当前位置:首页 >> 数学 >>

变化率问题与导数的概念学案

变化率问题与导数的概念学案
【学习重点】平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率;导数的概念。 【学习难点】平均变化率的概念、导数的概念。 【自主﹒合作﹒探究】 问题 1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的 半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? (1)当 V 从 0 增加到 1 时,气球半径增加了 r (1) ? r (0) ? 0.62(dm) 气球的平均膨胀率为

r (1) ? r (0) ? 0.62(dm / L) 1? 0

(2)当 V 从 1 增加到 2 时,气球半径增加了 r (2) ? r (1) ? 0.16(dm) 气球的平均膨胀率为

r (2) ? r (1) ? 0.16(dm / L) 2 ?1

思考:当空气容量从 V1 增加到 V2 时,气球的平 均膨胀率是多少?

问 题 2 高台跳水 在高台跳 水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位:m)与起跳后的时间 t(单位:s) 存在函数关系 h(t)= -4.9t +6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速 v 度 粗略地描
2

述其运动状态? 思考计算: 在 0 ? t ? 0.5 这段时间里, v =

h(0.5) ? r (0) ? 4.05(m / s ) 0.5 ? 0

在 1 ? t ? 2 这段时间里, v = 三、平均变化率概念:

h(2) ? r (1) ? ?8.2(m / s ) 2 ?1

1. 上述问题中的变化率可用式子 率

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 表示, 称为函数 f(x)从 x1 到 x 2 的平均变化 x2 ? x1

2.若 设 ?x ? x2 ? x1 , ?f ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) (这里 ?x 看作是对于 x1 的一个“增量”可用

x1+ ?x 代替 x2,同样 ?f ? ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) )
则平 均变化率为

f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) ?y ?f ? ? ? ?x ?x x2 ? x1 ?x

探究 1:观察函数 f(x)的图象平均变化率

?f f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 表 ?x x2 ? x1
意 义是什么? 直线的斜率

示的几何

探究 2:计算运动员在

0?t?

65 这段 时间里的平均速度,并思考以下问题: 49

⑴运动员在这段时间内使静止的吗?否 ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 不能刻画在某一 时刻的速度 3.瞬时速度 定义:物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。 思考(课本 P5 观察) :当 ?t 趋近于 0 时,平均速度 v 有什么样的变化趋势?

4.导数的概念 函数 y=f(x) 在 x=x0 处的瞬时变化率是: lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim ?x ? 0 ?x ?x ?0 ?x

我们称它为函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 出的导数,记作 f ' ( x0 ) 或 y' |x? x0 ,即

f ? ? x0 ? ? lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
?y ? ?x

三.典例分析 例 1. 已知函数 f(x)= ? x ? x 的图象上的两点 A(?1, ? 2) B(?1 ? ?x , ? 2 ? ?y) ,则
2

例 2.求函数 f(x)= ? x ? x 在 x ? ?1 附近的平均变化率,并求出在该点处的导数.
2

2 例 3.已知函数 f ? x ? ? ax ? c ,且 f ? ?1? ? 2 ,求 a 的值

小结:利用导数的定义求导,步骤为: 一差二比三极限


更多相关标签: