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辽宁省实验中学分校2015-2016学年高二数学上学期期中试题 理


辽宁省实验中学分校 2015—2016 学年度高二上学期期中考试 数学(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1.设命题 p : ?x ? R, x2 ? 1 ? 0 ,则 ? p 为
2 A. ?x0 ? R, x0 ?1 ? 0 2 C. ?x0 ? R, x0 ?1 ? 0 2 B. ?x0 ? R, x0 ?1 ? 0





D. ?x ? R, x2 ? 1 ? 0
( C. 2 5 D. 2( 3 ? 2 ) ( ) )

2.椭圆 2 x 2 ? 3 y 2 ? 6 的焦距是 A.2 B. 2( 3 ? 2 )

3. 在等比数 列 ?an ? 中, 若 a3a6 ? 9, a2 a4 a5 ? 27 , 则 a2 的值为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 9

4. 设 F1 和 F2 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的两个焦点, 若 F1,F2 ,P(0, 2b) 是正三角形的三个顶 a2 b2
) C.

点,则双曲线的离心率为( A.

3 2

B. 2

5 2

D. 3 ( )

5.在正项等比数列 ?an ? 中 3a1 , A. 3或 -1 6. 已知双曲线 B. 9或1

1 a ? a2017 a3 , 2a2 成等差数列,则 2016 等于 2 a2014 ? a2015
C. 1 D. 9

x2 y2 F2 , ? ? 1(b ? 0) 的左、 右焦点分别是 F1 、 其一条渐近线方程为 y ? x , 点 P( 3, y0 ) 2 b2
( )

在双曲线上.则 PF 1 ? PF 2 =

0 A. ? 12 B. ? 2 C. D. 4 7. 下 列 命 题 错 误 ( ) ①“在三角形 ABC 中,若 sin A ? sin B ,则 A ? B ”的逆命题是真命题;
②命题 p : x ? 2 或 y ? 3 ,命题 q : x ? y ? 5 则 p 是 q 的必要不充分条件;







③命题若 a ? b ? 0 ,则 a , b 都是 0 的否命题是若 a ? b ? 0 ,则 a , b 都不是 0 。
2 2 2 2

A.0

B.1

C.2
2 2

D.3

8. 设 F1 、 F2 分别为双曲线

x y ? 2 ? 1(a>0, b>0) 的左、右焦点。若在双曲线右支上存在点 P ,满足 2 a b ( ) PF2 ? F1 F2 ,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为
1

A. 3 x ? 4 y ? 0

B. 3x ? 5 y ? 0

C. 4 x ? 3 y ? 0

D. 5 x ? 4 y ? 0 ( )

9. 在数列 {an } 中, a1 ? 3 , an ?1 ? an ? ln(1 ? ) ,则 an ? A. 3 ? ln n B. 3 ? (n ? 1) ln n C. 3 ? n ln n D. 1 ? n ? ln n

1 n

10.若等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn 满足 S17 ? 0, S18 ? 0 ,则

S S1 S2 , ,..., 17 中最大的项 a1 a2 a17





A.

S6 a6

B.

S7 a7

C.

S8 a8

D.

S9 a9
( )

2 ? ?n , (n为奇数) 11.已知函数 f (n) ? ? , an ? f (n)+f (n ? 1) ,则 a1 ? a2 ? a ? 3 ? ... ? a 2 0 1 4 2 ? ?? n , (n为偶数)

A. ?2013
2 2

B. ?2014

C. 2013

D. 2014

x y ? 2 ? 1 ?a > b > 0? 与直线 x ? y ? 1 交于 P 、 Q 两点, 且 OP ? OQ , 其中 O 为坐标原点. 椭 2 a b 3 2 圆的离心率 e 满足 ≤e≤ ,则椭圆长轴的取值范围是 ( ) 3 2
12.椭圆 A. [

3 ,1] 2

B. [ 3,2]

C. [

5 6 , ] 2 2

D. [ 5, 6 ]

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
2 13.已知命题 p : ?x ? [0,3] , a ? ? x ? 2 x ?

2 ,命题 q : ?x ? R, x2 ? 4 x ? a ? 0 ,若命题“ p ? q ”是 3

真命题,则实数 a 的范围为_______

_。

14.等差数列 {an },{bn } 的前 n 项和分别为 S n , Tn ,且

S n 3n ? 1 a ? ,则 9 ? _______ b10 Tn 2n ? 3

_。

15.将数列 ?an ? 按如图所示的规律排成一个三角形表,并同时满足以下两个条件:

a1 a2 a5
?? ①各行的第一个数 a1 , a2 , a5 构成公差为 d 的等差数列; ②从第二行起,每行各数按从左到右的顺序构成公比为 q 的等比数列. 若 a1 ? 1, a3 ? 4, a5 ? 3 ,则第 n 行的和 Tn ? ________ 。

a3 a6

a4 a7 a8 a9

2

16. 设 F1 , F2 分别是椭圆

x2 y2 a2 b x ? > > 的左、 右焦点, 若在直线 上存在点 P , 使线段 PF1 ? ? 1 ? ? a 0 c a2 b2


的中垂线过点 F2 ,则椭圆离心率 e 的取值范围是________

三、解答题(共 6 小题,共 70 分;要求写出必要的文字说明,解题过程和演算步骤) 17.(本小题满 分 10 分)设命题 p :实数 x 满足 x2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 ,其中 a ? 0 ;命题 q :实数 x 满足

x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 ,若 ? p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分)(1)求与双曲线

x2 y2 ? ? 1 有相同焦点,且经过点 3 2, 2 的双曲线的标准方程. 16 4

?

?

(2)已知双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的两条渐近线均和圆 C : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 相切,且双曲线 2 a b

的右焦点为圆 C 的圆心,求该双曲线的方程。

19.(本小题满分 12 分)定义:称

n 为 n 个正数 p1 ? p2 ? ... ? pn 的“均倒数”.已知数列 p1 ? p2 ? ... ? pn

?an ?的前 n 项的“均倒数”为
(1)求 ?an ? 的通项公式; (2)设 cn ?

1 , n?2

an ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn . 3n

3

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y2 6 ? 2 =1(a>b>0)的离心率 e ? ,过点 A(0,-b)和 B(a,0) 2 a b 3

的直线与原点的距离为

3 . 2

(1)求椭圆的方程. (2)已知定点 E(-1,0) ,若直线 y=kx+2(k≠0)与椭圆交于 C、D 两点.问:是 否存在 k 的值,使以 CD 为直径的圆过 E 点?请说明理由.

21.(本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 a 1 , n ?1 ? ? 0, n ? N * . 2 an ?1 ? 1 an ? 1

(1)求证:数列 {

1 } 是等差数列; an ? 1

(2)设 bn ?

3 an ?1 ? 1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项之和为 Sn ,求证: S n ? 。 4 an

22.(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xoy 中,点 N 与点 M (?1,1) 关于原点 O 对称, P 是动点,且直 线 MP 与 NP 的斜率之积等于 ? (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设直线 MP 和 NP 与直线 x ? 3 分 别交于 A, B 两点,问:是否存在点 P 使得 ?PMN 与 ?PAB 的面 积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由。

1 。 3

4

辽宁省实验中学分校 2015—2016 学年度上学期期中考试 数学学科(理科)参考答案 一、选择题 B A B B D 二、填空题 13、 [ , 4] 三、解答题 17、答案: a ? 3或0<a ? C B C A D D D

1 3

14、

52 41

15、 Tn ? n(22n?1 ?1)

16、?

? 3 ? ,1? ?3 ?

3 2

x2 y2 ? ? 1?? 4 ? ? ? 16? 18、解:(1)设所求双曲线方程为: 16 ? ? 4 ? ?
∵双曲线过点 3 2, 2 ,∴

?

?

∴ ? ? 4 或 ? ? ?14 (舍) ∴所求双曲线方程为

18 4 ? ?1 16 ? ? 4 ? ?

x2 y2 ? ?1 12 8

x2 y2 ? ?1 5 4 ( 2)
19、答案: (1) an ? 2n ? 1; (2) S n = 2 -

n +2 3n

20、解: (1)直线 AB 方程为:bx-ay-ab=0.

?c 6 , ? ? 3 ?a 依题意 ? 3 ? ab ? 2 2 ? 2 ? a ?b
∴ 椭圆方程为

解得

?a ? 3 , ? ?b ? 1

x2 ? y2 ? 1 . 3

(2 )假 若存在这样的 k 值,由 ? ∴

? y ? kx ? 2, ?x ? 3 y ? 3 ? 0
2 2

2 得 (1 ? 3k ) x ? 12kx ? 9 ? 0 .
2

? ? (12k )2 ? 36(1 ? 3k 2 ) ? 0 .


5

12k ? x1 ? x2 ? ? , ? ? 1 ? 3k 2 设 C ( x1 , y1 ) 、 D( x2 , y 2 ) ,则 ? ?x ? x ? 9 1 2 ? 1 ? 3k 2 ?
而 y1 ? y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k 2 x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 . 要 使 以 CD 为 直 径 的 圆 过 点 E ( -1 , 0 ) , 当 且 仅 当 CE ⊥ DE 时 , 则



y1 ? y2 ? ?1 , 即 x1 ? 1 x2 ? 1

y1 y2 ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? 0 .


(k 2 ? 1) x1 x2 ? 2(k ? 1)(x1 ? x2 ) ? 5 ? 0 .
将②式代入③整理解得 k ? 综上可知,存在 k ?



7 7 .经验证, k ? ,使①成立. 6 6

7 ,使得以 CD 为直径的圆过点 E. 6

21、答案: (1)略; (2 ) 1? 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? 1?1 1 ? Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2? 3? 2? 2 4? 2?3 5? 2 ? n ?1 n ? 1 ? 2 ? n n ? 2 ?

1? 1 1 1 ? 1 ? 1? 3 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? 2 ? 2 n ?1 n ? 2 ? 2 ? 2 ? 4
22、解: (Ⅰ) ∵点 与

故不等式 S n ?

3 成立 4


关于原点

对称,∴点



,∵直线



的斜率之积等于



∴ ∴动点

,化简得 的轨迹方程为 .



(Ⅱ)法一:设存在点 ∴ ∵

,使得

与 ,

的面积相等,


6











,解得











∴满足条件的点 P 为

.

法二:设





,解得











,又点

到直线

的距离













,解得











∴满足条件的点 P 为

.

7


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