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2015高考理科数学《直线的倾斜角与斜率、直线的方程》练习题


2015 高考理科数学《直线的倾斜角与斜率、直线的方程》练习题
[A 组 一、选择题 1.直线 xsin α +y+2=0 的倾斜角的取值范围是( A.[0,π ) π? ? C.?0, ? 4? ? ) 基础演练·能力提升]

π ? ?3π ? ? ,π ? B.?0, ?∪? 4? ? 4 ? ? π ? ?π ? ? D.?0, ?∪? ,π ? 4? ?2 ? ?

解析:设直线的倾斜角为 θ ,则有 tan θ =-sin α ,其中 sin α ∈[-1,1],又 θ ∈[0,π ), π 3π 所以 0≤θ ≤ 或 ≤θ <π . 4 4 答案:B 3 2.已知 直线 l 经过点 P(-2,5),且斜率为- ,则直线 l 的方程为( 4 A.3x+4y-14=0 C.4x+3y-14=0 3 解析:由点斜式知 y-5=- (x+2), 4 即 3x+4y-14=0. 答案:A 3.(2014 年泰安一模)过点 A(2,3)且垂直于直线 2x+y-5=0 的直线方程为( A.x-2y+4=0 C.x-2y+3=0 B.2x+y-7=0 D.x-2y+5=0 ) B.3x-4y+14=0 D.4x-3y+14=0 )

解析:由题意可设所求直线方程为:x-2y+m=0,将 A(2,3)代入上式得 2-2×3+m=0, 即 m=4,所以所求直线方程为 x-2y+4=0. 答案:A 4.“a=0”是“直线 l1:(a+1)x+a2y-3=0 与直线 l2:2x+ay-2a-1=0 平行”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析:当 a=0 时, l1:x-3=0,l2:2x-1=0,此时 l1∥l2, 所以“a=0”是“直线 l1 与 l2 平行”的充分条件;
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当 l1∥l2 时,a(a+1)-2a =0,解得 a=0 或 a=1. 当 a=1 时,l1:2x+y-3=0,l2:2x+y-3=0, 此时 l1 与 l2 重合,所以 a=1 不满足题意,即 a=0. 所以“a=0”是“直线 l1∥l2”的必要条件. 答案:C 5.若直线 l:y=kx- 3与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限,则直线的倾斜角的取值范 围是( ) ?π π ? B.? , ? 2? ?6 ?π π ? D.? , ? 2? ?6

2

?π π ? A.? , ? ?6 3? ?π π ? C.? , ? ?3 2? 解析:∵直线 l 恒过定点(0,- 3). 作出两直线的图象,如图所示,

?π π ? ∴从图中看出,直线 l 的倾斜角的取值范围应为? , ?. 2? ?6 答案:B 6.在同一平面直角坐标系中,直线 l1:ax+y+b=0 和直线 l2:b x+y+a=0 有可能是( )

解析:l1:y=-ax-b,l2:y=-bx-a. 可知 l1 的斜率是 l2 的纵截距,l1 的纵截距是 l2 的斜率.在选项 A 中,l1 的纵截距为正,而 l2 的 斜率为负,不合题意,排除选项 A.同理可排除选项 C、D,故选 B. 答案:B 二、填空题 ?π π ? ?2π ? ,π ? , 7. 若直线 l 的斜率为 k, 倾斜角为 α , 而 α ∈? , ?∪? 则 k 的取值范围是__ ______. 4? ? 3 ?6 ?
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?π π ? 解析:当 α ∈? , ?时, 4? ?6

k=tan α ∈?

? 3 ? ,1?; ?3 ?

?2π ? ,π ? 时,k=tan α ∈[- 3,0). 当 α ∈? ? 3 ? ? 3 ? 综上 k∈[- 3,0)∪? ,1?. ?3 ? ? 3 ? 答案:[- 3,0)∪? ,1? ?3 ? 8.一条直线经过点 A(-2,2),并且与两 坐标轴围成的三角形的面积为 1,则此直线的方程为 ________. 解析:设直线方程为 + =1,则由题意知, -2 2 + =1.①

x y a b

a

b

1 又 |a|·|b|=1, 2 ∴|a|·|b|=2.② ?a=2 由①②可解得? ?b=1 ?a=-1 或? ?b=-2 .

∴所求直线方程为 +y=1 或 x+ =-1. 2 2 即 x+2y-2=0 或 2x+y+2=0 答案:x+2y-2=0 或 2x+y+2=0 9. (2014 年皖南八校联考)已知直线 a2x+y+2=0 与直线 bx-(a2+1)y-1=0 互相垂直, 则|ab| 的最小值为________. 解析:∵两直线互相垂 直, ∴a2b-(a2+1)=0 且 a≠0, ∴a2b=a2+1, ∴ab=

x

y

a2+1 1 =a+ , a a
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1? 1 ? ∴|ab|=?a+ ?=|a|+ ≥2(当且仅当 a=±1 时取等号). a? |a| ? 答案:2 三、解答题 10.求适合下列条件的直线方程: (1)经过点 P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等; 1 (2)过点 A(-1, -3),斜率是直线 y=3x 的斜率的- ; 4 (3)过点 A(1,-1)与已知直线 l1:2x+y-6=0 相交于 B 点且|AB|=5. 解析:(1)设直线 l 在 x、y 轴上的截距均为 a, 若 a=0,即 l 过点(0,0)和(3,2), 2 ∴l 的方程为 y= x, 3 即 2x-3y=0. 若 a≠0,则设 l 的方程为 + =1, 3 2 ∵l 过点(3,2),∴ + =1,

x y a a

a a

∴a=5,∴l 的方程为 x+y-5=0, 综上可知,所求直线的方程为 2x-3y=0 或 x+y-5=0. (2)设所求直线的斜率为 k,依题意

k=- ×3=- .
又直线经过点 A(-1,-3), 3 因此所求直线方程为 y+3=- (x+1), 4 即 3x+4y+15=0. (3)由题意,可设点 B(x,-2x+6), 则|AB|=

1 4

3 4

x-

2



-2x+6+

2

=5,

解得 x=1 或 x=5. 故点 B(1,4)或 B(5,-4).
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当点 B 坐标为(1,4)时, 直线 AB 的方程为 x=1; 当点 B 坐标为(5,-4)时, 直线 AB 的方程为 3x+4y+1=0. 故所求直线的方程为 x=1 或 3x+4y+1=0. 11.已知两点 A(-1,2),B(m,3). (1)求直线 AB 的方程; ? ? 3 (2)已知实数 m∈?- -1, 3-1?,求直线 AB 的倾斜角 α 的取值范围. ? 3 ? 解析:(1)当 m=-1 时, 直线 AB 的方程为 x=-1, 当 m≠-1 时, 直线 AB 的方程为 y-2= 1 (x+1). m+1

即 x-(m+1)y+2m+3=0. (2)①当 m=-1 时,α = ②当 m≠-1 时, π ; 2

m+1∈?-
? ∴k=

?

3 ? ,0?∪( 0, 3], 3 ?

1 ∈(-∞,- 3) m+1

? 3 ? ∪? ,+∞?, ?3 ? ?π π ? ?π 2π ? ∴α ∈? , ?∪? , ?. 2? ?2 3 ? ?6 综合①②知, ?π 2π ? 直线 AB 的倾斜角 α ∈? , ?. 3 ? ?6 12.(能力提升)为了绿化城市,拟在矩形区域 ABCD 内建一个矩形草坪(如图所示),另外△EFA 内 部有一文物保护区不能占用,经测量|AB|=100 m,|BC|=80 m,|AE|=30 m,|AF|=20 m,应如何 设计才能使草坪面积最大?
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解析:如图所示,建立平面直角坐标系,则 E(30,0)、F(0,20),

∴EF 的方程为 + =1(0≤x≤ 30). 30 20 易知当矩形草坪的一个顶点在 EF 上时,可取最大值, 在线段 EF 上取点 P(m,n), 作 P Q⊥BC 于点 Q,

x

y

PR⊥CD 于点 R,设矩形 PQCR 的面积为 S,
则 S=|PQ|·|PR|=(100-m)(80-n). 又 + =1(0≤m≤30), 30 20

m

n

2 ∴n=20- m. 3 2 ∴ S=(100-m)(80-20+ m) 3 2 18 050 =- (m-5)2+ (0≤m≤30). 3 3 ∴当 m=5 时,S 取最大值,这时 |EP| =5∶1. |PF|

所以当矩形草坪的两边在 BC、CD 上,一个顶点在线段 EF 上,且这个顶点分有向线段 EF 成 5∶1 时,草坪面积最大. [B 组 因材施教·备选练习]

1.(201 4 年山师大附中模拟)函数 y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny 1 1 -1=0(mn>0)上,则 + 的最小值为_______ _.

m n

解析:∵函数 y=a1-x(a>0,a≠1)的图象过定点 A(1,1). ∴把 A(1,1)代入直线方程得 m+n=1.(mn>0)

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1 1 ?1 1? n m ∴ + =? + ?·(m+n)=2+ + ≥4.(当且仅当 m=n 时取等号). m n ?m n? m n 1 1 ∴ + 的最小值为 4.

m n

答案:4 2.(2014 年银川联考)已知直线 x+2y=2 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点,若动点 P(a,b) 在线段 AB 上,则 ab 的最大值为________. 解析: 由题意知 A(2,0), B(0,1), 所以线段 AB 的方程可表示为 +y=1, x∈[0,2], 又动点 P(a, 2

x

a a b)在线段 AB 上,所以 +b=1,a∈[0,2],又 +b≥2
2 2 1? a 1 1 ? 仅当 =b= ,即 P?1, ?时,ab 取得最大值 . 2? 2 2 2 ? 答案: 1 2

ab
2

,所以 1≥2

ab

1 ,解得 0≤ab≤ ,当且 2 2

======*以上是由明师教育编辑整理======

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