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高中数学必修5 用构造法求数列的通项公式


用构造法求数列的通项公式
在高中数学教材中,有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算可以 求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式。但实际上有些数列并不是等差、等比数 列,给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式。而这些题目往往可以用构造 法,根据递推公式构造出一个新数列,从而间接地求出原数列的通项公式。对于不同 的递推公式,我们当然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列。下面给出几种 我们常见的构造新数列的方法: 一.利用倒数关系构造数列。 例如: 数列 {an } 中,若 a1 ? 2,
1 , 则bn?1 ? bn +4, an 1 1 ? ? 4(n ? N ), 求 an an?1 a n

练习:已知正数数列{ an }中, a1 ? 2, an ? 2 an?1 (n ? 2, n ? N ) , 求数列{ an }的通项公式。 三.构造形如 bn ? lg an 的数列。 例:正数数列{ an }中,若 a1=10,且 lg a n ? 解:由题意得:
1 lg a n ?1 , (n ? 2, n ? N ), 求 an. 2

lg an 1 ? , ? 可设bn ? lg an , lg an?1 2



bn 1 ? , bn?1 2
1 ,b1 ? lg10 ? 1 2

设bn ?

? bn 是等比数列,公比为

即 bn?1 ? bn =4,

?{b n }是等差数列。
可以通过等差数列的通项公式求出 bn ,然再求后数列{ an }的通项。 练习:1)数列{ an }中,an≠0,且满足 a1 ?
1 1 , a n ?1 ? , (n ? N ), 求 an 1 2 ?3 an

1 1 ? bn ? 1 ? ( ) n ?1 ? ( ) n ?1 , (n ? N ) . 2 2
( ) n ?1 1 n ?1 即 lg a n ? ( ) ,? a n ? 10 2 2 1

练习: (选自 2002 年高考上海卷) 数列{ an }中,若 a1=3, an?1 ? an ,n 是正整数,求数列{ an }的通项公式。 四.构造形如 bn ? an ? m 的数列。 例:数列{ an }中,若 a1=6, an+1=2an+1, 求数列{ an }的通项公式。 解:an+1+1=2a n+2, 即 an+1+1=2(an+1) 设 bn= an+1, 则 bn = 2 bn-1 则数列{ bn }是等比数列,公比是 2,首项 b1= a1+1=7,
2

2)数列{ an }中, a1 ? 1, a n?1 ?

2a n , 求 an 通项公式。 an ? 2

3)数列{ an }中, a1 ? 1, an ? 0, 且an ? 2an ? an?1 ? an?1 ? 0(n ? 2, n ? N ), 求 an. 二.构造形如 bn ? an 的数列。 例:正数数列{ an }中,若 a1 ? 5, an?1 ? an ? 4(n ? N ),求an 解:设 bn ? an , 则bn?1 ? bn ? 4,即bn?1 ? bn ? ?4
2 2 2 2

?bn ? 7 ? 2 n?1 ,即an ? 1 ? 7 ? 2 n?1

? an ? 7 ? 2 n?1 ? 1 , (n ? N )
构造此种数列,往往它的递推公式形如:

数列{bn }是等差数列,公差是? 4,b1 ? a1 ? 25 ? bn ? 25 ? (n ? 1) ? (?4) ? 29 ? 4n 即an ? 29 ? 4n ? an ? 29 ? 4n , (1 ? n ? 7, n ? N )
2

2

an?1 ? c ? an ? d , (c ? 1)和S n ? an ? n ? 2的形式。
如:an+1=c an+d,设可化成 an+1+x=c(an+x), an+1=c an+(c-1)x 用待定系数法得: (c-1)x=d



x=

d . c ?1

Tn-1=

又如:Sn+an=n+2, 则 Sn-1+an-1=n+1, 二式相减得:Sn-Sn-1 +a n-a n-1 =1,即 a n +a n-a ∴ 2 an-an-1=1, 1 1 an = an-1+ . 2 2 1 如上提到 bn = an + d = an –1 c ?1 练习:1.数列{ an }满足 an+1=3an+2, 求 an 2.数列{ an }满足Sn+an=2n+1,求 an 五.构造形如 bn ? an?1 ? an 的数列。

q(1 ? q n?1 ) ; 1? q q(1 ? q n?1 ) a (n ? 1)n ? (n ? 1)b + 2 1? q
a (n ? 1)n ? (n ? 1)b ; 2

n-1 =1,

Tn-1= 即:

an -a1=

q(1 ? q n?1 ) an -a1= ; 1? q
an -a1= 从而求出 an =a1+ an= a1+
a (n ? 1)n q(1 ? q n?1 ) ? (n ? 1)b + 2 1? q

例:数列{ an }中,若 a1=1,a2=3,an+2 + 4 an+1 - 5an=0 (n ? N),求 an。 解: an+2 + 4 an+1 - 5an=0 得: an+2 - an+1 = - 5(an+1 - an ) 设 bn = an+1 -an, 则数列{ bn }是等比数列,公比是-5,首项 b1= a2- a1=2, ∴an+1 -an=2?(-5)n-1 即 a2 -a1=2?(-5) 2 a3 -a2=2?(-5) a4 -a3=2?(-5)3


a (n ? 1)n ? (n ? 1)b ; 2

q(1 ? q n?1 ) ; 1? q

a (n ? 1)n q(1 ? q n?1 ) ? ( n ? 1 ) b an =a1+ + 。 2 1? q

2)当递推公式中形如: an+1=a n+
1 1 1 ;an+1=a n+ ;an+1=a n+ 等情形 (2n ? 1 ) (2n ? 1) n(n ? 1) n ? n ?1 1 1 1 ;bn = ;bn = (2n ? 1) (2n ? 1) n(n ? 1) n ? n ?1

an -an-1=2?(-5)n-2 以上各式相加得:an -a1=2? [ (-5)+(-5)2+(-5)3+┄+(-5)n-1] 即:an -a1=2?
n ?1 1? ( ? 5) 1 ? (?5)

可以构造 bn = an+1-an ,得::bn =

? an ? 1 ?

1 ? (?5) n ?1 4 ? (?5) n?1 ,即 a n ? , (n ? N ) 3 3

当递推公式中,an+1与 an 的系数相同时,我们可构造 bn = an+1 -an,然后用叠加 法得:b1+b2+b3+b4+┄+bn = an-a1 通过求出数列{bn}前 n-1 项和的方法,求出数列{ an }的通项公式。 1) 当递推公式中形如: an+1=a n+an+b ; an+1=a n+qn(q≠1) ; an+1=a n+qn +an+b 等情形时, 可以构造 bn = an+1-an ,得: bn = an+b; bn = qn; bn =qn +an+b。 求出数列前 n-1 项的和 Tn-1, a (n ? 1)n ? (n ? 1)b ; Tn-1= 2

1 1 1 1 1 ? ) ;bn = n ? 1 ? n 即 bn = ? ;bn = ( n n ?1 2 2n ? 1 2n ? 1 从而求出求出数列前 n-1 项的和 Tn-1, 1 1 1 ) ;Tn-1= n ? 1 Tn-1=1 ? ;Tn-1= (1 ? n 2 2n ? 1 1 即: an -a1= 1 ? ; n 1 1 ); an -a1= (1 ? 2 2n ? 1

an -a1= n ? 1

从而求出

an =a1+ 1 ?

1 ; n

从而得到:

1 1 ); an= a1+ (1 ? 2 2n ? 1

n ( n ?1) an a a 1 1 ?q 2 ; n ? ; n ? a1 a1 n a1 n

an =a1+ n ? 1 练习:1)数列{ an }中,若 a1=1,an+1-a n=2n, 求通项 an. 2)数列{ an }中,若 a1=1,an+1-a n=2n, 求通项 an. 3) 数列{ an }中,若 a1=2, an?1 ? an ? 2 n ? n ,求通项 an. 六.构造形如 bn ?

a n ? a1 q

n ( n ?1) 2

; a n ? a1 ?

1 1 ; a n ? a1 ? 。 n n

练习:1)数列{ an }中,若 a1=2, an? ? 2 n an ,求 an. 七.构造形如 bn ? an?1 ? man 的形式。 例:数列{ an }中,a1=2,Sn=4an-1+1,求 an.

an?1 的形式。 an

解:Sn=4an-1+1,Sn-1=4an-2+1 二式相减:Sn-Sn-1=4an-1-4an-2
an =4an-1-4an-2 an -2an-1=2(an-1-an-2) 设 bn=an+1-2an, 当 递 推 公 式 形 如 Sn+1=4an+2;an+2=pan+1+qan(p+q=1) 等 形 式 时 , 因 an-2an+1=2(an+1-2an);an+2-an+1=(p-1)(an+1-an), 我们构造 bn=an+1-2an; bn=an+1-an, 由等比数列知识得 bn=(a2-a1)· 2n-1; bn=(a2-a1)· (p-1)n-1 从而得到 an+1=2an+(a2-a1)2n-1;an+1=an(a2-a1)(1-q)n-1 由类型四求出 an。

例:数列{ an }中,若 a1=1, (n ? 1)an?1 ? nan ,求 an. 解:由 (n ? 1)an?1

a n ? nan 得: n ?1 ? an n ?1



a a a2 1 a 2 3 n ?1 ? , 3 ? , 4 ? ,… n ? a1 2 a2 3 a3 4 a n ?1 n an 1 ? a1 n

用累乘法把以上各式相乘得: ∴ an ?
1 。 n

当递推公式形如: an? ? q n an ; (n ? 1)an?1 ? nan ; nan?1 ? (n ? 1)an 等形式,我们可 以构造 bn ? 可得:

an?1 。 an

bn ? q n ; bn ?

n n ?1 ; bn ? . n ?1 n

然后用叠乘法得: b1b2 b3 ?bn?1 ?

an 。 a1

令数列{bn}的前 n-1 项的积为 An-1,则

An?1 ? q

n ( n?1) 2

; An ?1 ?

1 1 ; An ?1 ? n n


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