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选修2-3--1.3.1-二项式定理_图文

1.3.1 二项式定理

有 n 个口袋,每个口袋都同样装有一红一黑两 个小球,现依次从这些口袋中各取出一个小球,共
n 有_____ 2 种不同的取法;其中,

0 “无黑” (全红) 的取法有_____ n 种; ( n 红 0黑) 1 ( n-1 红 1黑) “恰有1个黑球”的取法有_____ n 种; 2 “恰有2个黑球”的取法有_____ n 种; ( n-2 红 2黑) r “恰有r 个黑球”(r≤n) 的取法有____ ( n-r 红 r黑) n 种; n ( 0 红 n 黑) “全是黑球”的取法有_____ n 种.

C C C

C

C

“取球”的不同结果共有_________ 个. n+1

C ? C ? C ? ?? C ? ?? C ? 2
0 n 1 n 2 n r n n n

n

(a1+b1) (a2+b2) … (a n+ b n)展开式共有________ 2 项. n+1 项. (a+b)n = (a+b) (a+b) … (a+b) 展开式共有________
n个

n

an , an-1 b , an-2 b2 , … , an-r b r , … , a b n-1 , b n
展开式中a
n 的系数是_______.

0 Cn

展开式中a
展开式中a 展开式中a 展开式中 b

1 的系数是_______. n 2 n-2b2 的系数是_______. n r n-r b r 的系数是_______. n
n-1b

C C C

展开式中a b

n ?1 n-1 的系数是_______. n

C
n n

n 的系数是_______.

C

二项式 (a+b) 的正整数次幂 (a+b)n ( n∈N* ) 的展开式称
为 (a+b)n 的二项展开式. 那么,二项展开式有什么规律吗?

(a ? b) 2 ? (a ? b)(a ? b) ? a 2 ? 2ab ? b 2
0 2 1 2 2 ? C2 a ? C2 ab ? C 2 b

(a ? b) 3 ? (a ? b)( a ? b)( a ? b) ? a ? 3a b ? 3ab ? b
3 2 2 3

? C a ? C a b ? C ab ? C b
0 3 3 1 3 2 2 3 2 3 3

3

(a ? b) 4 ? (a ? b)(a ? b)(a ? b)(a ? b)

? a 4 ? 4a 3 b ? 6a 2 b 2 ? 4ab 3 ? b 4 0 4 1 3 2 2 2 3 4 4 ? C4 a ? C4 a b ? C4 a b ? C4 ab 3 ? C 4 b
(a ? b) n ? (a ? b)(a ? b)?(a ? b) ? ?
n个

(a+b)n = (a+b) (a+b) … (a+b) 展开式共有________ n+1 项.
n个

an , an-1 b , an-2 b2 , … , an-r b r , … , a b n-1 , b n
展开式中a 展开式中a
n 的系数是_______

0 Cn

展开式中a
展开式中a

1 的系数是_______ n 2 n-2b2 的系数是_______ n r n-r b r 的系数是_______ n
n-1b

C C C

展开式中a b 展开式中 b

n-1 的系数是_______ n

C n?1
n n

n 的系数是_______

C

0 n 1 n ?1 2 n?2 2 (a ? b) n ? C n a ? Cn a b ? Cn a b ?? r n?r r n ?1 n n ? Cn a b ? ? ? Cn ab n?1 ? C n b (n ? N * )

(a ? b) ? C a ? C a b ? C ab ? C b
3 0 3 3 1 3 2 2 3 2 3 3

3

(a ? b) ? (a ? b)(a ? b)
4
0 3 3 0 3 4 0 3

3
1 3 2 2 3 2 3 3 3

? (a ? b)(C a ? C a b ? C ab ? C b ) ? C a ? (C ? C )a b ? (C ? C )a b
1 3 3 1 3 2 3 2 2

? (C ? C )ab ? C b
2 3 3 3 3 3 3

4

? C a ? C a b ? C a b ? C ab ? C b
0 4 4 1 4 3 2 4 2 2 3 4 3 4 4

4

一. 二项式定理

(a ? b) ? C a ? C a
n 0 n n 1 n

n ?1

b?C a
2 n n ?1 n

n?2 n ?1

b ??
2

?C a
r n

n?r

b ??? C
r

ab

? C b (n ? N )
n n n *

* 这个公式所表示的定理叫做二项式定理,右边的多 项式叫做 (a +b)n 的二项展开式, 其中的系数 二项式系数, 展开式中的

C

C a

r n

n?r

r 叫做 n

b

r

叫做二项式的

通项,用 Tr ?1 表示,即通项公式
r n?r r Tr ?1 ? C n a b (r=0,1,2,…,n) 表示展开式的第 r +1 项.

注意:(1)公式中的a、b 可以是单项式,也可以是多项式 .
(2)公式中a、b 的顺序不能颠倒.

0 n 1 n ?1 2 n?2 2 (a ? b) n ? C n a ? Cn a b ? Cn a b ??

?C a
r n

n?r

b ? ? ? C ab
r r n

n ?1

? C b (n ? N )
n n n *

二 . 二项展开式的性质 (1)项数: 展开式共有 n +1项.
0 1 2 r n ,Cn ,Cn ,?, C n , ?C n . (2)系数: 依次为组合数 C n

(称为二项式系数)

注意:展开式中某一项的系数和该项二项式系数是 不同的概念. (3)指数: a 的指数从n 起依次减 1直到 0,b的指数 从0 起依次增 1直到 n ,每项中 a、b 的指 数和为n .

0 n 1 n ?1 2 n?2 2 (a ? b) n ? C n a ? Cn a b ? Cn a b ?? r n?r r n n      ? Cn a b ? ? ? Cn b (n ? N* )

如果用–b 替换公式中的b ,则得到公式:

(a ? b) ? C a ? C a
n
0 n n 1 n

n ?1

b?C a
2 n r

n?2

b ??
2 n n n n

? ( ?1) C a
r r n

n?r

b ? ? ? ( ?1) C b

如果设 a =1 b =x , 则得到公式:
0 1 2 2 r r n n C ? C x ? C x ? ? ? C x ? ? ? C (1 ? x ) ? n n n n nx

n

如果令a =b =1 呢?

C ? C ? C ? ?? C ? ?? C ? 2
0 n 1 n 2 n r n n n

n

1 4 例 1. 写出 (1 ? ) 的展开式 x 1 4 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 解: (1 ? ) = 1 ? C 4 ( ) ? C 4 ( ) ? C 4 ( ) ? C 4 ( ) x x x x x 4 6 4 1 = 1? ? 2 ? 3 ? 4 x x x x

例 2. 求 ( x ? a ) 的展开式的倒数第 4 项.
12

解: ( x ? a )12 的展开式共有 13 项,所以倒数第4 项 是它的第10 项.
9 T9?1 ? C 12 x 12?9 ( ?a ) 9

? ?C x a
3 12 3 3

9 9

? ?220 x a

练习1 . 求 (a ? 2b) 的展开式 0 5 1 4 2 3 解:  (a ? 2b) 5 ? C 5 a ? C5 a ? 2b ? C 5 a ? ( 2b) 2
5
3 2 4 5 ? C5 a ( 2b) 3 ? C 5 a( 2b) 4 ? C 5 ( 2b) 5

? a 5 ? 10a 4 b ? 40a 3 b 2 ? 80a 2 b 3 ? 80ab 4 ? 32b 5

练习 2. ( x ? 1)10 的展开式的第6 项的系数是 (D ) ( A) C
6 10

(B) ? C

6 10

(C)C

5 10

(D) ? C

5 10

-160a3b3 第 4 项的 练习 3. ( 2a-b ) 6 展开式的第4 项是 _________, 20 , 第 4 项的系数是________ -160 二项式系数是____ .

 T4 ? T3?1 ? C ( 2a )
3 6

6- 3

( ?b)

3

? 20(8a 3) ( ?b 3 ) ? ?160a 3 b 3

1 12 例 3. 求(2 x ? ) 的展开式中的常数项 . x 解:设展开式的第 r+1 项为常数项,则
2

Tr ?1

1 r r 12? r 24? 3 r ? C (2 x ) ( ) ? C 12 ? 2 x x
r 12 2 12? r

令 24 -3r=0, 解得 r=8 , 即第 9 项是常数项.

T9 ? C ? 2 ? 7920
8 12 4

2 8 例 4. ( x ? 2 ) 的展开式中有没有含x 4 的项, x 若有,写出该项;若没 有,说明理由 .

一. 二项式定理
0 n 1 n ?1 2 n?2 2 (a ? b) n ? C n a ? Cn a b ? Cn a b ?? r n?r r n ?1 n n ? Cn a b ? ? ? Cn ab n?1 ? C n b (n ? N * )

这个公式所表示的定理叫做 二项式定理,右边的多项式
r 叫做 (a+b)n 的二项展开式. C n 叫做二项式系数.

r n?r r 展开式第r ? 1项为 Tr ?1 ? C n a b ( r ? 0, 1, 2, ? , n)

注意:(1)公式中的a、b 可以是单项式,也可以是多项式 .
(2)公式中a、b 的顺序不能颠倒. 二 . 二项展开式的性质

(1)项数:展开式共有 n +1项. 0 1 2 r n (二项式系数) (2)系数:依次为组合数 C n ,C n ,C n ,? , C n ,?C n .
展开式中某一项的系数和二项式系数是不同的概念. (3)指数: a 的指数从n 起依次减 1直到 0,b的指数从0 起依次 增 1直到 n ,每项中 a、b 的指数和为n .

0 n 1 n ?1 2 n?2 2 (a ? b) n ? C n a ? Cn a b ? Cn a b ?? r n?r r n n      ? Cn a b ? ? ? Cn b (n ? N* )

(a ? b) ? C a ? C a b ? C a b ? ? r r n?r r n n n ? ( ?1) C n a b ? ? ? ( ?1) C n b
n
0 n n 1 n 2 n 2

n ?1

n?2

(1 ? x ) ? C ? C x ? C x ? ? ? C x ? ? ? C x
n
0 n 1 n 2 n 2 r n r n n

n

2 8 例 4. ( x ? 2 ) 的展开式中有没有含x 4 的项, x 若有,写出该项;若没 有,说明理由 .

Tr ?1 ? C x
r 8

8? r

2 r r ( ? 2 ) ? ( ?1) r C 8 ? 2 r x 8?3 r x

8-3r=4无整数解

2 8 1 3 8 或 ( x ? 2 ) ? 16 ( x ? 2) x x ( x 3 ? 2) 8 展开式的通项为
r r 24? 3 r T' ? C8 ( x 3 ) 8?r ( ?2) r ? ( ?2) r C 8 x

24-3r-16=4无整数解

1 6 求 ( 3 x ? 4 ) 展开式的第4项的二项式系数 ,并求第 4项的系数. 2x
3

解: T4 ? T3?1

1 3 3 3 3 ?3 135 ? C ( 3 x ) ( - 4 ) ? (- ) C 6 x ? ? 3 2 2x 2x
3 6 3 6- 3

135 所以第4 项的系数为 - , 二项式系数为 20. 2


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