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高中数学必修5第2章数列单元试题


数学必修 5 第 2 章数列单元试题
一.选择题 1.数列 1,3,6,10,…的一个通项公式是( )

n(n ? 1) n(n ? 1) 2 2 (A)an=n -(n-1) (B)an=n -1 (C)an= (D)an= 2 2 2.已知数列 3 ,3, 15 ,…, 3(2n ?1) ,那么 9 是数列的( )
(A)第 12 项 (B)第 13 项 (C)第 14 项 (D)第 15 项 3.已知等差数列{an}的公差 d≠0,若 a5、a9、a15 成等比数列,那么公比为 ( A. B. C. D. ) )

4.等差数列{an}共有 2n+1 项,其中奇数项之和为 4,偶数项之和为 3,则 n 的值是( A.3 B.5 C.7 D.9 5.在数列

?a ?中, a ? 1 , a ? (?1) 2 a (n ? 2) ,则 a ? (
n
n

1

3

n

n ?1

5

)

A.

?

16 3
n

B. 16

3
1 4

C. ? 8

D. 8

3
2

3
5 8 3 6 9

6.在等差数列 A. 30 7.设 A. 1
n

?a ?中, a ? a ? a ? 39 , a ? a ? a ? 33 则 a ? a ? a ? (
7

)

B. 27

C. 24

D. 21 )

?a ?是递增等差数列,前三项的和是 12,前三项的积为 48,则它的首项是(
B. 2 C. 4 D. 6

8.两个等差数列,它们的前 n 项和之比为 A.

5 3

B.

8 5

5n ? 3 ,则这两个数列的第 9 项之比是( ) 2n ? 1 8 7 C. D. 3 4

9. 设等比数列{an}中,每项均为正数,且 a3·a8=81,log3a1+log3a2+…+log3a10 等于 A.5 B.10 C.20 D.40 10.设函数 f(x)满足 f(n+1)= A.95 二、填空题: B.97

2 f (n) ? n * (n∈N )且 f(1)=2,则 f(20)为( 2
C.105 D.192



11、数列 ?an ? 中,a1=5,an+1-an=3 则这个数列的通项公式是



12.在-9 和 3 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数组成和为-21 的等差数列,则 n=_______. 13.在数列{an}中,a1=1,an+1=

2a n 2 * (n∈N ) ,则 是这个数列的第_____项. an ? 2 7
块.

14.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案:则第 n 个图案中有白色地面砖

三、解答题: 15.(1)已知数列 {an } 是一个等差数列, a2 ? 1 , a5 ? ?5 ,求 {an } 前 n 项和 Sn 的最大值. (2)一个等比数列 ?an ? 中, a1 ? a4 ? 133 a2 ? a3 ? 70 ,求这个数列的通项公式。 , 16.设二次方程 an x2 ? an?1 x ? 1 ? 0(n ? N * ) 有二个实根 ? 和 ? ,且满足 6? ? 2?? ? 6? ? 3 。 (1)试用 an 来表示 an ?1 ; (2)求证: ? an ? ? 是等比数列; (3)当 a1 ?

? ?

2? 3?

7 时,求数列的通项公式。 6

17.函数 f ( x) ? loga x ( a为常数且 ? 0, a ? 1 ) ,数列 f ( x1 ), f ( x2 ), ? f ( xn ),?是公差为 2 的等差数列, a 且 x1 ? a 2 .(Ⅰ)求数列 {xn } 的通项公式; (Ⅱ)当 a ?

1 1 时,求证: x1 ? x 2 ? ? ? x n ? . 2 3
1 1 . (1)求证:{ }是等差数列; Sn 2
2

18.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2Sn·Sn-1=0(n≥2) a1= , (2)求 an 表达式;
2 2

(3)若 bn=2(1-n)an(n≥2) ,求证:b2 +b3 +…+bn <1.
n 2

补充题: 16. 数列 ?an ? 中,当 n 为奇数时, an ? 5n ? 1,当 n 为偶数时, an = 2 ,若数列 ?an ? 共有 2m (m ? N )
项。求这个数列的前 2m 项的和 S 2 m 。 解:该数列为:6,2,16,4,26,8,……,6+(m-1)×10,2 , 1 2 3 S 2m =[6+16+26+……+6+(m-1)×10]+[ 2 +2 +2 +……+2 2 m+1 =5m +m+2 -2。
m m

]

18.设数列 ?an ? 的前项 n 和为 S n ,若对于任意的正整数 n 都有 S n ? 2an ? 3n . (1)设 bn ? an ? 3 ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列,并求出 ?an ? 的通项公式。 (2)求数列 ?nan ? 的前 n 项和.

答案

1—5 CCCAB

6—10 BBCCB

1 ? ? f ( 2) ? f (1) ? 2 ? 1 ? ? f (3) ? f ( 2) ? 1 ? 2 n ? 10.【解析】f(n+1)-f(n)= ? ? 2 2 ? ? ? ? ? f ( 20) ? f (19) ? 1 ? 19 ? 2 ?
相加得 f(20)-f(1)= 11.

1 (1+2+…+19) ? f(20)=95+f(1)=97. 2 (n ? 2)( ?9 ? 3) 12.【解析】-21= ,∴n=5. 2
1 a n ?1
=

13.【解析】由已知得

1 1 1 1 1 + ,∴{ }是以 =1 为首项,公差 d= 的等差数列. an 2 an a1 2



1 1 2 2 =1+(n-1) ,∴an= = ,∴n=6. an 2 n ?1 7
4n+2 15.解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d ,由已知条件, ?

14.

?a1 ? d ? 1 , a1 ? 4d ? ?5 ?

解出 a1 ? 3 , d ? ?2 . 所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? ?2n ? 5 .

Sn ? na1 ?

n(n ? 1) d ? ?n 2 ? 4n ? 4 ? (n ? 2)2 . 所以 n ? 2 时, Sn 取到最大值 4 . 2

? 1 ?aq3 ?1 3 a 3 ? 1 2 5 ? q? 或 ? 1 ?qq2 ?7 aq 1 0 5 2, (2) ? 两式相除得
1 1 16.(1) an ?1 ? an ? 2 3

可求得

a ? 2 或 8, 1 15
an ?1 ?
故其为等比数列。

2 1 2 (2)? an ?1 ? ? (an ? ) 3 2 3

2 3 ?1 于是有 2 ( an ? ) 2 3

(3) an ? ?

?1? 2 ? ? ?2? 3

n

17.解: (Ⅰ)? f ( x1 ) ? loga a2 ? 2

d ?2

? f ( xn ) ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n
1 ?1? (Ⅱ)当 a ? 时, x n ? ? ? 2 ? 4?
n

即: loga xn ? 2n
n

xn ? a 2n

1 ?1? 1 ?? ? ? n 4 ? 4? 4 1 ? ?1? ? 1 x1 ? x 2 ? ? ? x n ? ? ?1 ? ? ? ? ? 1 3 ? ? 4? ? 3 ? ? 1? 4

18.考查数列求和及分析解决问题的能力. 【解】 (1)∵-an=2SnSn-1,∴-Sn+Sn-1=2SnSn-1(n≥2)

Sn≠0,∴

1 1 1 1 1 - =2,又 = =2,∴{ }是以 2 为首项,公差为 2 的等差数列. Sn S n ?1 S 1 a1 Sn 1 1 =2+(n-1)2=2n,∴Sn= Sn 2n
当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=-

(2)由(1)

1 2n( n ? 1)

?1 (n ? 1) ?2 1 ? n=1 时,a1=S1= ,∴an= ? 1 2 ?(n ? 2) ? 2n(n - 1) ?
(3)由(2)知 bn=2(1-n)an= ∴b2 +b3 +…+bn =
2 2 2

1 n

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + 2 +…+ 2 < + +…+ =(1- )+( - )+…+( - )=1- <1. 2 (n ? 1)n n 1? 2 2 ? 3 2 2 3 n n ?1 n 2 3


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