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北方交大附中2013届高三数学文科周测试题(师2012.11.27)


北方交大附中 2013 届高三数学文科周测试题(师)
时间 90 分钟 命题:邓向阳 审题:李运秋 2012.11.27 一、选择题 1.已知两条直线 y ? ax ? 2 和 y ? (a ? 2) x ? 1 互相垂直,则 a 等于 (A)2 (B)1 (C)0 (D) ?1

解析:两条直线 y ? ax ? 2 和 y ? (a ? 2) x ? 1 互相垂直,则 a(a ? 2) ? ?1 ,∴ a=-1,选 D. 2.(2009 年广东卷文)给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行;
.

④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中正确的命题为( D ) A.②③ B. ①④ C. ①③ D. ②④

3.设 l , m, n 表示三条不同的直线, ? , ? , ? 表示三个不同的平面,现给出下列六个命题: ①

l // n ? l // ? ? n // ? ? ? ? l // m ; ② ? ? l // m ;③ ? ? ? // ? ; m // n ? m // ? ? m // ? ?



? // ? ? l // n ? l // ? ? ? ? l // ? ;⑥ ? ? l // ? ? ? ? // ? ;⑤ ? // n? ? // ? ? ? // ? ?
C. ①⑤⑥ D.④⑤⑥

其中正确的命题为( B ) A.①②③ B. ①④

? x ? y ? 5 ≥ ?, ? 4. (2007 北京)若不等式组 ? y ≥ a, 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范 ?0 ≤ x ≤ 2 ?
围是( )A. a ? 5 B. a ≥ 7 C. 5 ≤ a ? 7 D. a ? 5 或 a ≥ 7

5. 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( B ) A. 28 ? 6 5 B. 30 ? 6 5 C. 56 ? 12 5 D. 60 ? 12 5

6.在同一个坐标系中画出函数 y ? a x , y ? sin ax 的部分图象,其中 a ? 0且a ? 1 ,则下列 所给图象中可能正确的是 ( D )
y y

1

1
1
2?

O

x

O

1

2?

x

y

A

y

B

1

1
1
2?

O

x

O

1

2?

x

C

D

7. (湖北卷)已知平面区域 D 由以 A(1,3), B(5, 2), C(3,1) 为顶点的三角形内部&边界组成。 若在区域 D 上有无穷多个点 ( x, y ) 可使目标函数 z=x+my 取得最小值,则 m ? A.-2 B.-1 C.1 D.4

解:依题意,令 z=0,可得直线 x+my=0 的斜率为-

1 ,结合可行域可知当直线 x+my m

=0 与直线 AC 平行时,线段 AC 上的任意一点都可使目标函数 z=x+my 取得最小值,而 直线 AC 的斜率为-1,所以 m=1,选 C 8.如图 2,定点 A 和 B 都在平面 ? 内,定点 P ? ?, PB ? ?, C 是 ? 内异于 A 和 B 的动点。且 PC ? AC ,那么动点 C 在平面 ? 内的轨迹是( B ) A. 一条线段,但要去掉两个点 B. 一个圆,但要去掉两个点 C. 一个椭圆,但要去掉两个点 D. 半圆,但要去掉两个点

简析:因为 AC ? PC ,且 PC 在 ? 内的射影为 BC,所以 AC ? BC ,即 ?ACB ? 90? 。 所以点 C 的轨迹是以 AB 为直径的圆且去掉 A、B 两点,故选 B。

二、填空题 9.直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 的倾斜角是_______________ 。 10.若三点 A(4,4) ,B(a,0) ,C(0,b) (ab ? 0)共线,则,

1 1 ? 的值等于 ________ a b

?x ? y ? 4 ? 11. (2006 北京卷) 已知点 P( x, y) 的坐标满足条件 ? y ? x , 点 O 为坐标原点, 那么 | PO | ? x ?1 ?
的最小值等于_______,最大值等于____________.

y 的值域 x

y

B A

12.过点(1, 2)的直线 l 将圆(x-2)2+y2=4 分成两段弧, 劣弧所对的圆心角最小时,直线 l 的斜率 k= . 解析 (数形结合 )由图形可知点 A (1, 2) 在圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 的

C O x



内 部 , 圆 心 为 O(2,0) 要 使 得 劣 弧 所 对 的 圆 心 角 最 小 , 只 能 是 直 线 l ? O A, 所 以

kl ? ?

1 1 2 ?? ? kOA 2 ? 2

13. 设 ? , ? 为 两 个 不 同 的 平 面 , 直 线 l ? ? , 则 “ l ? ? ” 是 “ ? ? ? ” 成 立 的 _______________ 。充分不必要条件

14. (全国卷 I)从圆 x ? 2x ? y ? 2 y ? 1 ? 0 外一点 P ?3,2? 向这个圆作两条切线,则两切
2 2

线夹角的余弦值为 _______________ 。
2 2

3 5

解析:圆 x ? 2x ? y ? 2 y ? 1 ? 0 的圆心为 M(1,1),半径为 1,从外一点 P(3, 2) 向这个 圆作两条切线,则点 P 到圆心 M 的距离等于 5 ,每条切线与 PM 的夹角的正切值等于

1 , 2

1 2 ? 4 ,该角的余弦值等于 3 。 所以两切线夹角的正切值为 tan ? ? 1 3 5 1? 4 2?
三、解答题: 15.在平面直角坐标系 xoy 中,以 ox 轴为始边做两个锐角 ? , ? ,它们的终边分别与单位圆

相交于 A,B 两点,已知 A,B 的横坐标分别为

2 2 5 , . 10 5

(Ⅰ)求 tan( ? ? ? )的值; (Ⅱ)求 ? ? 2 ? 的值.

【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式. 由条件的 cos ? ?

2 2 5 7 2 5 ,因为 ? , ? 为锐角,所以 sin ? = ,cos ? ? ,sin ? ? 10 5 10 5
1 2
———————— 6 分

因此 tan ? ? 7, tan ? ? (Ⅰ)tan( ? ? ? )=

tan ? ? tan ? ? ?3 ———————10 分 1 ? tan ? tan ?

(Ⅱ) tan 2 ? ?

2 tan ? 4 tan ? ? tan 2? ? ,所以 tan ?? ? 2? ? ? ? ?1 ———14 分 2 1 ? tan ? 3 1 ? tan ? tan 2?
3? 3? ,∴ ? ? 2 ? = 2 4
———16 分

∵ ? , ? 为锐角,∴ 0 ? ? ? 2 ? ?

16. (本小题共 14 分)

0) , AB 边所在直 如图,矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M (2,
, 在 AD 边所在直线上. 线的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 点 T (?11)
(I)求 AD 边所在直线的方程; (II)求矩形 ABCD 外接圆的方程; 解: (I) 因为 AB 边所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 , 且 AD 与 AB 垂直,所以直线 AD 的斜率为 ?3 .

y

T D O N
A

C
M B

x

, 在直线 AD 上, 又因为点 T (?11)
所以 AD 边所在直线的方程为 y ? 1 ? ?3( x ? 1) .

3x ? y ? 2 ? 0 .
(II)由 ?

———8 分

? x ? 3 y ? 6 ? 0, ? 2) , 解得点 A 的坐标为 (0, ?3x ? y ? 2 = 0

0) . 因为矩形 ABCD 两条对角线的交点为 M (2,
所以 M 为矩形 ABCD 外接圆的圆心. 又 AM ?

(2 ? 0) 2 ? (0 ? 2) 2 ? 2 2 .
2 2

从而矩形 ABCD 外接圆的方程为 ( x ? 2) ? y ? 8 . ———16 分 17. (本小题满分 13 分)

设函数 f ( x) ?

1 3 sin x ? cos x , x ? R . 2 2

(I)求函数 f ( x) 的周期和值域;

(II)记 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 f ( A) ? 求角 C 的值. 解: (I)? f ( x) ?

3 3 , 且a ? b, 2 2

? 1 3 sin x ? cos x ? sin( x ? ) , 3 2 2

............................... 4 分 ................................6 分

? f ( x) 的周期为 2? (或答: 2k? , k ? Z , k ? 0 ).
因为 x ? R ,所以 x ?

?
3

?R ,
..............................8 分

所以 f ( x) 值域为 [ ?1,1] . (II)由(I)可知, f ( A) ? sin( A ?

?
3

) ,

..............................9 分

? s i nA (?

?
3

)?

3 , 2
4? 3

...............................10 分

?0 ? A ? ? ,

?

?
3

3 ? 2? ?A? ? , 3 3

? A?

?

?

,

.................................11 分

得到 A ?

?
3

.

..............................12 分

?a ?

a b 3 ? b, 且 sin A sin B 2

,

....................................13 分

3 b b 2 ? ? , sin B 3 2
?0 ? B ? ? ,

? sin B ? 1 ,

....................................14 分

?B ?

?
2

.

....................................15 分 ....................................16 分

?C ? ? ? A ? B ?

?
6

.

18. (本小题 14 分)

如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,D,E 分别是 AC,AB 上的中点, 点 F 为线段 CD 上的一点.将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1F⊥CD,如图 2. (1)求证:DE∥平面 A1CB; (5 分) (2)求证:A1F⊥BE; (5 分) (3)线段 A1B 上是否存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ?说明理由. (6 分)

【答案】

19.如图,经过 B(1, 2) 作两条互相垂直的直线 l1 和 l2 , l1 交 y 轴正半轴于点 A , l2 交 x 轴 正半轴于点 C . (1)若 A(0,1) ,求点 C 的坐标; (6 分) (2)试问是否总存在经过 O,A,B,C 四点的圆?若存在,求出半径最小的圆的方程; 若不存在,请说明理由. (16 分)

参考答案: (1)由直线 l1 经过两点 A(0,1) , B(1, 2) ,得 l1 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 . 由直线 l2 ? l1 ,且直线 l2 经过点 B ,得 l2 的方程为 x ? y ? 3 ? 0 . 所以,点 C 的坐标为 (3, 0) . (2)因为 AB ? BC , OA ? OC ,所以总存在经过 O,A,B,C 四点的圆,且该 圆以 AC 为直径.

① 若 l1 ? y 轴,则 l2 // y 轴,此时四边形 OABC 为矩形, | AC | ? 5 . ② 若 l1 与 y 轴不垂直,则两条直线斜率都存在.不妨设直线 l1 的斜率为 k , 则直线 l2 的斜率为 ?

1 . k

所以直线 l1 的方程为 y ? 2 ? k ( x ? 1) ,从而 A(0, 2 ? k ) ; 直线 l2 的方程为 y ? 2 ? ? 令?

1 ( x ? 1) ,从而 C (2k ? 1,0) . k

?2 ? k ? 0, ? 1 ? ? 1 ? 解得 k ? ? ? , 2 ? , 注意到 k ? 0 , 所以 k ? ? ? , 0 ? ? (0, 2) . ? 2 ? ? 2 ? ?2k ? 1 ? 0,
2 2 2 2

此时 | AC | ? (2 ? k ) ? (2k ? 1) ? 5k ? 5 ? 5 , | AC | ? 5 ,

所以半径的最小值为

5 . 2
2

1? 5 ? 此时圆的方程为 ? x ? ? ? ( y ? 1)2 ? . 2? 4 ?



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