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高中数学 3-1-1 倾斜角与斜率课件 新人教A版必修2


成才之路· 数学
人教A版 ·必修2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第三章
直线与方程

第三章
3.1 直线的倾斜角与斜率

第三章
3.1.1 倾斜角与斜率

课前自主预习 基础巩固训练 思路方法技巧 能力强化提升 名师辨误做答

课前自主预习

y 1.在直角三角形中,当内角α为锐角时,sinα= r ,cosα= x y r ,tanα= x ,其中x、y分别为角α的邻边、对边,r为斜边.

温故知新

2.日常生活中,我们经常用“升高量与前进量的比”表 示倾斜面的“坡度”(倾斜程度),如图,即

升高量 坡度= =tanα. 前进量

3.α为锐角时 tan(180° -α)=-tanα . 4.几个特殊角的三角函数值: 3 tan30° 3 ;tan45° 1 ;tan60° = = =

3 ;tan120° =

3 - 3 ;tan135° -1 ;tan150° - 3 . = =
5. 两 点确定一条直线.

新课引入 泰山为五岳之首,其十八盘更是有名.十八盘岩层陡 立,倾角70° ~80° ,在不足1 km的距离内升高400 m.明朝人 祁承赋《十八盘》诗:“拔地五千丈,冲霄十八盘.径从穷 处见,天向隙中观.重累行如画,孤崖峻若竿.生平饶胜 具,此日骨犹寒.”泰山之雄伟,尽在十八盘;泰山之壮 美,尽在攀登中!用数学语言怎么来描述泰山的陡峭呢?

阅读教材P82-86,回答下列问题. 1.倾斜角 当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准, x 轴正向与直线l向 上 方向之间所成的角叫做 定义 直线l的倾斜角. 规 当直线l与x轴平行或重合时,规定直线 定 的倾斜角为 0° .

记法

α

图示

范围

0° ≤α<180°

用倾斜角表示平面直角坐标系内一条 (1) 作用 (2) 直线的 倾斜程度 确定平面直角坐标系中一条直线位置 的几何要素是:直线上的一个定点以 及它的 倾斜角 ,二者缺一不可

[破疑点]理解倾斜角的概念时,要注意三个条件:①x轴 正向;②直线向上的方向;③小于180° 的非负角.

给出下列命题:①任何一条直线都有唯一的倾斜角;② 一条直线的倾斜角可以为-30° ;③倾斜角为0° 的直线只有一 条,即x轴;④按照倾斜角的概念,直线倾斜角的集合 {α|0° ≤α<180° }与直线集合建立了一一映射关系.其中正确命 题的个数是( A.1
[答案] A

) B.2 C.3 D.4

[解析] 序号 正误 ① ② ③ √ × × 理由 任何直线都有唯一的倾斜角,故①正确 倾斜角的范围是[0° ,180° ),故②错误 所有与x轴平行或重合的直线的倾斜角 都是0° ,故③错误 倾斜角相同的直线有无数条,不是一一 映射关系,故④错误



×

2.斜率(倾斜角为α) 定 义 α≠90° 一条直线的倾斜角α的正切值叫做这 条直线的斜率

α=90° 斜率不存在 记法 范围 k,即k= tanα
R

经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直 公

y2-y1 式 线的斜率公式为k= x2-x1
作 用实数反映了平面直角坐标系内的直线的 用 倾斜程度

[破疑点]①当倾斜角是90° 时,直线的斜率不存在,并不 是直线不存在,此时,直线垂直于x轴; ②所有的直线都有倾斜角,但不是所有的直线都有斜 率; ③直线的斜率也反映直线相对于x轴的正方向的倾斜程 度.当0° ≤α<90° 时,斜率越大,直线的倾斜程度就越大;当 90° <α<180° 时,斜率越大,倾斜角也越大; ④k>0?0° <α<90° ;k=0?α=0° ;k<0?90° <α<180° ;k不 存在?α=90° .

下列四个命题中,正确的命题共有(

)

①坐标平面内的任意一条直线均有倾斜角与斜率; ②直线的倾斜角的取值范围是[0° ,180° ]; ③若一条直线的斜率为tanα,则此直线的倾斜角为α; ④若一条直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tanα. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

[答案]

A

[解析] 序号 ①、④ ② ③ 正误 × × × 理由 倾斜角为 90° 时,斜率不存在,故①、④不 正确 倾斜角的范围是[0° ,180° ),故②不正确 虽然直线的斜率为 tanα,但只有当 α∈[0° , 180° )时,α 才是直线的倾斜角,故③不正确

已知直线过点A(0,4)和点B(1,2),则直线AB的斜率为 ( ) A.3 C.-2 B.2 D.不存在

[答案] C
[解析] 2-4 直线AB的斜率k= =-2. 1-0

思路方法技巧

直线的倾斜角的理解
学法指导 1.理解直线的倾斜角首先要弄清以下几个问 题: (1)倾斜角定义中含有三个条件: ①x轴正向;②直线向上的方向;③小于180° 的非负 角. (2)从运动变化的观点来看,直线的倾斜角是由x轴按逆 时针方向旋转到与直线重合时所成的角. (3)直线的倾斜角α的取值范围是:0° ≤α<180° .

2.求直线倾斜角的方法及关注点: (1)方法 定义法:根据题意画出图形,结合倾斜角的定义找倾斜 角. 分类法:根据题意把倾斜角α分为以下四类讨论: α=0° ,0° <α<90° ,α=90° ,90° <α<180° . (2)关注点 结合图形求角时,应注意平面几何知识的应用,如三角 形内角和定理及其有关推论.

[例1]

设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l绕

坐标原点按逆时针方向旋转45° ,得到直线l1,那么l1的倾斜角 为( ) A.α+45° B.α-135° C.135° -α D.当0° ≤α<135° 时,倾斜角为α+45° ;当135° ≤α<180° 时,倾斜角为α-135°
[答案] D

[分析]

画出图象辅助理解,由于条件中未指明α的范

围,所以需综合考虑α的可能取值,以使旋转后的直线的倾斜 角在[0° ,180° )内.

[解析]

根据题意,画出图形,如图所示:

因为0° ≤α<180° ,显然A,B,C未分类讨论,均不全 面,不合题意.通过画图(如图所示)可知: 当0° ≤α<135° 1的倾斜角为α+45° ,l ;

当135° ≤α<180° 时,l1的倾斜角为45° +α-180° =α- 135° . 故选D.

规律总结:求直线的倾斜角主要根据定义来求,其关键 是根据题意画出图形,找准倾斜角,有时要根据情况分类讨 论.

一条直线l与x轴相交,其向上方向与y轴正方向所成的角 为α(0° <α<90° ),则其倾斜角为( A.α C.180° -α或90° -α
[答案] D

)

B.180° -α D.90° +α或90° -α

[解析]

如图,当l向上方向的部分在y轴左侧时,倾斜角

为90° +α;当l向上方向的部分在y轴右侧时,倾斜角为90° -α. 故选D.

已知两点坐标求倾斜角和斜率
学法指导 1.对直线斜率公式的认识:

直线的斜率公式表明了直线相对于x轴正向的倾斜程 度,可通过直线上任意两点的坐标表示,比使用几何的方法 先求倾斜角,再求斜率要更简便.

2.应用斜率公式时的注意事项: (1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”,即直线不与x轴垂 直,因为当直线与x轴垂直时,斜率是不存在的; (2)斜率公式与两点P1,P2的先后顺序无关,也就是说公 式中的x1与x2,y1与y2可以同时交换位置.

特别提醒:在解决与斜率有关的问题时,要根据题目条 件对斜率是否存在做出判断,以免漏解.

[例2] 倾斜角.

求经过下列两点直线的斜率,并根据斜率指出其

(1)(-3,0),(-2, 3); (2)(1,-2),(5,-2); (3)(3,4),(-2,9); (4)(3,0),(3, 3).

[解析]

3-0 (1)直线的斜率k= = 3=tan60° , -2+3

此直线的斜率为 3,倾斜角为60° . -2+2 (2)直线的斜率k= =0,此直线的斜率为0,倾斜角 5-1 为0° . 9-4 (3)直线的斜率k= =-1=tan135° , -2-3 此直线的斜率为-1,倾斜角为135° . (4)因为两点横坐标都为3,故直线斜率不存在,倾斜角为 90° .

规律总结:已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),求倾斜角 和斜率的步骤:(1)当x1=x2时,倾斜角α=90° ,斜率不存在; y1-y2 y2-y1 (2)当x1≠x2时,先求斜率k= = ,再根据k的值确定 x1-x2 x2-x1 倾斜角α的大小.

已知坐标平面内三点A(-1,1),B(1,1),C(2, 3+1). (1)求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角. (2)若D为△ABC的边AB上一动点,求直线CD斜率k的变化 范围.

[分析]

y2-y1 (1)利用k= 及k=tanα求解; x2-x1

(2)先求出AC、BC斜率,进而求出k的范围.

[解析]

(1)由斜率公式得

1-1 3+1-1 kAB= =0.kBC= = 3. 1-?-1? 2-1 3+1-1 3 kAC= = . 3 2-?-1? 倾斜角的取值范围是0° ≤α<180° . 又∵tan0° =0, ∴直线AB的倾斜角为0° . tan60° 3, =

∴直线BC的倾斜角为60° . 3 tan30° = , 3 ∴直线AC的倾斜角为30° .

(2)如图,当斜率k变化时,直线CD绕C点旋转,当直线 CD由CA逆时针方向旋转到CB时,直线CD与AB恒有交点,即 D在线段AB上,此时k由kCA增大到kCB,所以k的取值范围为 3 [ , 3]. 3

规律总结:(1)对求斜率的两个公式注意其应用的条 件,必要时应分类讨论;(2)当直线绕定点由与x轴平行(或重 合)位置按逆时针方向旋转到与y轴平行(或重合)时,斜率由0 逐渐增大到+∞;按顺时针方向时,斜率由0逐渐减小到- ∞,这种方法即可定性分析倾斜角与斜率的关系,也可以定 量求解斜率和倾斜角的取值范围.

探索延拓创新

三点共线问题
学法指导 用斜率公式可解决三点共线问题:

[例 3]

已知某直线 l 的倾斜角 α=45° 又 P1(2,1), 2(x2,5), , y P

P3(3,1)是此直线上的三点,求 x2,y1 的值. [分析] 题中直线的倾斜角已知, 且三点在同一条直线上,

故可考虑根据点与斜率及其倾斜角之间的关系求解.

[解析]

∵α=45° ,∴直线 l 的斜率 k=tan45° =1,

又 P1,P2,P3 都在此直线上, 1-y1 1-5 故 kP1P2=kP2P3=k,即 = =1,解得 x2=7,y1 3-2 3-x2 =0.

下列各组点中,在同一直线上的是( A.(-2,3),(-7,5),(3,-5) B.(3,0),(6,-4),(-1,-3) C.(0,5),(2,1),(-1,7) D.(0,1),(3,4),(-1,-1)
[答案] C
[解析]

)

5-1 7-1 ∵ = =-2,故选 C. 0-2 -1-2

名师辨误做答

易错点 注意 90° 倾斜角 直线的斜率是指其倾斜角 α 的正切值,当 α=90° 时,其正 切值 tanα 是没有意义的,这时,我们认为直线的斜率不存在, 在解题时,切莫忽视这一点.

[例 4]

求经过 A(m,3),B(1,2)两点的直线的斜率,并指出

倾斜角 α 的取值范围. [错解] 3-2 1 由斜率公式可得直线 AB 的斜率 k= = . m-1 m-1

1 ①当 m>1 时,k= >0,所以直线的倾斜角的取值范围 m-1 是 0° <α<90° ; 1 ②当 m<1 时,k= <0,所以直线的倾斜角的取值范围 m-1 是 90° <α<180° .

[错因分析]

当问题所给的对象不能进行统一研究时,就

需要对研究对象进行分类讨论,然后对每一类分别研究,得出 每一类结果,最终解决整个问题.本题的讨论分两个层次:第 一个层次是讨论斜率是否存在;第二个层次是讨论斜率的正、 负.也可以分为 m=1,m>1,m<1 三种情况进行讨论.

[正解] α=90° .

当 m=1 时, 直线斜率不存在, 此时直线倾斜角为

3-2 1 当 m≠1 时,由斜率公式可得 k= = . m-1 m-1 1 ①当 m>1 时,k= >0,所以直线倾斜角的取值范围是 m-1 0° <α<90° . 1 ②当 m<1 时,k= <0,所以直线倾斜角的取值范围是 m-1 90° <α<180° .

基础巩固训练

1.如下图,直线l的倾斜角为(

)

A.45° C.0°
[答案] B

B.135° D.不存在

2.已知直线l的倾斜角α=30° ,则其斜率k的值为( A.0 C.1 3 B. 3 D. 3

)

[答案]

B
3 k=tanα=tan30° 3 . =

[解析]

3.已知P1(3,5),P2(-1,-3),则直线P1P2的斜率k等于 ( ) A.2 B.1 1 C. 2 D.不存在

[答案]

A
-3-5 k= =2. -1-3

[解析]

4.下列各组中的三点共线的是( A.(1,4),(-1,2),(3,5) B.(-2,-5),(7,6),(-5,3) 1 C.(1,0),(0,-3),(7,2) D.(0,0),(2,4),(-1,3)
[答案] [解析] C

)

利用斜率相等判断可知C正确.

3 5.斜率的绝对值为 的直线的倾斜角为________. 3

[答案]

30° 或150°

6.已知直线l经过A(5,-3)、B(4,y)、C(-1,9)三点,则 l的斜率为________,y=________.

[答案]

-2;-1

[解析]

9-?-3? 12 kl=kAC= = =-2. -1-5 -6

又A、B、C三点共线,∴kAC=kBC, y-9 即 =-2.∴y=-1. 4-?-1?

7.已知点P(-

3 ,1),点Q在y轴上,若直线PQ的倾斜

角为120° ,则点Q的坐标为________.

[答案]

(0,-2)

[解析]

y-1 设Q(0,y),tan120° = 0+ 3

∴y=-2

∴Q点的坐标为(0,-2).

8. 如图所示, 直线 l1 的倾斜角 α1=30° 直线 l1 与 l2 垂直, , 求 l1、l2 的斜率.

[解析]

3 直线 l1 的斜率 k1=tanα1=tan30° = . 3

∵直线 l2 的倾斜角 α2=90° +30° =120° , ∴直线 l2 的斜率 k2=tan120° =tan(180° -60° )=-tan60° = - 3.

规律总结:充分挖掘题目中条件的相互联系,是正确解 题的前提条件.


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