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四川省绵阳南山中学2013届高三12月月考 数学文

2012 年 12 月 6 日 3:00-5:00

绵阳南山中学高 2013 级第十二学月月考 数学试题(文史财经类)
命题人:尹 冰 审题人:王怀修 张家寿 第Ⅰ卷(选择题) 一、选择题: (每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.复数
1? i 1? i

=

A. -i B. i C. 1-i D.1+i 2 2.已知集合 A={x|x -x-2<0},B={x|-1<x<1},则 A.A?B ? B.B?A ? C.A=B D.A∩B=?

3.执行所示的程序框图,如果输入 a=4,那么输出的 n 的值为 A.2 B.3 C.4 D.5

4.设函数 f ( x ) 定义在实数集 R 上, f (2 ? x ) ? f ( x ) , 且当 x ? 1 时 f ? x ? ? x ?
1 1 x 1

,则有 B. f ( ) ? f ( 2 ) ? f ( )
2 1 2 3 1 3 1 1

A. f ( ) ? f ( 2 ) ? f ( )
3 1 1 2 3 2

C. f ( ) ? f ( ) ? f ( 2 )
? 2 x ? y ? 4, ? 5.设 x、y 满足 ? x ? y ? ? 1, ? x ? 2 y ? 2, ?

D. f ( 2 ) ? f ( ) ? f ( )

则z ? x ? y

A.有最小值 2,最大值 3 B.有最小值 2,无最大值 C.有最大值 3,无最大值 D.既无最小值,也无最大值 6.有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位: cm), 则该几何体的表面积为 A.12π cm2 B.15π cm2 C.24π cm2 D.36π cm2 7.函数 y ? ln
e ?e
x ?x ?x

e ?e
x

的图象大致为

A.

B.

C.

D.

8. 若命题“ ? x ? R , 使 x 2 ? ( a ? 1) x ? 1 ? 0 ”是假命题,则实数 a 的取值范围为 A. a ? ? 1 或 a ? 3 B. ? 1 ? a ? 3 C. a ? ? 1 或 a ? 3 D. ? 1 ? a ? 3

9.如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半圆. 在扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 A. 1 ?
2 π

B.

1 2

?

1 π

C.

2 π

D.

1 π

10.如图是函数 像,M、N 分别 是最大值、最小值点,且 A. 11.函数 f ( x ) ? ( )
2 1
x ?1

在一个周期内的图 ,则 A ? ? 的值为 C. D.

B.

? cos ? x ( ? 2 ? x ? 4 ) 的所有零点之和等于

A.2 12. 已知 f ( x ) ? x 下结论:
3

B.4
? 6x
2

C.6

D.8

? 9 x ? abc , a ? b ? c ,且 f ( a ) ? f (b ) ? f (c ) ? 0 .现给出如

① f ( 0 ) f (1) ? 0 ;② f ( 0 ) f (1) ? 0 ;③ f ( 0 ) f ( 3 ) ? 0 ;④. f ( 0 ) f ( 3 ) ? 0 ; ⑤ abc ? 4 ;⑥ abc ? 4 其中正确结论的序号是 A. ①③⑤ B. ①④⑥ C. ②③⑤ D. ②④⑥

第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在答题纸的相应位置上) 13. 某中学为了解学生数学课程的学习情况, 3000 名学生中随机 在 抽取 200 名,并统计这 200 名学生的某次数学考试成绩,得到了样 本的频率分布直方图. 根据频率分布直方图推测, 推测这 3000 名学 生在该次数学考试中成绩小于 60 分的学生数是________________ 14. 已知幂函数 f ? x ? ? x m 调递增,则 m 的值为 15. 观察下列等式
2 ?1 ? 3?1 ? 3?1 ? 1
3 3 2
2

? 2m ?8

? m ? Z ? 是偶函数且在 ? ? ? , 0 ? 上单

3 ? 2 ? 3? 2 ? 3? 2 ?1
3 3 2

4 ? 3 ? 3?3 ? 3?3 ?1
3 3 2

5 ? 4 ? 3? 4 ? 3? 4 ?1
3 3 2

………………………………… 分析上面等式的规律,则 1 ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? ? ? 20 2 ?
2



16.关于函数 f ( x ) ? ? 2 sin ① f (x ) 在区间 [
?
8 , 5 8

2

x ? sin 2 x ? 1 ,给出下列四个命题:

? ] 上是减函数;

②直线 x ?

?
8

是函数图象的一条对称轴;
2 sin 2 x 的图象向左平移 2] ;

③函数 f ( x ) 的图象可由函数 y ? ④若 x ? [ 0 ,
?
2

?
4

个单位得到;

] ,则 f ( x ) 的值域是 [ 0 ,

⑤函数 f ( x ) 关于 (

?
4

, 0 ) 对称.

其中正确命题的序号是 ________________ 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分。解答应写出必要 的文字说明,证明过程或演算步 骤) 17. (本小题满分 12 分) 某流感病研究中心对温差与甲型 H1N1 病毒感染数之间的相关关系 进行研究,他们每天将实验室放入数量相同的甲型 H1N1 病毒和 100 只白鼠,然后分别记 录了 4 月 1 日至 4 月 5 日每天昼夜温差与实验室里 100 只白鼠的感染数,得到如下资料: 日 温 期 差 4月1日 10 23 4月2日 13 32 4月3日 11 24 4月4日 12 29 4月5日 7 17

感染数

(1)求这 5 天的平均感染数; (2)从 4 月 1 日至 4 月 5 日中任取 2 天,记感染数分别为 x , y 用 ( x , y ) 的形式列出所有的 基本事件, 其中 ( x , y ) 和 ( y , x ) 视为同一事件,并求 x ? y ? 3 或 | x ? y |? 9 的概率.

18. (本小题满分 12 分)在△ A B C 中, A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , A ?
(1 ? 3 )c ? 2b .

?
6



(1)求 C ; (2)若 AC ? CB ? ? 1 ?
3 ,求 a , b , c .

19. (本小题满分 12 分)数列{an}中,a1=1,且 an+1 =Sn(n≥1,n∈N*) ,数列{bn}是等差数 列,其公差 d>0,b1=1,且 b3、b7+2、3b9 成等比数列. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式;w_w_w.k*s5%u.co m (2)求数列{ a n ? b n }的前 n 项和 Tn.
?
2

20. (本小题满分 12 分)在几何体 ABCDE 中, ? B A C

?

,DC⊥平

面 ABC,EB⊥平面 ABC, AB=AC=BE=2,CD=1. (1)设平面 ABE 与平面 ACD 的交线为直线 l,求证:l∥平面 BCDE;

(2)设 F 是 BC 的中点,求证:平面 AFD⊥平面 AFE; (3)求几何体 ABCDE 的体积.

21. (本小题满分 12 分)已知函数对于函数 f ( x ) ,若存在 x 0 ? R ,使 f ( x 0 ) ? x 0 ,则称 x 0 是 f ( x ) 的一个不动点,已知函数 f ( x ) ? ax 2 ? ( b ? 1) x ? ( b ? 1)( a ? 0) , (1)当 a ? 1, b ? ? 2 时,求函数 f ( x ) 的不动点; (2)对任意实数 b ,函数 f ( x ) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围; (3) (2) 在 的条件下, y ? f ( x ) 的图象上 A , B 两点的横坐标是 f ( x ) 的不动点, A , B 若 且 两点关于直线 y ? k x ?
1 2a ? 1
2

对称,求 b 的最小值.

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 (1)求函数 g ( x ) ?
? ?
f
2

f ( x ) ? ax ? ln( x ? 1)
2



? x ? ? ax ? x 的单调区间及最大值; (2)当 x ? [0, ?? ) 时,不等式 f ( x ) ? x 恒成立,求实数 a 的取值范围.
(3)求证: ? 1 ?
1 ?? 1 ?? 1 ?? 1 ? 1 ? ? ??1 ? 2 ??1 ? 2 ??1 ? 2 ? ? ? ? ?1 ? 2 ? ? e 2 2 ?? 4 ?? 5 ? n ? 3 ?? ?
? 1 x ?1

参考导数公式: ? ln ? x ? 1 ? ? ?

绵阳南山中学高 2013 级第十二学月月考
参考答案 1-12:ABBC 13.600 BCCD AACC 14.0 或 2 15. 2870 16.①②

17. 解: (1)这 5 天的平均感染数为

23 ? 32 ? 24 ? 29 ? 17 5

? 25 ;

??????4 分

(2) ( x , y ) 的取值情况有 (23, 32), (23, 24), (23, 29), (23,17 ), (32, 24), (32, 29),
(32,17 ), (24, 29), (24,17 ), (29,17 ) 基本事件总数为 10。

??????5 分

设满足 | x ? y |? 9 的事件为 A,则事件 A 包含的基本事件为 ? 23 ,32 ?, ?32 ,17 ?, ? 29 ,17 ? 所以 P ( A ) ?
3 10



??????8 分

设满足 x ? y ? 3 的事件为 B,则事件 B 包含的基本事件为(23,24),(32,29) 所以 P(B)=
2 10

??????11 分
3 10 ? 2 10 ? 1 2

∴P= P ? A ? B ? ? P ? A ? ? P ? B ? ?
b c 1 2

??????12 分

18 解: (1)由 (1 ?
s in ( ? ?

3 )c ? 2b


5? 6

?

?

3 2

?

s in B s in C

?????2 分

?
6

?C) ?

s in

cos C ? cos s in C

5? 6

s in C
?

则有
1 2

1 2

?

3 2

s in C
cos C ? 3 2 sin C ? 1 2

sin C ?

3 2

sin C

易得 C ?

?
4

.

??????6 分
?
4

(2) 由 AC ? CB ? ? 1 ?

3

推出 ab cos C ? 1 ?

3 ;而 C ?

,即得

2 2

ab ? 1 ?

3,

? 2 ab ? 1 ? 3 ? 2 ? ? 则有 ? (1 ? 3 ) c ? 2 b ? a c ? ? s in C ? s in A ?

??????9 分

?a ? 2 ? ? 解得 ? b ? 1 ? 3 ?c ? 2 ? ?

?????12 分

19.解: (I)由已知有 S n ?1

? Sn ? Sn

,即 S n ? 1

? 2 S n (n ? N )

*

,高☆考♂资♀源网



∴ {Sn}是以 S1=a1=1 为首项,2 为公比的等比数列.

∴ Sn= 2 n ? 1 . 由 an ? ?
? S1 ( n ? 1 ), ? S n ? S n ? 1 ( n ? 2 ),

得 an ? ?

?1 ?2
n?2

( n ? 1 ),

( n ? 2 ).

???????????4 分

∵ b3,b7+2,3b9 成等比数列, ∴ (b7+2) =b3·3b9,即 (1+6d+2) =(1+2d)·3(1+8d), 解得 d=1 或 d= ? ∴
1 2
2 2

(舍), . ??????????????????????7 分 ???????????8 分

b n ? 1 ? ( n ? 1) ? 1 ? n

(II) (1)当 n=1 时, T1 ? a1 ? b1 ? 2
n?2

(2)当 n ? 2 时 T n ? ( a1 ? a 2 ? ? ? a n ) ? ( b1 ? b 2 ? ? ? b n )
? (1 ? 2 ? 2 ? ? ? ? 2
0 1

) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? n )

?1?
? 2

1? 2

n ?1

1? 2
?

?

n ( n ? 1) 2

n ?1

n ?n ? 1? 2
n ?n ? 1? 2

??????????11 分 ???????????????12 分

n ?1 ? 综上: T n ? 2

20.(1)证明:∵ DC ? 面 ACB, BE ? 面 ABC ∴DC//BE ∵BE ? 面 ABE,DC ? 面 ABE ∴DC//面 ABE ∵面 ACD ? 面 ABE=l,DC ? 面 ACD ∴DC//l ∵DC ? 面 BCDE,l ? 面 BCDE ∴l//面 BCDE ???????????4 分 (2)过 D 点作 DG ? BE ∵AC=AB=2,CF=FB, ? CAB= 90 0 ∴AF ? BC,CF=FB=AF=
1 2

BC= 2

∵ DC ? 面 ACB,DC ? 面 BCDE ∴面 BCDE ? 面 ABC ∴AF ? 面 BCDE ∴DF ? AF,EF ? AF ∴ ? EFD 是二面角 D-AF-E 的平面角 ∵DC=1,CF= 2 ,∴DF= 3 ∵BF= 2 ,BE=2∴EF= 6 ∵DG=BC=2 2 ,EG=BE-DC=1,∴DE=3 ∴ DE
2

? EF

2

? DE

2

∴ ? DFE= 90 0 ∴平面 AFD⊥平面 AFE (注:不证直二面角同样可得分) (3) V A ? BCDE ?
1 3 ? 1 2
2

???????????9 分

?1 ? 2 ? ? 2

2 ?

2 ? 2

??????????12 分

21.(1) f ( x ) ? x 2 ? x ? 3 , x 0 是 f ( x ) 的不动点,则 f ( x ) ? x 0 ? x 0 ? 3 ? x 0 ,得 x 0 ? ? 1 或
x 0 ? 3 ,函数 f ( x ) 的不动点为 ? 1 和 3 .

???????????.3

分 (2)∵函数 f ( x ) 恒有两个相异的不动点,∴ f ( x ) ? x ? ax 2 ? bx ? ( b ? 1) ? 0 恒有两个 不等的实根, ? ? b 2 ? 4 a ( b ? 1) ? b 2 ? 4 ab ? 4 a ? 0 对 b ? R 恒成立, ∴ ( 4 a ) 2 ? 1 6 a ? 0 ,得 a 的取值范围为 (0,1) . (3)由 ax 2 ? bx ? (b ? 1) ? 0 得
x1 ? x 2 2 ? ? b 2a b 2a , b 2a ? 1 2a ? 1
2

?????..7 分 ,由题知 k ? ? 1 , y ? ? x ?
), 1 2a ? 1
2



设 A , B 中点为 E ,则 E 的横坐标为 ( ? ∴?
b 2a ? b 2a ? 1 2a ? 1
2


1 2 4
1 a

∴b ? ?

a 2a ? 1
2

? ?

2a ?

1 a

? ?

,当且仅当 2 a ?

( 0 ? a ? 1) ,即 a ?

2 2

时等号成

立, ∴ b 的最小值为 ?
2 4

. , ? ?1 )

??????????????..12 分

22.解(Ⅰ) g ? x ? ? ln ? x ? 1 ? ? x ( x
g ?( x ) ? 1 x ?1 ?1? ? x x ?1

(x

, ? ?1 ) 2分

故函数 g ( x ) 的单调递增区间为 ( ? 1, 0 ) ,单调递减区间为 (0, ? ? ) .??????
g ? x ?max ? g ?0 ? ? 0

??????2 分
f (x) ? x

(Ⅱ)因当 x ? [0, ?? ) 时,不等式
g ( x ) ? ax ? ln( x ? 1) ? x
2

恒成立,即 ax 2 ? ln( x ? 1) ? x ? 0 恒成立,设
?0

(x ? 0 ) ,只需 g ( x ) m ax
x [ 2 a x ? ( 2 a ? 1)] x ?1

即可.

????????5 分

由 g ?( x )

? 2ax ?

1 x ?1

?1 ?



(ⅰ)当 a 故 g (x) ? 分

?0

时, g ? ( x ) 成立.

?

?x x ?1

,当 x ? 0 时, g ?( x ) ? 0 ,函数 g ( x ) 在 (0, ? ? ) 上单调递减, ????????6

g (0) ? 0

(ⅱ)当 a ①若
1 2a

?0

时,由 g ? ( x ) ,即 a
? 1 2

?

x [ 2 a x ? ( 2 a ? 1)] x ?1

? 0

,因 x ? [0, ?? ) ,所以 x

?

1 2a

?1



?1? 0

时,在区间 (0, ? ? ) 上, g ?( x ) ? 0 ,则函数 g ( x ) 在 (0, ? ? ) 上单调

递增, g ( x ) 在 [0, ? ? ) 上无最大值,此时不满足条件; ②若
1 2a ?1? 0

,即 0

? a ?

1 2

时,函数 g ( x ) 在 ( 0 ,

1 2a

? 1)

上单调递减,在区间 (

1 2a

? 1, ? ? )



单 调 递 增 , 同 样 g (x) 在 [0, ? ? ) 上 无 最 大 值 , 不 满 足 条 件. ????????9 分 (ⅲ)当 a ? 0 时,由 g ? ( x )
? x [ 2 a x ? ( 2 a ? 1)] x ?1

,∵ x ? [0, ?? ) ,∴ 2 ax ? (2 a ? 1) ? 0 ,
g (0) ? 0 成立.??????11

∴ g ?( x ) ? 0 ,故函数 g ( x ) 在 [0, ? ? ) 上单调递减,故 g ( x ) ? 分 综上所述,实数 a 的取值范围是 ( ? ? , 0 ] . 分 (Ⅲ)由(Ⅰ)知 ln( x ? 1) ?
? ln( 1 ? 1 n
2

????????12

x

令x ?
? 1

1 n
2


? 1 n ?1 ? 1 n

)?

1 n
2

?

1 n?n

( n ? 1) n

???????1

1分
? ln( 1 ? 1? 1 n ? ln( 1 ? 1 2
2

1 2
2

) ? ln( 1 ?

1 3
2

) ? ? ? ? ? ln( 1 ?

1 n
2

) ? (1 ?

1 2

)? (

1 2

?

1 3

) ? ? ? ?(

1 n ?1

?

1 n

)

=

?1 )( 1 ? 1 3
2

) ? ? ? (1 ?

1 n
2

) ? 1 ? ln e

? (1 ?

1 2
2

)( 1 ?

1 3
2

) ? ? ? (1 ?

1 n
2

)? e

????14 分

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