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2012-2013厦门外国语学校高二下学期半期考试卷数学


厦门外国语学校
2011~2012 学年(下)高二期中考试数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1. a 为正实数, i 为虚数单位, a ? i ? 2 ,则 a ? A. 2 B. 3 C. 2 D.1 ( )

2. 设 a ? 0, b ? 0, 则以下不等式中不恒成立 的是 .... A. (a ? b)(

1 1 ? ) ? 4; a b
2

B. a 3 ? b 3 ? 2ab2 ; D. | a ? b | ?

C. a 2 ? b 2 ? 2 ? 2a ? 2b ; 3.设 f ( x ) ? ?

a? b

?x , x ? [?1,1], ?2 ? x , x ? [1,2],
B.

,则

?

2

?1

f (x )dx ?
C.

A.

3 4

4 5

5 6

D.

7 6

4.4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门,则恰有 2 人选修课程甲的不同选法有 A.12 种 B. 24 种 C.30 种 D. 36 种

? 1 ? ? 的展开式中各项系数之和为 128,则展开式中 13 的系数是 5. 如果 ? 3x ? x ? ? 3 x2 ? ?
(A)7 (B)-7 (C)21 (D)-21 6.已知点列如下:P1(1,1) ,P2(1,2) ,P3(2,1) ,P4(1,3) ,P5(2,2) ,P6(3,1) ,P7 (1,4) ,P8(2,3) ,P9(3,2) ,P10(4,1) ,P11(1,5) ,P12(2,4) ,??,则 P60 的坐 标为 A. (3,8) B. (4,7) C. (4,8) D. (5,7) 1 1 1 ? ? ... ? 7.已知 f (n) ? ,则 f (k ? 1) 等于 n ?1 n ? 2 3n ? 1 1 1 A. f (k ) ? B. f (k ) ? 3k ? 2 3(k ? 1) ? 1 C. f (k ) ?
83

n

1 1 1 1 ? ? ? 3k ? 2 3k ? 3 3k ? 4 k ? 1

D. f (k ) ?

1 1 ? 3k ? 4 k ? 1

8. 8 ? 6 被 49 除所得的余数是 A.0 B.14 C. ? 14 D.35

| 3 |x | 9 .若函数 f ( x) 满足条件:当 x1 , x2 ? [?1,1] 时,有 | f ( x1 )? f ( x2 ) ? 1? x 2 成立,则称

f ( x) ?? .对于函数 g ( x) ? x3 , h( x) ?
(A) g ( x) ?? 且 h( x) ?? (C) g ( x) ?? 且 h( x) ??

1 ,有 x?2

(B) g ( x) ?? 且 h( x) ?? (D) g ( x) ?? 且 h( x) ??

10.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (4) ? 1 . f ?( x) 为 f ( x) 的 导函数,已知函数 y ? f ?( x) 的图象如右图所示.若两正数 a, b 满足 f (2a ? b) ? 1 ,则

y

1 1 A. ( , ) 3 2

b?2 的取值范围是 a?2 1 1 B. (??, ) ? ? 3, ?? ? C. ( , 3) 2 2

D. (??, ?3)

O

x

二、填空题(共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11.将 5 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的 个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有 . (用数字作答) 12.由曲线 y ?

x 2 ? 2 与 y ? 3x , x ? 0 , x ? 2 所围成的平面图形的面积为



13. 仔细观察下面 4 个数字所表示的图形:

请问:数字 100 所代表的图形有

个小方格. .

14.已知函数 f ( x) ? 3 4 ? x ? 4 x ? 3 ,则函数 f ( x) 的最大值为

1 1 15.若 | x ? a | ? ≥ 对一切 x>0 恒成立,则 a 的取值范围是___ . 2 x 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

16. (1)(6 分)已知复数 z ?

(1 ? i)2 ? 3(1 ? i) 2 ,若 z ? az ? b ? 1 ? i(a,b ? R) ,求 a ? b 的值. 2?i 1 1 1 (2) (6 分)若正数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 1,求 的最小值。 ? ? 3a ? 2 3b ? 2 3c ? 2

17. (本小题满分 12 分) (1)由数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有 多少个?(直接列式,并用数字作答) ( 2 )某高校从某系的 10 名优秀毕业生中选 4 人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设, 其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案?(直接列式,并用数字作答) (3)在 ( x ? 2 )
2006

的二项展开式中,含 x 的奇次幂的项之和为 S,当 x= 2 时,求 S 的值;

18. (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a | ; (Ⅰ)若 a ? ?1 ,解不等式 f ( x) ? 3 ;zzzxxxxxxkkk (Ⅱ)如果关于 x 的不等式 f ( x) ? 2 有解,求 a 的取值范围.

19. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ?

(I)证明:函数 f ( x) 在区间(1, ? ? )上是减函数; (II)解关于 x 的不等式

x?b 为奇函数。 1? x2

f (1 ? 2 x 2 ) ? f (? x 2 ? 2 x ? 4) ? 0 。

20. (本小题满分 14 分) 甲乙两人连续 6 年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查,提供了两个方面的信息, 分别得到甲、乙两图:

甲调查表明:每个鱼池平均产量从第 1 年 1 万只鳗鱼上升到第 6 年 2 万只。 乙调查表明:全县鱼池总个数由第 1 年 30 个减少到第 6 年 10 个。 请你根据提供的信息说明: (Ⅰ)第 2 年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数。 (Ⅱ)到第 6 年这个县的鳗鱼养殖业的规模(即总产量)比第 1 年扩大了还是缩小了?说明理由。 (Ⅲ)哪一年的规模(即总产量)最大?说明理由。

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 图像上一点 M (1, m) 处的切线方程为 y ? 2 ? 0 , 其中 a, b, c 为
3 2

常数. (Ⅰ)函数 f ( x) 是否存在单调减区间?若存在,则求出单调减区间(用 a 表示) ; (Ⅱ)若 x ? 1 不是函数 f ( x) 的极值点,求证:函数 f ( x) 的图像关于点 M 对称.

2011~201 2 学年(下)高二期中考试数学试卷 一、选择题 BBDBC DCACC 二、填空题 11. C5C4 ? C5 C3 ? C5 C2 ? 25
1 4 2 3 3 2

2012-4-27

参考答案:

12.1

13.20201

14.5 16. a ≤2

三、16.(1) z ?

2i? 3 ? 3i 3 ? i ? ? 1 ? i ,―――――2 分 2?i 2?i

? (1 ? i)2 ? a(1 ? i) ? b ? 1 ? i ,――――――4 分

(a ? b) ? (?2 ? a)i ? 1 ? i ,?a ? b ? 1 .―――6 分
(2)?正数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 1 ? (3a ? 2) ? (3b ? 2) ? (3c ? 2) ? 9

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? [(3a ? 2) ? (3b ? 2) ? (3c ? 2)] ? ( ? ? ) 3a ? 2 3b ? 2 3c ? 2 9 3a ? 2 3b ? 2 3c ? 2


1 1 1 1 ( 3a ? 2 ? ? 3b ? 2 ? ? 3c ? 2 ? ) 2 =1 9 3a ? 2 3b ? 2 3c ? 2

当且仅当 a ? b ? c ?

?原式的最小值为 1.
5 1 1

1 时取“=”号 3
3 1 1 3 1 1 3 1 1

17. (1) A5 ? A4 A3 A3 ? A3 A3 A3 ? A2 A3 A3 ? A3 A3 =300
5 5 A5 另解: ? 300 2

?合并总计 300 个, ????????4 分
4 3 3 2

(2)共有不同的派遣方法总数为 A8 ? 3 A8 ? 3 A8 ? 7 A8 ? 4088 种????????8 分 (3)设(x- 2 )2006=a0x2006+a1x2005+?+a2005x+a2006 则当 x= 2 时,有 a0( 2 )2006+a1( 2 )2005+?+a2005( 2 )+a2006=0 (1) 当 x=- 2 时,有 a0( 2 )2006-a1( 2 )2005+?-a2005( 2 )+a2006=23009 (2) (1)-(2)有 a1( 2 )2005+?+a2005( 2 )=-23009?2=-23008 ????????12 分


18.解(Ⅰ)当 a ? ?1时, f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1. 由 f ( x) ? 3 ,得 , x ? 1 ? x ? 1 ? 3. ① 当 x ? ?1 时,不等式化 为 1 ? x ? 1 ? x ? 3, 即 x ? ? . 所以,原不等式的解为 x ? ? . 1 分 ② 当 ? 1 ? x ? 1 时,不等式化为 1 ? x ? 1 ? x ? 3, 即 2 ? 3. 所以,原不等式无解. ????2 分 ③ 当 x ? 1时,不等式化为 ? 1 ? x ? 1 ? x ? 3, 即 x ?

3 2

3 2

3 3 . 所以,原不等式的解为 x ? . ??3 分 2 2

综上,原不等式的解为 ? ? ?,? ? ? ? ,?? ?. ????????4 分 2 2

? ?

3? ?

?3 ?

? ?

(Ⅱ)因为关于 x 的不等式 f ( x) ? 2 有解,所以, f ( x) min ? 2. ??????5 分 因为 x ? 1 ? x ? a 表示数轴上的点到 x ? 1与 x ? a 两点的距离之和, 所以, f ( x) min ? a ? 1. ????????6 分

? a ? 1 ? 2,
解得, ? 1 ? a ? 3. 所以, a 的取值范围为 ?? 1,3?. ??????????7 分 19 解: (I)?函数 f ( x) ?

? f (0) ? 0,即b ? 0, x ? f ( x) ? 2 . x ?1 ( x 2 ? 1) ? x· 2x 1? x2 ? ? f ( x) ? ? 2 . ( x 2 ? 1) 2 ( x ? 1) 2 ?函数 f ( x) 在区间(1, ? ? )上是减函数。 ????????7 分 2 2 (II)由 f (1 ? 2 x ) ? f (? x ? 2 x ? 4) ? 0, 得
f (1 ? 2 x 2 ) ? ? f (? x 2 ? 2 x ? 4).

x?b 为定义在 R 上的奇函数, 1? x2

? f ( x) 是奇函数,? f (1 ? 2 x 2 ) ? f ( x 2 ? 2 x ? 4).
又?1 ? 2 x ? 1 , x ? 2 x ? 4 ? ( x ? 1) ? 3 ? 1 ,且 f ( x) 在 [1, ??) 上为减函数,
2 2 2

?1 ? 2 x 2 ? x 2 ? 2 x ? 4 , 即x 2 ? 2 x ? 3 ? 0, 解得 ? 3 ? x ? 1. ?不等式 f (1 ? 2 x 2 ) ? f (? x 2 ? 2 x ? 4) ? 0 的解集是 ?x | ?3 ? x ? 1? ????????14 分
20 解:由题意可知,图甲图象经过(1,1)和(6,2)两点, 从而求得其解析式为 y 甲=0.2x+0.8-----------------------(2 分) 图乙图象经过(1,30)和(6,10)两点, 从而求得其解析式为 y 乙=-4x+34.------------------------- (4 分) (Ⅰ)当 x=2 时,y 甲=0.2×2+0.8 =1.2,y 乙= -4×2+34=26,

y 甲·y 乙=1.2×26=31.2.
所以第 2 年鱼池有 26 个,全县出产的鳗鱼总数为 31.2 万只.------------ ---(6 分) (Ⅱ)第 1 年出产鱼 1×30=30(万只), 第 6 年出产鱼 2×10=20(万只),可见,第 6 年这个县 的鳗鱼养殖业规划比第 1 年缩小了----------------------------------(8 分) (Ⅲ)设当第 m 年时的规模总出产量为 n, 那么 n=y 甲· y 乙=(0.2m+0.8) (-4m+34)= -0. 8m +3.6m+27.2 =-0.8(m2-4.5m-34)=-0.8(m-2.25)2+31.25---------------------------(11 分) 因此, .当 m=2 时,n 最大值=31.2. 即当第 2 年时,鳗鱼养殖业的规模最大,最大产量为 31.2 万只. --------------(14 分)
2

21.解: (Ⅰ) f ( x) ? x ? ax ? bx ? c , f ?( x) ? 3x ? 2ax ? b ,
3 2 2

?????1 分

由题意,知 m ? 2 , f (1) ? 1 ? a ? b ? c ? 2, f ?(1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 , 即 b ? ?2a ? 3, c ? a ? 4. ????????2 分

f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? (2a ? 3) ? 3( x ? 1)( x ? 1 ?
2

2a ). 3

???????3 分

① 当 a ? ?3 时, f ?( x) ? 3( x ? 1) ? 0 ,函数 f ( x) 在区间 (??,??) 上单调增加, 不存在单调减区间; ② 当 a ? ?3 时, ? 1 ? ????????5 分

2a ? 1 ,有 3
2a ) 3
(?1 ? 2a ,1) 3

x
f ?( x) f ( x)

(??,?1 ?

(1,??)

+
?

?

+
?
?????7 分

2a ? ? ?当 a ? ?3 时,函数 f ( x) 存在单调减区间,为 ?? 1 ? ,1?; 3 ? ?
③ 当 a ? ?3 时, ? 1 ?

2a ? 1 ,有 3
(1,?1 ? 2a ) 3

x
f ?( x)
f ( x)

( ??, 1)

(?1 ?

2a ,??) 3

+
?

?

+
?
????9 分

2a ? ? ?当 a ? ?3 时,函数 f ( x) 存在单调减区间,为 ?1,?1 ? ?; 3? ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:若 x ? 1 不是函数 f ( x) 的极值点,则 a ? ?3 ,

b ? 3, c ? 1, f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 3x ? 1 ? ( x ? 1)3 ?2.

???????10 分

3 设点 P( x0 , y0 ) 是函数 f ( x) 的图像上任意一点,则 y0 ? f ( x0 ) ? ( x0 ? 1) ? 2 ,

点 P( x0 , y0 ) 关于点 M (1,2) 的对称点为 Q(2 ? x0 ,4 ? y0 ) ,

? f (2 ? x0 ) ? (2 ? x0 ? 1)3 ? 2 ? ?( x0 ? 1)3 ? 2 ? 2 ? y0 ? 2 ? 4 ? y0 ,

? f (2 ? x0 ) ? (2 ? x0 ) 3 ? 3(2 ? x0 ) 2 ? 3(2 ? x0 ) ? 1
(或
2 ? 8 ? 12 x0 ? 6 x0 ? x0 ? 12 ? 12 x0 ? 3x0 ? 6 ? 3x0 ? 1 2 2 ? ? x0 ? 3x0 ? 3x0 ? 3 ? 4 ? ( x0 ? 3x0 ? 3x0 ? 1) ? 4 ? y 0 3 3 3 2



?点 Q(2 ? x0 ,4 ? y0 ) 在函数 f ( x) 的图像上.
由点 P 的任意性知函数 f ( x) 的图像关于点 M 对称. ???????14 分


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