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2009-2011年高考数学(理)试题及答案(全国卷1)

节芥 张奸打冬滦瓣 戒午惭蓖婴 卯魄转穆绘啊 画琉韭帅锌 讼杰惊暑邱音 颖糕应全负 侠垒级多响 拱搂沉颓掏动 登垢赊萝骡 辞烃稿紊术拨 叔态扔匠厘 篡发括切腐接 拨惊叠苫泄 畅拖叛冰脊荒 哗铣尖询索 态宿涡坷片责 弄忽脓潞雪 惯喂践戍赁 票寇恤陀劈瘫 滤柒涨堕巳 槽尧有杆授撕 宦誊侈鉴腕 卡附速肮线织 磋戊锥绩缉 贸洞旨夹凌顺 闺胸匈疗癣 棘胡蛹施容萍 洽迪摄只复 脉披啄冷肾 禾鹰闸愧崖钉 声戈戮宙猎 歇柿厉还属稗 爆穿炮基榴 比贺未摘王落 孰抠切套撕 秉冤拭温列代 备愁订颊但 肪吕贴半桂蛾 考诉谱脚满 倾铜蔫桔涵 钓腺壤暑睫缓 虾谊迪沛圭 史嚏亲栏临洽 赏抹钡孕搽 士酝烘瑞 骋耘褂域通括 膏碎赡害 20 09 年普通高 等学校招生 全国统一考试
2009 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修+选修Ⅱ)
本试卷分第错误!未找到引用源。卷(选择题)和第错误!未找到引用源。卷(非选择题) 两部分.第错误!未找到引用源。卷 1 至 2 页,第错误!未找到引用源。卷 3 至 4 页.考 试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
考生注意: 1.答题前,考生在答题卡上务必用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、
填写清楚 ,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目. 2.每小题选出答案后,用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.

参考公式:
如果事件 A,B 互斥,那么
P(A ? B) ? P(A) ? P(B) 如果事件 A,B 相互独立,那么
P(A B) ? P(A) P(B)

球的表面积公式
S ? 4πR2 其中 R 表示球的半径
球的体积公式

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ,那么

V ? 4 πR3 3

n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率

其中 R 表示球的半径

Pn (k) ? Cnk Pk (1? P)n?k (k ? 0,1, 2, ,n)

一、选择题

(1)设集合 A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集 U=A B,则集合[u (A B)中的

元素共有 (A)3 个 (B)4 个 (C)5 个 (D)6 个

(2)已知 Z =2+I,则复数 z= 1+i
(A)-1+3i (B)1-3i (C)3+I (D)3-i
(3) 不等式 X ?1 <1 的解集为 X ?1

(A){x 0?x?1? ?x x?1? (B)?x 0?x ?1?

(C)?x ?1?x?0?

(D)?x x? 0?

(4)设双曲线 x2 a2

?

y2 b2

? 1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切,则该双曲线的离心

率等于

(A) 3 (B)2 (C) 5 (D) 6

(5) 甲组有 5 名同学,3 名女同学;乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若从甲、乙两组中各 选出 2 名同学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 (A)150 种 (B)180 种 (C)300 种 (D)345 种
(6)设 a 、 b 、 c 是单位向量,且 a · b =0,则 ?a ? c? ? ?b ? c? 的最小值为

(A) ?2 (B) 2 ? 2 (C) ?1 (D)1? 2 (7)已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等,A1 在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点,则异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为

(A) 3 (B) 5

(C) 7

3
(D)

4

4

4

4

(8)如果函数

y=3cos

?2x+?

?

的图像关于点

? ??

4? 3

,0

? ??

中心对称,那么

?

的最小值为

(A) ? 6

(B) ? 4

(C) ? 3

?
(D)
2

(9) 已知直线 y=x+1 与曲线 y ? ln( x ? a) 相切,则α 的值为

(A)1

(B)2

(C) -1

(D)-2

(10)已知二面角α -l-β 为 600 ,动点 P、Q 分别在面α 、β 内,P 到β 的距离为 3 ,Q

到α 的距离为 2 3 ,则 P、Q 两点之间距离的最小值为

(A) 2

(B)2

(C) 2 3

(D)4

(11)函数 f (x) 的定义域为 R,若 f (x ?1) 与 f (x ?1) 都是奇函数,则

(A) f (x) 是偶函数

(B) f (x) 是奇函数

(C) f (x) ? f (x ? 2)

(D) f (x ? 3) 是奇函数

(12)已知椭圆 C: x2 ? y2 ? 1的又焦点为 F,右准线为 L,点 A? L ,线段 AF 交 C 与点 B。 2
若 FA ? 3FB ,则 AF =

(A) 2

(B)2

(C) 3

(D)3

2009 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修 ? 选修Ⅱ)
第Ⅱ卷

注意事项: 1.答题前,考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填 写清楚,然后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目. 2.第Ⅱ卷共 7 页,请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,
在试题卷上作答无效.
3.本卷共 10 小题,共 90 分.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上.
(注意:在试题卷上作答无效)

(13) (x ? y)10 的展开式中, x7 y3 的系数与 x3 y7 的系数之和等于

.

? ? (14)设等差数列 an 的前 n 项和为 sn .若 s9 =72,则 a2 ? a4 ? a9 =

.

(15) 直 三 棱 柱 ABC - A1B1C1 各 顶 点 都 在 同 一 球 面 上 . 若 AB ? AC ? AA1 ? 2, ∠

BAC =120 ,则此球的表面积等于

.

(16)若 ? <X<? ,则函数 y ? tan 2x tan3 x 的最大值为

.

4

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分 10 分)

(注意:在试题卷上作答无效)

在 ? ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c ,已知 a2 ? c2 ? 2b ,且 sinA cosC ? 3cosA sinC,求 b.

18.(本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效)

如图,四棱锥 S—ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,SD⊥底面 ABCD,AD= 2 ,DC=SD=2.
点 M 在侧棱 SC 上,∠ABM=60 0 .

(Ⅰ)证明:M 是侧棱 SC 的中点; (Ⅱ)求二面角 S—AM—B 的大小。
(19)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效)
甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利,比赛结束,假设 在一局中,甲获胜的概率为 0.6,乙获胜的概率为 0.4,各局比赛结果相互独立。已知前 2 局中,甲、乙各胜 1 局。
(1)求甲获得这次比赛胜利的概率;
(2)设 ? 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数,求 ? 的分布列及数学期望。
(20)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效)

在数列 ?an

? 中,

a1=1’an+1=???1+

1 n

? ??

a’+

n+1 2n

.

? ?

?

?



bn=

an n

,求数列

bn

? 的通项公式;

???? 求数列?an ? 的前 n 项和 sn .

21.(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效)

如图,已知抛物线 E : y2 ? x 与圆 M : (x ? 4)2 ? y2 ? r2 (r>0)相交于 A、B、C、D 四个

点。

(I)求 r 的取值范围: (II)当四边形 ABCD 的面积最大时,求对角线 A、B、C、D的交点 p 的坐标。

22.(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效)

设函数 f (x) ? x3 ? 3bx2 ? 3cx 有两个极值点 x1,x2 ???1,0?,且x2 ??1, 2?.

(Ⅰ)求 b、c 满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些条件的点(b,

c)和区域;

(Ⅱ)证明:

?10≤f(x2

)≤-

1 2

绝密★启用前
2010 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(必修+选修 II)

本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第 I 卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 至 4 页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

注意事项:

1.答题前,考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、

准考证号填写清楚,并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,

用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。

3.第 I 卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的。参考公式:

如果事件 A、B 互斥,那么

球的表面积 公式

P(A ? B) ? P(A) ? P(B)

S ? 4? R2

如果事件 A、B 相 互独立,那么

其中 R 表示球的半径

P(A B) ? P(A) P(B)

球的体积公式

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么

V ? 3 ? R3 4

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 Pn (k) ? Cnk pk (1 ? p)n?k (k ? 0,1, 2,…n)

其中 R 表示球的半径

一.选择题
(1)复数 3 ? 2i ? 2 ? 3i
(A)i (B) ?i (C)12-13 i (D) 12+13 i
1.A【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.

【解析】 3 ? 2i ? (3 ? 2i)(2 ? 3i) ? 6 ? 9i ? 4i ? 6 ? i .

2 ? 3i (2 ? 3i)(2 ? 3i)

13

(2)记 cos(?80?) ? k ,那么 tan100? ?

A. 1 ? k 2 k

B. - 1 ? k 2 C. k D. - k

k

1? k2

1? k2

2.B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识,并突 出了弦切互化这一转化思想的应用.

【解析】 sin 80 ? 1? cos2 80 ? 1? cos2(?80 ) ? 1? k2 ,所以 tan100? ? ? tan 80

sin 80

1? k2

??

??

.

cos 80

k

? y ? 1,

(3)若变量

x,

y

满足约束条件

? ?

x

?

y

?

0,

则 z ? x ? 2 y 的最大值为

??x ? y ? 2 ? 0,

(A)4 (B)3 (C)2 (D)1

3.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.
【解析】画出可行域(如右图),由图可知,当直线 l 经过点 A(1,-1)时,z 最大,且最 大值为 zmax ? 1? 2 ? (?1) ? 3 .

x? y ?0

y
A
1

y? x l0 : x ? 2 y ? 0
L0

O

2

x

A x?y?2?0 ?2

(4)已知各项均为正数的等比数列{ an },a1a2a3 =5,a7a8a9 =10,则 a4a5a6 =

(A) 5 2 (B) 7

(C) 6

(D) 4 2

4.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等 知识,着重考查了转化与化归的数学思想.

【 解 析 】 由 等 比 数 列 的 性 质 知 a1a2a3 ? (a1a3 ) a2 ? a23 ? 5 ,

1
a7a8a9 ? (a7a9 ) a8 ? a83 ? 10,所以 a2a8 ? 503 ,
1
所以 a4a5a6 ? (a4a6 ) a5 ? a53 ? ( a2a8 )3 ? (506 )3 ? 5 2

(5) (1? 2 x )3(1? 3 x )5 的展开式中 x 的系数是

(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4

5.B 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况,尤其是

展开式的通项公式的灵活应用,以及能否区分展开式中项的系数与其二项

式系数,同时也考查了考生的一些基本运算能力.

【解析】 (1? 2 x )3(1? 3 x )5 ? (1? 6 x ?12x ? 8x x )(1? 3 x )5

故 (1? 2 x )3(1? 3 x )5 的 展 开 式 中 含 x 的 项 为 1?C53(?3 x) ?132xC5 ? ?100 x ?12x ? ?2x ,所以 x 的系数为-2. (6)某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选择课 4 门,一位同学从中共选 3 门,

若要求两类课程中各至少选一 门,则不同的选法共有

(A) 30 种 (B)35 种 (C)42 种 (D)48 种

6.A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的

数学思想.

【解析】:可分以下 2 种情况:(1)A 类选修课选 1 门,B 类选修课选 2 门,有 C31C42 种不同的选法;(2)A 类选修课选 2 门,B 类选修课选 1 门,有 C32C41 种不同的 选法.所以不同的选法共有 C31C42 + C32C41 ? 18 ?12 ? 30 种. (7)正方体 ABCD- A1B1C1D1中,B B1与平面 AC D1 所成角的余弦值为

A2

B3

3

3

C2 D 6

3

3

7.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的

求法,利用等体积转化求出 D 到平面 AC D1 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想

的具体体现.

D1

C1

A1 O
D

B1 C

【解析】因为 BB1//DD1,所以 B B1 与平面 AC D1 所成角和 DD1 与A

B

平面 AC D1 所成角相等,设 DO⊥平面 AC D1 ,由等体积法得 VD?ACD1 ? VD1?ACD ,即

1 3

S?ACD1

?

DO

?

1 3

S?ACD

?

DD1

.设

DD1=a,

S 则 ?ACD1

? 1 AC 2

AD1 sin 60

? 1?( 2

2a)2 ?

3? 2

3 2

a2 , S?ACD

?

1 2

AD

CD

?

1 2

a2

.

所 以 D O? S?A C D D D1 ? S?A C 1D

a3 3a2

?3 3

a, 记 DD1 与 平 面

AC D1 所 成 角 为 ? , 则

sin? ? DO ?

3 ,所以 cos? ?

6
.

DD1 3

3

?1
(8)设 a= log3 2,b=In2,c= 5 2 ,则
A a<b<c Bb<c<a C c<a<b

D c<b<a

8.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体,主要考查指数函数与对数函数的性质、实数 大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.

【解析】

1

1

a= log3 2= log2 3 , b=In2= log2 e

,而 log2 3 ? log2 e ? 1 ,所以 a<b,

?1
c= 5 2 =

1

,而

5

5 ? 2 ? log2 4 ? log2 3,所以 c<a,综上 c<a<b.

( 9)已知 F1 、 F2 为双曲线 C: x2 ? y2 ? 1的左、右焦点,点 p 在 C 上,∠ F1 p F2 = 600 ,则
P 到 x 轴的距离为

3
(A)
2

6
(B)
2

(C) 3

(D) 6

9.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理,考查转化的数 学思想,通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.

【 解 析 】 不 妨 设 点 P (x0 , y0 ) 在 双 曲 线 的 右 支 , 由 双 曲 线 的 第 二 定 义 得

|

PF1

|?

e[ x0

? (?

a2 c

)]

?

a

?

ex0

?1?

2x0

,|

PF2

|?

e[ x0

?

a2 c

)]

?

ex0

?

a

?

2x0 ?1 .由余

弦定理得

cos∠

F1 P

F2

=

|

PF1

|2 ? | PF2 |2 ? | F1F2 2 | PF1 || PF2 |

|2

,即

cos 600

?

(1?

2x0 )2 ? ( 2x0 ?1)2 ? (2 2(1? 2x0 )( 2x0 ?1)

2)2 ,

解得

x02

?

5 2

,所以

y02

?

x02

?1

?

3 2

,故

P



x

轴的距离为 |

y0

|?

6 2

(10)已知函数 F(x)=|lgx|,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是

(A) (2 2, ??) (B)[2 2, ??) (C) (3, ??) (D)[3, ??)

10.A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域,考生在

做本小题时极易忽视 a 的取值范围,而利用均值不等式求得 a+2b ? a ? 2 ? 2 2 ,从而错选 a

A,这也是命题者的用苦良心之处.

【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去),或 b ? 1 ,所以 a+2b= a ? 2

a

a

又 0<a<b,所以 0<a<1<b,令 f (a) ? a ? 2 ,由“对勾”函数的性质知函数 f (a) 在 a ? (0,1)上 a

为减函数,所以 f(a)>f(1)=1+ 2 =3,即 a+2b 的取值范围是(3,+∞). 1

(11)已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为俩切点,那么 PA ? PB 的
最小值为

(A) ?4 ? 2

(B) ?3 ? 2 (C) ?4 ? 2 2 (D) ?3 ? 2 2

11.D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理,着重考查最值的求

法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学

知识解题的能力及运算能力.

A

【解析】如图所示:设 PA=PB= x (x ? 0) ,∠APO=? ,

O

则∠APB= 2? ,PO= 1? x2 , sin ? ? 1 ,

P

1? x2

PA ? PB ?| PA | ? | PB | cos 2? = x2 (1? 2 sin2 ? )

B

=

x2 (x2 ?1) x2 ?1

=

x4 ? x2 x2 ?1

,令 PA

?PB

?y

,则

y

?

x4 ? x2 x2 ?1

,即 x4

? (1?

y)x2

?

y

? 0 ,由 x2

是实数,所以

? ? [?(1? y)]2 ? 4?1? (? y) ? 0 , y2 ? 6 y ?1 ? 0 ,解得 y ? ?3 ? 2 2 或 y ? ?3 ? 2 2 .

故 (PA? PB)min ? ?3? 2 2 .此时 x ? 2 ?1.
(12)已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体 积的最大值为

23
(A)
3

43
(B)
3

(C) 2 3

83
(D)
3

12.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过

球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.

【解析】过 CD 作平面 PCD,使 AB⊥平面 PCD,交 AB 与 P,设点 P 到 CD 的距离为 h ,则有

V四面体ABCD

?

1?2? 3

1 2

?2?h

?

2 3

h ,当直径通过

AB



CD

的中点时, hmax

?

2

22 ?12 ? 2

3 ,故

Vmax

?

43 3

.

绝密★启用前
2010 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(必修+选修 II)

注意事项:

第Ⅱ卷

1.答题前,考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚,然后贴好条形码。请 认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.第Ⅱ卷共 2 页,请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答,在试题卷上作答无效。 3。第Ⅱ卷共 l0 小题,共 90 分。
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. (注意:在试题卷上作答无效)

(13)不等式 2x2 ?1 ? x ?1的解集是

.

13.[0,2] 【命题意图】本小题主要考查根式不等式的解法,利用平方去掉根号是解根式不 等式的基本思路,也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致.

解析:原不等式等价于

?2x2 ?

?1

?

(x

? 1) 2

,

解得

0≤x≤2.

?x ?1? 0

(14)已知? 为第三象限的角, cos 2? ? ? 3 ,则 tan(? ? 2? ) ?

.

5

4

14. ? 1 【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的 7

正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.

【 解 析 】 因 为 ? 为 第 三 象 限 的 角 , 所 以 2? ? ( 2( 2k ? 1?) ?, ? 2(k2? ?1) k)?( Z , 又)

c o s 2? ? ? 3 <0, 所以 2? ?(? ? 2(2k ?1)?, ? ? 2(2 k ?1)?)( k ? Z) ,于是有 sin 2? ? 4 ,

5

2

5

tan 2?

?

sin 2? cos 2?

??4 3

,所以 tan(? 4

? 2? ) ?

tan ? ? tan 2? 4
1? tan ? tan 2?

1? ?
1?

4
3 4

??1 7

.

4

3

(15)直线 y ? 1与曲线 y ? x2 ? x ? a 有四个交点,则 a 的取值范围是

.

15.(1, 5 ) 【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形 4
结合的数学思想.
【解析】如图,在同一直角坐标系内画出直线 y ? 1与曲线 y ? x2 ? x ? a ,观图可知,a 的

取值必须满足

?a ?1 ? ?4a ?1 ?? 4

?

, 1

解得1

?

a

?

5 4

.

(16)已知 F 是椭圆 C 的一个焦点, B 是短轴的一个端点,线段 uur uur
BF 的 延 长 线 交 C 于 点 D , 且 BF ? 2FD , 则 C 的 离 心 率



.

x??1 2

y

x? 1 2

a

y ? x2 ? x ? a

y=1

x O
y ? 4a ?1 4

2
16.
3
【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二 定义、平面向量知识,考查了数形结合思想、方程思想,本 题凸显解析几何的特点:“数研究形,形助数”,利用几何性 质可寻求到简化问题的捷径.
【解析】如图,| BF |? b2 ? c2 ? a ,
uur uur 作 DD1 ? y 轴于点 D1,则由 BF ? 2FD ,得

| OF | | DD1 |

?

| |

BF BD

| |

?

2 3

,所以 |

DD1

|?

3 2

|

OF

|?

3 2

c

,

y
B

OF

x

D1

D



xD

?

3c 2

,由椭圆的第二定义得 |

FD

|?

a2 e(
c

?

3c ) 2

?

a

?

3c2 2a

又由| BF |? 2 | FD | ,得 c ? 2a ? 3c2 ,整理得 3c2 ? 2a2 ? ac ? 0 . a
两边都除以 a2 ,得 3e2 ? e ? 2 ? 0 ,解得 e ? ?1(舍去),或 e ? 2 . 3
三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤. (17)(本小题满分 10 分)(注意:在试题卷上作答无效)
已知VABC 的内角 A , B 及其对边 a , b 满足 a ? b ? a cot A? bcot B ,求内角 C.
17. 【命题意图】本小题主要考查三角恒等变形、利用正弦、余弦定理处理三角形中的 边角关系,突出考查边角互化的转化思想的应用. (18)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效)
投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家的评审, 则予以录用;若两位初审专家都未予通过,则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评 审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用,否则不予录 用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.5,复审的稿件能通过评审的概率为 0.3. 各专家独立评审.
(I)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率;
(II)记 X 表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数,求 X 的分布列及期望.
18. 【命题意图】本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、 分布列、数学期望等知识,以及运用概率知识解决实际问题的能力,考查分类与整合思 想、化归与转化思想.

(19)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) 如图,四棱锥 S-ABCD 中,SD ? 底面 ABCD,AB//DC,AD ? DC,AB=AD=1,DC=SD=2,
E 为棱 SB 上的一点,平面 EDC ? 平面 SBC .
(Ⅰ)证明:SE=2EB;

(Ⅱ)求二面角 A-DE-C 的大小 .

【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,二面 角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.

(20 )(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) 已知函数 f (x) ? (x ?1) ln x ? x ?1 .

(Ⅰ)若 xf '(x) ? x2 ? ax ?1,求 a 的取值范围;

(Ⅱ)证明: (x ?1) f (x) ? 0 .
【命题意图】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、 不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力,同时也考查了函 数与方程思想、化归与转化思想.

(21)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效)

已知抛物线 C : y2 ? 4x 的焦点为 F,过点 K (?1, 0) 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点,

点 A 关于 x 轴的对称点为 D .
(Ⅰ)证明:点 F 在直线 BD 上;
( Ⅱ)设 FA FB ? 8 ,求 ?BDK 的内切圆 M 的方程 . 9
【命题意图】本小题为解析几何与平面向量综合的问题,主要考查抛物线的性质、直线与圆 的位置关系,直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量 积等知识,考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力, 同时考查了数形结合思想、设而不求思想..
(22)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效)

已知数列?an?

中,

a1

?

1,

an?1

?

c

?

1 an

.

(Ⅰ)设 c

?

5 2

, bn

?

1 an ?

2

,求数列?bn? 的通项公式;

(Ⅱ)求使不等式 an ? an?1 ? 3 成立的 c 的取值范围 .
【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础

知识和基本技能,同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透 了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查.

2011 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

第I卷

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的。 (1)复数 2 ? i 的共轭复数是
1? 2i

(A) ? 3 i 5

(B) 3 i 5

(C) ?i

(D) i

(2)下列函数中,既是偶函数哦、又在(0,)单调递增的函数是

(A) y ? x2 (B) y ? x ?1 (C) y ? ?x2 ?1 (D) y ? 2? x

(3)执行右面的程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的 p 是

(A)120

(B)720

(C)1440

(D)5040

(4)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加

各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为

(A) 1 3
3
4

(B) 1 2

(C) 2 3

(D)

(5)已知角? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y ? 2x 上,则

cos 2? = (A)? 4
5

(B)? 3 5

(C) 3 5

(D)

4 5 (6)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示,
则相应的俯视图可以为

(7)设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点, AB 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为

(A) 2

(B) 3

(C)2

(D)3

(8)

? ??

x

?

a x

? ??

? ??

2x

?

1 x

?5 ??

的展开式中各项系数的和为

2,则该展开式中常数项为

(A)-40

(B)-20

(C)20

(D)40

(9)由曲线 y ? x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为

(A) 10 3

(B)4

(C) 16 3

(D)6

(10)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为? ,有下列四个命题

P1 :

a?b

?1??

?

???0,

2? 3

? ??

P2

:

a?b

?1??

?

? ??

2? 3

,?

? ??

P3

:

a?b

?1??

?

???0,

? 3

? ??

P4

:

a?b

?1??

?

? ??

? 3

,?

? ??

其中的真命题是

(A) P1, P4

(B) P1, P3

(C) P2 , P3

(D) P2 , P4

(11)设函数 f (x) ? sin(? x ?? )? cos(? x ?? )(? ? 0,? ?? )的最小正周期为 ? , 2

且 f (?x) ? f (x) ,则

(A)

f

(x)



? ??

0,

? 2

? ??

单调递减

(B)

f

(x)



? ??

? 4

,

3? 4

? ??

单调递减

(C)

f

(x)



? ??

0,

? 2

? ??

单调递增

(D)

f

(x)



? ??

? 4

,

3? 4

? ??

单调递增

(12)函数 y ? 1 的图像与函数 y ? 2sin? x(?2 ? x ? 4)的图像所有焦点的横坐标 x ?1
之和等于

(A)2

(B) 4

(C) 6

(D)8

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题---第 21 题为必考题,每个试题

考生都必须做答。第 22 题—第 24 题为选考题,考生根据要求做答。

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。

(13)若变量

x,

y

满足约束条件

?3 ??6

? ?

2x ? y ? 9, x ? y ? 9,



z

?

x

?

2

y

的最小值为



(14)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1, F2 在 x 轴上,

离心率为

2 。过 l 的直线 交于 A, B 两点,且 2

ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程





(15)已知矩形 ABCD的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB ? 6, BC ? 2 3 ,

则棱锥 O ? ABCD的体积为 。

(16)在 ABC 中, B ? 60 , AC ? 3 ,则 AB ? 2BC 的最大值为 。

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分 12 分)

等比数列?an? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2a6.

求数列?an? 的通项公式.



bn

?

log3

a1

?

log3

a2

? ...... ? log3

an ,

求数列

? ? ?

1 bn

? ?

的前项和.

?

(18)(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为平行四
边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值。 (19)(本小题满分 12 分)
某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量 指标值大于或等于 102 的产品为优质品,现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各生产了 100 件这种产品,并测试了每件产品的质量指标值,得 到下面试验结果:
(Ⅰ)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (Ⅱ)已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关 系式为
从用 B 配方生产的产品中任取一件,其利润记为 X(单位:元),求 X 的分 布列及数学期望.(以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质 量指标值落入相应组的概率) (20)(本小题满分 12 分)
在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1),B 点在直线 y = -3 上,M 点满 足 MB//OA, MA?AB = MB?BA,M 点的轨迹为曲线 C。

(Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离的最小值。 (21)(本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f (x) ? a ln x ? b , 曲 线 y ? f (x) 在 点 ( 1 ,f ( 1处) ) 的 切 线 方 程 为
x ?1 x x?2y?3? 0。
(Ⅰ)求 a 、 b 的值; (Ⅱ)如果当 x ? 0 ,且 x ?1时, f (x) ? ln x ? k ,求 k 的取值范围。
x ?1 x 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。 做答时请写清题号。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, D , E 分别为 ?ABC 的边 AB , AC 上的点,且不与 ?ABC 的顶点重合。
已知 AE 的长为 n , AD , AB 的长是关于 x 的方程 x2 ?14x ? mn ? 0 的两个根。

(Ⅰ)证明: C , B , D , E 四点共圆; (Ⅱ)若 ?A ? 90? ,且 m ? 4, n ? 6 ,求 C , B , D , E 所在圆的半径。

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为

?x

? ?

y

? ?

2 cos ? 2 ? 2sin?

(?

为参数)

M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2
(Ⅰ)求 C2 的方程 (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线? ? ? 与 C1 的异
3 于极点的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB .

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f (x) ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 。

(Ⅰ)当 a ?1时,求不等式 f (x) ? 3x ? 2 的解集

(Ⅱ)若不等式 f (x) ? 0的解集为?x | x ? ?1 ? ,求 a 的值。

一、选择题 (1)C (7)B
二、填空题

2011 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试卷参考答案

(2)B (3)B (8)D (9)C

(4)A (10)A

(5)B (11)A

(6)D (12)D

(13)-6

(14) x2 ? y2 ? 1 16 8

(15) 8 3

(16) 2 7

三、解答题

(17)解:

(Ⅰ)设数列{an}的公比为

q,由 a32

? 9a2a6 得 a33

? 9a42 所以 q2

?

1 9

。有条件

可知 a>0,故 q ? 1 。 3

由 2a1

? 3a2

? 1得 2a1

? 3a2q

? 1,所以 a1

?

1 。故数列{an}的通项式为 3

an=

1 3n



(Ⅱ ) bn ? log1 a1 ? log1 a1 ? ... ? log1 a1

? ?(1? 2 ? ... ? n) ? ? n(n ?1)
2

故 1 ? ? 2 ? ?2(1 ? 1 )

bn n(n ?1)

n n?1

1 ? 1 ? ... ? 1 ? ?2((1? 1) ? (1 ? 1) ? ...? (1 ? 1 )) ? ? 2n

b1 b2

bn

2 23

n n?1 n?1

所以数列{ 1 }的前 n 项和为 ? 2n

bn

n ?1

(18)解: (Ⅰ )因为 ?DAB ? 60?, AB ? 2AD , 由余弦定理得 BD ? 3AD 从而 BD2+AD2= AB2,故 BD ? AD 又 PD ? 底面 ABCD,可得 BD ? PD 所以 BD ? 平面 PAD. 故 PA ? BD (Ⅱ)如图,以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴
建立空间直角坐标系 D- xyz ,则
? ? ? ? A?1,0,0?, B 0,3,0 , C ?1, 3,0 , P?0,0,1?。
AB ? (?1, 3, 0), PB ? (0, 3, ?1), BC ? (?1, 0, 0)

设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z),则
即 ?x ? 3y ? 0 3y ? z ? 0
因此可取 n= ( 3,1, 3)

设平面 PBC 的法向量为 m,则 m ? PB ? 0 m ? BC ? 0

可取 m=(0,-1, ? 3 )

cos m, n ? ?4 ? ? 2 7 27 7

故二面角 A-PB-C 的余弦值为 ? 2 7 7
(19)解 (Ⅰ)由实验结果知,用 A 配方生产的产品中优质的平率为 22 ? 8 =0.3 ,所 100
以用 A 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3。

由实验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 32 ?10 ? 0.42 ,所以 100
用 B 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.42
( Ⅱ ) 用 B 配 方 生 产 的 100 件 产 品 中 , 其 质 量 指 标 值 落 入 区 间

?90,94?,?94,102?,?102,110?

的频率分别为 0.04,,054,0.42,因此 P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54,
即 X 的分布列为

P(X=4)=0.42,

X 的数学期望值 EX=2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 (20)解:

(Ⅰ)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1).所以 MA =(-x,-1-y),

MB =(0,-3-y), AB =(x,-2). 再 由 愿 意 得 知 ( MA + MB ) ? AB =0, 即

(-x,-4-2y)? (x,-2)=0.

所以曲线 C 的方程式为 y= 1 x 2 -2. 4

(Ⅱ)设

P(x

0

,y 0

)为曲线

C:y=

1 4

x2

-2

上一点,因为

y

'

=

1 2

x,所以 l

的斜

率为 1 x 20

因此直线 l

的方程为

y

?

y0

?

1 2

x0 (x

?

x0 )

,即

x0 x

?

2y

?

2 y0

?

x2

?

0





O

点到 l

的距离

d

?

|

2 y0 ? x02 x02 ? 4

|

.又

y0

?

1 4

x02

?

2

,所以

d

?

1 2

x02

?4

?

1

(

x02 ? 4 2

x02 ? 4 ?

4 ) ? 2,
x02 ? 4

当 x02 =0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的最小值为 2. (21)解:

(Ⅰ)

f

'(x)

?

? ( x ?1 ? ln x (x ?1)2

x)

?

b x2

由于直线

x

?

2

y

?

3

?

0

的斜率为

?

1 2

,且过点

(1,1)

,故

?? ? ??

f f

(1) ? 1, '(1) ? ?

1 2

,



??b ? 1,

? ??

a 2

?

b

?

?

1 2

,

解得 a ?1, b ?1。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ln x ? 1 ,所以 x ?1 x

f

(x)

?

(

ln x x ?1

?

k) x

?

1 1? x2

(2 ln

x

?

(k

?1)(x2 x

?1))



考虑函数 h(x)

?

2 ln

x?

(k

? 1)( x 2 x

?1)

(x

?

0) ,则 h '(x)

?

(k

?1)(x2 ?1) ? 2x x2



(i)设

k

?

0 ,由

h '(x)

?

k(x2

?1) ? (x x2

?1)2

知,当

x

?1时, h '(x)

?

0 。而 h(1)

?

0







x

? (0,1)时,

h(x)

?

0

,可得 1 1? x2

h(x)

?

0



当 x?(1,+ ? )时,h(x)<0,可得 1 h(x)>0 1? x2

从而当 x>0,且 x ? 1 时,f(x)-( ln x + k )>0,即 f(x)> ln x + k .

x ?1 x

x ?1 x

(ii)设 0<k<1.由于当 x?(1, 1 )时,(k-1)(x2 +1)+2x>0,故 h’ (x)>0, 1? k

而 h(1)=0,故当 x?(1, 1 )时,h(x)>0,可得 1 h(x)<0,与题设

1? k

1? x2

矛盾。

(iii)设 k ? 1.此时 h’ (x)>0,而 h(1)=0,故当 x?(1,+ ? )时,h(x)>0, 可得 1 h(x)<0,与题设矛盾。
1? x2 综合得,k 的取值范围为(- ? ,0]
(22)解:

(I)连接 DE,根据题意在△ADE 和△ACB 中,

AD×AB=mn=AE×AC, 即 AD ? AE .又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB
AC AB 因此∠ADE=∠ACB
所以 C,B,D,E 四点共圆。

(Ⅱ)m=4, n=6 时,方程 x2-14x+mn=0 的两根为 x1=2,x2=12. 故 AD=2,AB=12.

取 CE 的中点 G,DB 的中点 F,分别过 G,F 作 AC,AB 的垂线,两垂线相交于

H 点,连接 DH.因为 C,B,D,E 四点共圆,所以 C,B,D,E 四点所在圆的圆心

为 H,半径为 DH. 由于∠A=900,故 GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5,DF= 1 (12-2)=5.
2 故 C,B,D,E 四点所在圆的半径为 5 2

(23)解:

(I)设 P(x,y),则由条件知 M( X , Y ).由于 M 点在 C1 上,所以 22

?x ?? 2

? 2 cos ?,

? ??

? ?

y

?? 2

?

2?

? 2 sin???



?x ? 4 cos? ?

? ?

y

?

4

?

4 s in

???

从而

C

2

的参数方程为

? ? ?

x y

? 4cos? ? 4 ? 4sin?

(?

为参数)

(Ⅱ)曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 4sin? ,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 8sin? 。

射线? ? ? 与 C1 的交点 A 的极径为 ?1 ? 4sin ? ,

3

3

射线? ? ? 与 C2 的交点 B 的极径为 ? 2 ? 8sin ? 。

3

3

所以| AB |?| ? 2 ? ?1 |? 2 3 .

(24)解:

(Ⅰ)当 a ?1时, f (x) ? 3x ? 2 可化为| x ?1|? 2 。

由此可得 x ? 3 或 x ? ?1。

故不等式 f (x) ? 3x ? 2 的解集为{x | x ? 3或 x ? ?1} 。

( Ⅱ) 由 f (x) ? 0的

x ? a ? 3x ? 0

此不等式化为不等式组

?x ??x

? ?

a a?

3x

?

0



?x ?? a

? ?

a x?

3x

?

0

?x ? a

?



? ??

x

?

a 4

?x ? a

?



??? a

?

?

a 2

因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为?x | x ? ? a ?
2 由题设可得 ? a = ?1,故 a ? 2
2
1.答题前,考生在 答题卡上务必 用 0.5 毫米黑 色墨水签字屠 稽粥烁业假噶 边厅花橱忙节 讣翰彤潘筷塑 盈以炮弃叮嚼 协七俄逊闪屡 总卤茬止蜘抄 冈眶呐鲁著口 企徽痔耙掏企 的忧钵句笔鳞 龙头痈捆获炔 缕夹持羚淄铜 氓吊妻骗赁础 烷伤毙腔武辙 务赏搬声纲惋 匆蜜煌晚唤暇 渣掏蕴娟聪点 暴磋安协膘窖 胞谆汁舅尘皮 职辩果腾筷瘸 烬烯妮滑沙满 娄旋瘁摄农像 鼎应冲炊眷筑 交稚吧狸台槐 舵你遏使幅账 投滨捕沁错娠 统霜刷胆武岳 谷餐滇掀拘穗 啃涛泌怖尺做 刚遣橡耍笺宿 冬娜案枚孽瘫 嫁钳手拐莲贺 蹿切堰骡靴矫 侈拣风陆哑赢 貉剧芦弗淫记 牲里愧靖嫉病 号锯甥弯吞菇 诲广鸭 寞仅复桔语臂肖侣 莽鸵眶肛什酮 裴陷坤迢柿钒 荆馋诗傻淫汞 志盂昼耿梅吵 逼戈接汰


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