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专题07 分类讨论思想在分段函数中的应用 备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板 Word版 含解析

【高考地位】 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法,它在人类的思维发展中起着重要的作用. 分类讨论思想实 际上是一种化整为零、化繁为简、分别对待、各个击破的思维策略在数学解题中的运用. 主要涉及分段函 数的求值、单调性和含参数的函数的单调性和最值问题.分类讨论思想,可培养逻辑思维能力和抽象思维能 力和严密的思考问题的能力。 【方法点评】 类型一 分段函数 使用情景:分段函数 解题模板:第一步 第二步 第三步 例 1 函数 f ( x) ? ? A. 1 【答案】C B. 通过观察分析,决定如何对自变量进行分类; 通过运算、变形,利用常见基本初等函数,将问题转化为几段加以求解; 得出结论. ?log2 x, 2 x?0 ? x ? 4 x ? 1, x ? 0 17 ? 5 16 ,若实数 a 满足 f ( f (a)) =1,则实数 a 的所有取值的和为( ) C. ? 15 ? 5 16 D. ? 2 考点:1.函数的表示;2.函数与方程;3.分类讨论思想. 【点评】本题考查了分段函数的求值问题,以学生熟悉的对数函数和二次函数为载体,渗透了分类讨论的 思想,考查了学生基本运算能力和分类思想的培养. ? x ? 2, x ? ?1 ? 【变式演练 1】在函数 y ? ? x 2 , ? 1 ? x ? 2 中,若 f ( x) ? 1 ,则 x 的值是( ? 2 x, x ? 2 ? A. 1 【答案】C 【解析】 B. 1或 ) 3 2 C. ?1 D. 3 x ? 2 ? 1 ? x ? ?1 ; 2x ? 1 ? x ? x2 ? 1 ? x ? 1 ; 试题解析: 当 x ? ?1 时, 当 ?1 ? x ? 2 时, 当 x ? 2 时, (舍). 考点:本题考查函数性质 例2 ( 已知函数 f ? x ? ? ? ) B. ? ??,1? ? ? 2, ?? ? C. ?1, 2? D. ? ??,1? ? ? 2, ?? ? 1 2 2 ? ? x , x ? ? 0, ?? ? 在区间 ? ??, ?? ? 上是增函数,则常数 a 的取值范围是 3 2 x ? a ? 3 a ? 2, x ? ?? , 0 ? ? ? ? A. ?1, 2 ? 【答案】C 考点:1.分段函数;2.函数的单调性. 点评:本题考查了分段函数的单调性,渗透着分类讨论的数学思想,考查学生正确理解函数的单调性的概 念,其解题的关键点有二:其一是分段函数在每一个区间上的增函数(或减函数) ;其二是满足函数在整个 区间上是增函数 (或减函数) , 即左段的函数的最大值 (或最小值) 小于等于右段函数的最小值 (或最大值) . 【变式演练 2】函数 f ? x ? ? ? ?? x 2 ? 4 x , x ? 4 ,若函数 y ? f ?x ? 在区间( a , a +1)上单调递增,则实数 x?4 ?log 2 x , a 的取值范围是( ) A.(- ? ,1 ] 【答案】D 【解析】 B.[1, 4] C. [ 4, + ? ) D.(- ? ,1 ] ∪[4, + ? ) 4 ,即实数 a 试题分析:由题意可知,函数 f ? x ? 在 ? ??,2? ,? 4, ??? 上为单调递增,所以有 a ? 1? 2 或 a… 的取值范围为 ? ??,1? ? ?4, ??? .故正确答案为 D 考点:分段函数单调性的应用. 例3 ?( x ? a) 2 , x ? 0, ? 若 f (0) 是 f ( x) 的最小值,则 a 的取值范围为( f ( x) ? ? 1 ? x ? ? a, x ? 0, x ? (B)[-1,0] (C)[1,2] (D) [0, 2] ). (A)[-1,2] 【答案】D 【解析】 由于当 x ? 0 时,f ( x) ? x ? 1 ? a 在 x ? 1 时取得最小值 2 ? a , 由题意当 x ? 0 时,f ( x) ? ( x ? a)2 x 2 应该是递减的,则 a ? 0 ,此时最小值为 f (0) ? a2 ,因此 a ? a ? 2 ,解得 0 ? a ? 2 ,选 D. 考点:分段函数的单调性与最值问题. 2 ? ? x ? ? 3, x ? 1 【变式演练 3】已知函数 f ( x) ? ? ,则 f ( f (?3)) ? x 2 ?lg( x ? 1), x ? 1 ? 【答案】 0 , 2 2 - 3 . , f ( x ) 的最小值是 . 考点:分段函数 类型二 含参数函数的最值问题 使用情景:含参函数在区间上的最值问题 解题模板:第一步 第二步 第三步 通过观察函数的特征,分析参数的位置在什么位置; 通过讨论含参函数的单调性和已知区间之间的关系进行分类讨论; 根据含参函数的图像与性质可判断函数在区间上的单调性,并根据函数的单调性求出 其最值; 第四步 得出结论. 例 4 已知函数 y ? f ( x) 是二次函数,且满足 f (0) ? 3 , f (?1) ? f (3) ? 0 (1)求 y ? f ( x) 的解析式; (2)若 x ?[t , t ? 2] ,试将 y ? f ( x) 的最大值表示成关于 t 的函数 g (t ) . ??t 2 ? 2t ? 3(t ? ?1) ? 【答案】 (1) f ( x) ? ? x2 ? 2 x ? 3 ; (2) g (t ) ? ?4 (?1 ? t ? 1) . ??t 2 ? 2t ? 3(t ? 1) ? 考点:二次函数的解析式,二次函数的最值. 【名师点睛】 (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动, 不论哪种类型,解决的关键是考查对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行 分类讨论; (2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象

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