当前位置:首页 >> 数学 >>

《金识源》高中数学新人教A版必修5课件 1.1.2 余弦定理_图文

1.1.2 余弦定理 1.了解余弦定理的推导过程,掌握余弦定理及其推论. 2.能利用余弦定理解三角形,并判断三角形的形状. 余弦定理 文字语言 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这 两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 在△ABC 中, 符号语言 a2=b2+c2-2bccos A, b2=c2+a2-2accos B, c2=a2+b2-2abcos C 在△ABC 中, 推论 cos A= cos B= 作用 2 + 2 - 2 2 2 + 2 - 2 , , cos C= 2 2 + 2 - 2 2 解三角形、判断三角形的形状等 (1)余弦定理的每个等式中包含四个不同的量,它们分别是三角 形的三边和一个角,知道其中的三个量,便可求得第四个量,即“ 知三求一”. (2)余弦定理适用的题型 : ①已知三边求三角,用余弦定理,有解时只有一解; ②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他的角,用余弦定理,必有一解. (3)余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例,余弦定理揭示 了任意三角形边角之间的客观规律,是解三角形的重要工具. 【做一做 1 】 在△ABC 中,a=4, b=4,C=30 ° ,则 c 等于( A.32-16 3 C.16 答案:A B.32+16 3 D.48 2 ) 【做一做 2 】 在△ABC 中,a=2, b=5,c=6,则 cos B 等于( 5 8 65 24 2 ). A. B. C. = . 5 8 19 20 D.- 7 20 解析:cos 答案:A a2+c2-b B= 2ac 1.确定三角形中三个内角的范围 剖析:由余弦定理,可得在△ABC 中,cos 2 2 2 b +c2-a2 A= . 2bc 2 2 2 2 若 A 为锐角,则 cos A>0,有 b +c -a >0,即 b +c >a ;若 A 为直角,则 cos A=0,有 b2+c2-a2=0,即 b2+c2=a2;若 A 为钝角,则 cos A<0,有 b2+c2-a2<0,即 b2+c2<a2. 因此可得 :A 为锐角?a2<b2+c2; A 为直角?a2=b2+c2; A 为钝角?a >b +c . 2 2 2 a2=b2+c2? △ABC 为直角三角形; a2>b2+c2? △ABC 为钝角三角形; a <b +c 2 2 2 △ABC 为锐角三角形. 说明 :a2<b2+c2 只能得到 cos A>0,即只能得到角 A 为锐角,但是不能保证其他 的角 B,C 也为锐角,所以不能得到 △ABC 为锐角三角形. 2.利用正弦定理、余弦定理求角的区别 剖析:如表所示 : 相同点 条 件 依 不 据 同 求 点 角 检 验 余弦定理 先求某种三角函数值再求角 已知三边 cos A= 2 + 2 - 2 2 正弦定理 已知两边一角 等 sin A= sin 等 解方程 cos A=m,A∈(0,π) y=cos x 在(0,π)上为减函数,解 方程所得的解唯一 解方程 sin A=m,A∈ (0,π) y=sin x 在(0,π)上先增后减,解方 程可能产生增根,需检验 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 已知两边及夹角解三角形 【例 1】 在△ABC 中,已知 a=2, b=2 2,C=15° ,解三角形. 分析:思路一 :可先用余弦定理求边 c,再用正弦定理求角 A. 思路二 :可先用余弦定理求边 c,再用余弦定理的推论求角 A. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解法一:cos 15° =cos(45 ° -30 ° )= sin 15° =sin(45° -30° )= 6- 2 . 4 6+ 2 , 4 由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcos C =4+8-2 2× ( 6 + 2)=8-4 3, ∴ c= 6 ? 2. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 由正弦定理,得 sin A= sin C= a c 2 6- 2 × 6- 2 4 = . 1 2 又 0° <A<180 ° ,∴ A=30 ° 或 150 ° . 又 b>a,∴ B>A, ∴ 角 A 为锐角, ∴ A=30° .∴ B=180° -(A+C)=135° . 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解法二:cos 15° =cos(45 ° -30 ° )= 6+ 2 , 4 由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcos C =4+8-2 2× ( 6 + 2)=8-4 3,∴ c= 6 ? 2. ∴ cos b +c2-a2 A= 2bc 2 = 3 . 2 又 0° <A<180 ° ,∴ A=30 ° . ∴ B=180° -(A+C)=135° . 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 已知两边及其夹角解三角形(此时有唯一解)的步骤 : 方法一 : ①利用余弦定理求出第三边; ②利用正弦定理求出另外一个角 ; ③利用三角形内角和定理求出第三个角. 方法二 : ①利用余弦定理求出第三边; ②利用余弦定理的推论求出另外一个角; ③利用三角形内角和定理求出第三个角. 此时方法一中②通常需要分类讨论,因此建议应用方法二解三角形. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型二 已知三边解三角形 【例 2】 在△ABC 中,已知 a=7, b=10,c=6,解三角形.(精确到 1° ) +2-2 A= 求解. 2bc 2 分析:已知三边求三角,用余弦定理的推论,如用 cos 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解:cos ∴ A≈44 ° . cos b +c2-a2 A= 2bc 2 = 102+62-72 =0.725, 2×10×

更多相关标签: