B,C 是三个不同的点, ∴x1,x2,x3 互不相等. ∵A,B,C 三点共线, y1-y2 y1-y3 ∴kAB=kAC,即 = , x1-x2 x1-x3 ∴
3 3 x1 -x3 x3 2 1-x3 = , x1-x2 x1-x3

2 2 2 整理,得 x2 1+x1x2+x2=x1+x1x3+x3,

即(x2-x3)(x1+x2+x3)=0. ∵x2≠x3, ∴x1+x2+x3=0.

8.已知实数 x,y 满足 y=x2-2x+2(-1≤x≤1),试求

y+3 的最大值和最小值. x+2

y+3 解:如图,可知 表示经过定点 P(-2,-3)与曲线段 AB 上任 x+2

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一点(x,y)的直线的斜率 k. 由已知条件,可得 A(1,1),B(-1,5). 易知 kPA≤k≤kPB. 4 由斜率公式得 kPA= ,kPB=8, 3 4 所以 ≤k≤8. 3 故 y+3 4 的最大值是 8,最小值是 . 3 x+2

3.1.2

两条直线平行与垂直的判定

预习课本 P86~89,思考并完成以下问题 1.两直线平行,对斜率和倾斜角的要求分别是怎样的?

2.两直线垂直,对斜率和倾斜角的要求分别是怎样的?

[新知初探]
1.两条直线平行 对于两条不重合的直线 l1,l2,其斜率分别为 k1,k2,有 l1∥l2?k1=k2. [点睛] (1)l1∥l2?k1=k2 成立的前提条件是:①两条直线的斜率都存在;②l1 与 l2 不重合. (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时,l1 与 l2 的倾斜角都是 90°,则 l1∥l2. 2.两条直线垂直 如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于-1;反之,如果 它们的斜率之积等于-1,那么它们互相垂直,即 l1⊥l2?k1· k2=-1. [点睛] k2≠0. l1⊥l2?k1· k2=-1 成立的前提条件是:①两条直线的斜率都存在;②k1≠0 且

[小试身手]
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

(1)若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行( (2)若 l1∥l2,则 k1=k2( )

)

(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则这两条直线垂 直( ) (4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合,则这两条直线平行( 答案:(1)× (2)× (3)× (4)√ ) )

2.直线 l1,l2 的斜率是方程 x2-3x-1=0 的两根,则 l1 与 l2 的位置关系是( A.平行 C.相交但不垂直 B.重合 D.垂直

解析:选 D 设 l1,l2 的斜率分别为 k1,k2,则 k1· k2=-1. 3.l1 过点 A(m,1),B(-3,4),l2 过点 C(0,2),D(1,1),且 l1∥l2,则 m=________. 1-2 4-1 解析:∵l1∥l2,且 k2= =-1,∴k1= =-1, 1-0 -3-m ∴m=0. 答案:0

两条直线平行的判定

[典例] 判断下列各题中直线 l1 与 l2 是否平行. (1)l1 经过点 A(-1,-2),B(2,1),l2 经过点 M(3,4),N(-1,-1); (2)l1 经过点 A(-3,2),B(-3,10),l2 经过点 M(5,-2),N(5,5). [解] (1)k1= 1-?-2? -1-4 5 =1,k2= = . 2-?-1? -1-3 4

∵k1≠k2,∴l1 与 l2 不平行. (2)∵l1 与 l2 都与 x 轴垂直,且 l1 与 l2 不重合,∴l1∥l2.

k1=k2?l1∥l2 是针对斜率都存在且不重合的直线而言的,对于斜率不存在或可能不存 在的直线,要注意利用图形.

[活学活用]
1. 在平面直角坐标系 xOy 中, 四边形 ABCD 的边 AB∥DC, AD∥BC.已知点 A(-2,0), B(6,8),C(8,6),则点 D 的坐标为________. 解析:根据 AB∥DC,AD∥BC,利用平行直线的斜率相等求解.设点 D(x,y),则由

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AB∥DC,AD∥BC 可得 kAB=kDC,kAD=kBC,即 =0,y=-2. 答案:(0,-2)

y-6 8-6 y 8 = , = ,解得 x 6-?-2? x-8 x-?-2? 6-8

2.在△ABC 中,A(0,3),B(2,-1),E,F 分别为边 AC,BC 的中点,则直线 EF 的 斜率为________. 解析:∵E,F 分别为边 AC,BC 的中点,∴EF∥AB. ∴kEF=kAB= 答案:-2 -1-3 =-2. 2- 0

两条直线垂直的判定

[典例] 判断下列各题中 l1 与 l2 是否垂直. (1)l1 经过点 A(-3,-4),B(1,3),l2 经过点 M(-4,-3),N(3,1); (2)l1 的斜率为-10,l2 经过点 A(10,2),B(20,3); (3)l1 经过点 A(3,4),B(3,10),l2 经过点 M(-10,40),N(10,40). [解] (1)k1= 3-?-4? 7 1-?-3? 4 = ,k2= = ,k1k2=1, 1-?-3? 4 3-?-4? 7

∴l1 与 l2 不垂直. (2)k1=-10,k2= 3-2 1 = ,k1k2=-1,∴l1⊥l2. 20-10 10 40-40 =0,则 l2∥x 轴,∴l1⊥l2. 10-?-10?

(3)l1 的倾斜角为 90°,则 l1⊥x 轴;k2=

判断两条直线是否垂直的依据是:在这两条直线都有斜率的前提下,只需看它们的斜 率之积是否等于-1 即可,但应注意有一条直线与 x 轴垂直,另一条直线与 x 轴平行或重合 时,这两条直线也垂直.

[活学活用]
1.若不同两点 P,Q 的坐标分别为(a,b),(3-b,3-a),则线段 PQ 的垂直平分线的斜 率为________. 解析:由过两点的直线的斜率公式可得 kPQ= 的斜率为-1. 答案:-1 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn 3-a-b =1,所以线段 PQ 的垂直平分线 3-b-a

2.已知△ABC 的顶点坐标分别为 A(1,2),B(-1,1),C(0,2),求 BC 边上的高所在直线 的斜率与倾斜角.

解:设 BC 边上的高所在直线的斜率为 k, 则有 k· kBC=-1. ∵kBC= 2-1 =1,∴k=-1. 0-?-1?

∴BC 边上的高所在直线的倾斜角为 135°. 根据两直线平行或垂直关系求参数

[典例] 已知直线 l1 经过点 A(3,a),B(a-1,2),直线 l2 经过点 C(1,2),D(-2,a+2). (1)若 l1∥l2,求 a 的值; (2)若 l1⊥l2,求 a 的值. [解] 设直线 l2 的斜率为 k2, 2-?a+2? a =- . 3 1-?-2?

则 k2=

a (1)若 l1∥l2,则 l1 的斜率 k1=- . 3 2-a 2-a a ∵k1= ,∴ =- , 3 a-4 a-4 解得 a=1 或 a=6. 经检验,当 a=1 或 a=6 时,l1∥l2. (2)若 l1⊥l2. 1 ①当 k2=0 时,此时 a=0,k1=- ,不符合题意; 2 2-a ②当 k2≠0 时,l1 的斜率存在,此时 k1= . a-4 由 k1k2=-1 可得 2-a ? a? ·- =-1,解得 a=3 或 a=-4. a-4 ? 3?

∴当 a=3 或 a=-4 时,l1⊥l2.

当直线上点的坐标含有参数时,参数的不同取值决定了两条直线不同的位置关系,因 此应对参数的取值情况分类讨论,一般分为直线斜率存在和斜率不存在两种情况.

[活学活用]
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已知四边形 ABCD 的顶点 A(m,n),B(5,-1),C(4,2),D(2,2),求 m 和 n 的值,使 四边形 ABCD 为直角梯形.

解:∵四边形 ABCD 是直角梯形,∴有 2 种情形: (1)AB∥CD,AB⊥AD, 由图可知,A(2,-1). (2)AD∥BC,AD⊥AB,
?kAD=kBC, ? ? ?kAD· kAB=-1 ?

n-2 3 = , ? ?m-2 -1 ?? n-2 n+1 =-1, ? ?m-2· m-5
? ?m=2, 综上可知,? 或 ?n=-1 ?

?m= 5 , ∴? 8 ?n=-5.

16

?m= 5 , ? 8 ?n=-5.

16

层级一
PS;③PS∥QS;④PR⊥QS. 其中正确的个数是( A.1 B.2 ) C.3

学业水平达标

1.设点 P(-4,2),Q(6,-4),R(12,6),S(2,12),下面四个结论:①PQ∥SR;②PQ⊥

D.4

解析:选 C 由斜率公式知 kPQ=

-4-2 12-6 12-2 5 3 3 =- ,kSR= =- ,kPS= = ,k 5 5 6+4 2-12 2+4 3 QS

12+4 6-2 1 = =-4,kPR= = ,∴PQ∥SR,PQ⊥PS,PR⊥QS.而 kPS≠kQS,∴PS 与 QS 2-6 12+4 4 不平行,①②④正确,故选 C. 2.直线 l 过(m,n),(n,m)两点,其中 m≠n,mn≠0,则( A.l 与 x 轴垂直 C.l 过原点和第一、三象限 解析:选 D 直线的斜率 k= B.l 与 y 轴垂直 D.l 的倾斜角为 135° m-n =-1,∴直线 l 的倾斜角为 135°. n-m ) )

3.经过点 P(-2,m)和 Q(m,4)的直线平行于斜率等于 1 的直线,则 m 的值是( A.4 C.1 或 3 解析:选 B 由题意,知 B.1 D.1 或 4 4-m =1,解得 m=1. m-?-2?

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3 4.若直线 l1 的斜率 k1= ,直线 l2 经过点 A(3a,-2),B(0,a2+1),且 l1⊥l2,则实数 4 a 的值为( A.1 C.0 或 1 ) B.3 D.1 或 3

2 3 a +1-?-2? 解析:选 D ∵l1⊥l2,∴k1· k2=-1,即 × =-1,解得 a=1 或 a=3. 4 0-3a

5. 已知点 A(2,3), B(-2,6), C(6,6), D(10,3), 则以 A, B, C, D 为顶点的四边形是( A.梯形 C.菱形 B.平行四边形 D.矩形

)

3 3 解析: 选 B 如图所示, 易知 kAB=- , k =0, kCD=- , k =0, 4 BC 4 AD 1 3 3 kBD=- , k = , 所以 kAB=kCD, kBC=kAD, kAB· kAD=0, kAC· kBD=- , 4 AC 4 16 故 AD∥BC,AB∥CD,AB 与 AD 不垂直,BD 与 AC 不垂直,所以四边 形 ABCD 为平行四边形. 6. 已知直线 l1 的斜率为 3, 直线 l2 经过点 A(1,2), B(2, a), 若直线 l1∥l2, 则 a=________; 若直线 l1⊥l2,则 a=________. a-2 a-2 1 5 解析:l1∥l2 时, =3,则 a=5;l1⊥l2 时, =- ,则 a= . 3 3 2-1 2-1 答案:5 5 3

7.直线 l1,l2 的斜率 k1,k2 是关于 k 的方程 2k2-4k+m=0 的两根,若 l1⊥l2,则 m =________.若 l1∥l2,则 m=________. m 解析:由一元二次方程根与系数的关系得 k1· k2= , 2 m 若 l1⊥l2,则 =-1,∴m=-2. 2 若 l1∥l2 则 k1=k2,即关于 k 的二次方程 2k2-4k+m=0 有两个相等的实根, ∴Δ=(-4)2-4×2×m=0,∴m=2. 答案:-2 2 8.已知△ABC 的三个顶点分别是 A(2,2+2 2),B(0,2-2 2),C(4,2),则△ABC 是 ________.(填△ABC 的形状) 解析:因为 AB 边所在直线的斜率 kAB= 斜率 kCB= ?2-2 2?-?2+2 2? =2 2,CB 边所在直线的 0-2

?2-2 2?-2 2-?2+2 2? 2 = ,AC 边所在直线的斜率 kAC= =- 2,kCB· kAC= 2 0-4 4-2

-1,所以 CB⊥AC,所以△ABC 是直角三角形. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

答案:直角三角形 9.当 m 为何值时,过两点 A(1,1),B(2m2+1,m-2)的直线: (1)倾斜角为 135°; (2)与过两点(3,2),(0,-7)的直线垂直; (3)与过两点(2,-3),(-4,9)的直线平行. 解:(1)由 kAB= m-3 =-1,得 2m2+m-3=0, 2m 2

3 解得 m=- 或 1. 2 (2)由 -7-2 m-3 1 =3 及垂直关系,得 =- , 2m2 3 0-3

3 解得 m= 或-3. 2 (3)令 m-3 9+3 3 = =-2,解得 m= 或-1. 2m2 -4-2 4

10.已知△ABC 的顶点分别为 A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若△ABC 为直角三角形, 求 m 的值. 解:若∠A 为直角,则 AC⊥AB, m+1 1+1 ∴kAC· kAB=-1,即 × =-1,解得 m=-7; 2-5 1-5 若∠B 为直角,则 AB⊥BC, 1+1 m-1 ∴kAB· kBC=-1,即 × =-1,解得 m=3; 1-5 2-1 若∠C 为直角,则 AC⊥BC, m+1 m-1 ∴kAC· kBC=-1,即 × =-1,解得 m=± 2. 2-5 2-1 综上,m 的值为-7,-2,2 或 3.

层级二
A.α1-α2=90° C.|α2-α1|=90°

应试能力达标
) B.α2-α1=90° D.α1+α2=180°

1.若直线 l1,l2 的倾斜角分别为 α1,α2,且 l1⊥l2,则有(

解析:选 C 由题意,知 α1=α2+90°或 α2=α1+90°,所以|α2-α1|=90°. 2.已知四点 A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,2),D(1,0),且直线 AB 与直线 CD 平行, 则 m 的值为( A.1 ) B.0

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C.0 或 2

D.0 或 1

解析:选 D 当 m=0 时,直线 AB 与直线 CD 的斜率都不存在,且不重合,此时直线 m+1 m+1 2 2 AB 与直线 CD 平行;当 m≠0 时,kAB= m ,kCD=m,由 m =m,解得 m=1.综上,m 的值为 0 或 1. 3.已知直线 l1,l2,l3 的斜率分别是 k1,k2,k3,其中 l1∥l2,且 k1,k3 是方程 2x2-3x -2=0 的两根,则 k1+k2+k3 的值是( A.1 7 C. 2
2

) 3 B. 2 D.1 或 7 2

1 ? ?k1=-2, 解析: 选 D 由 k1 , k3 是方程 2x - 3x - 2 = 0 的两根,解方程得 ? 或 ? ?k3=2 k =2, ? ? 1 7 ? 1 又 l1∥l2,所以 k1=k2,所以 k1+k2+k3=1 或2. ? ?k3=-2.

4. 已知△ABC 的顶点 B(2,1), C(-6,3), 其垂心为 H(-3,2), 则其顶点 A 的坐标为( A.(-19,-62) C.(-19,62) B.(19,-62) D.(19,62)

)

解析:选 A 设 A(x,y),由已知,得 AH⊥BC,BH⊥AC,且直线 AH,BH 的斜率存 y-2 ? 1? ? ?x+3×?-4?=-1, ?y-3 1 ? ? ? ?x+6×?-5?=-1,

? kBC=-1, ?kAH· 在, 所以? 即 ?kBH· kAC=-1, ?

? ?x=-19, 解得? 即 A(-19, -62). ?y=-62, ?

5.已知 A(2,3),B(1,-1),C(-1,-2),点 D 在 x 轴上,则当点 D 坐标为________ 时,AB⊥CD. -1-3 解析:设点 D(x,0),因为 kAB= =4≠0, 1-2 所以直线 CD 的斜率存在. -2-0 则由 AB⊥CD 知,kAB· kCD=-1,所以 4· =-1,解得 x=-9. -1-x 答案:(-9,0) 4 ? 6. 已知直线 l1 经过点 A(0, -1)和点 B? 直线 l2 经过点 M(1,1)和点 N(0, -2), ?-a,1?, 若 l1 与 l2 没有公共点,则实数 a 的值为________. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

解析:由题意得 l1∥l2,∴kAB=kMN. ∵kAB= 2 4 - a -2-1 a =- ,kMN= =3, 2 0-1

a ∴- =3,∴a=-6. 2 答案:-6 7.在平面直角坐标系 xOy 中,四边形 OPQR 的顶点坐标分别为 O(0,0),P(1,t),Q(1 -2t,2+t),R(-2t,2),其中 t>0.试判断四边形 OPQR 的形状. 解:由斜率公式,得 kOP= kQR= t-0 =t, 1-0

2-?2+t? -t = =t, -2t-?1-2t? -1

2-0 1 kOR= =- , t -2t-0 kPQ= 2+t-t 2 1 = =- . t 1-2t-1 -2t

∴kOP=kQR,kOR=kPQ, ∴OP∥QR,OR∥PQ, ∴四边形 OPQR 为平行四边形. 又 kOP· kOR=-1,∴OP⊥OR, ∴四边形 OPQR 为矩形.

8.直线 l 的倾斜角为 30°,点 P(2,1)在直线 l 上,直线 l 绕点 P(2,1)按逆时针方向旋转 30°后到达直线 l1 的位置, 此时直线 l1 与 l2 平行, 且 l2 是线段 AB 的垂直平分线, 其中 A(1, m-1),B(m,2),试求 m 的值. 解:如图,直线 l1 的倾斜角为 30°+30°=60°, ∴直线 l1 的斜率 k1=tan 60°= 3. 当 m=1 时,直线 AB 的斜率不存在,此时 l2 的斜率为 0,不满足 l1∥l2.当 m≠1 时,直线 AB 的斜率 kAB= 的垂直平分线 l2 的斜率为 k2= ∵l1 与 l2 平行, ∴k1=k2,即 3= m-1 ,解得 m=4+ 3. m-3 m-1 . m-3 m-1-2 m-3 = ,∴线段 AB 1-m 1-m

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