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高考最有可能考的50题(30道选择题+20道压轴题)数学理含详细答案

高考最有可能考的50题 (数学理课标版)
(30 道选择题+20 道压轴题) 一.选择题(30 道)
1.若集合 M ? {x | ?2 ? x ? 3}, N ? { y | y ? x ? 1, x ? R} ,则集合 M ? N ?
2

A. (?2, ??)

B. (?2,3)

C. [1,3)

D. R

2.已知集合 A = A. - 1

{x x > 1}, B = {x x < m},且 A ? B =
B. 0 C. 1

R ,那么 m 的值可以是
D. 2

3.复数 A、-7

1 ? 7i 的共轭复数是 a+bi(a,b ? R),i 是虚数单位,则 ab 的值是 i
B、-6 C、7 D、6

4.已知 i 是虚数单位, m . n?R ,且 m ? i ? 1 ? n i ,则 (A) ?1 (B) 1 (C) ?i

m ? ni ? m ? ni
(D) i

5.已知命题 p :

1 1 1 5 ? 2 x ? ,命题 q : x ? ? [? , ?2] ,则下列说法正确的是 4 2 x 2

A.p 是 q 的充要条件 B.p 是 q 的充分不必要条件 C.p 是 q 的必要不充分条件 D.p 是 q 的既不充分也不必要条件 6.下面四个条件中,使 a ? b 成立的充分而不必要的条件是 A. a ? b ? 1 B. a ? b ? 1 C. a 2 ? b 2 D. a 3 ? b 3 7.已知数列 {a n } , 那么 “对任意的 n ? N * ,点 Pn (n, a n ) 都在直线 y ? 2 x ? 1 上” “ {a n } 是 为等差数列”的 (A) 必要而不充分条件 (C) 充要条件 (B) 既不充分也不必要条件 (D) 充分而不必要条件

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8.执行右边的程序框图,若输出的 S 是 127,则条件①可以为 (A) n ? 5 (B) n ? 6 (C) n ? 7 (D) n ? 8

9.阅读右面程序框图,如果输出的函数值在区间 [ , 输入的实数 x 的取值范围是 (A) (??, ?2] (B) [?2, ?1] (C) [?1, 2] (D) [2, ??)

1 1 ] 内,则 4 2

开始 输入 x

x ?[?2, 2]




f ( x) ? 2
x

f ( x) ? 2

输出 f ( x) 结束

10.要得到函数 y ? sin(2 x ? ? ) 的图象,只要将函数 y ? sin 2 x 的图象( 4 A.向左平移 ? 单位 4 C.向右平移 ? 单位 8 B.向右平移 ? 单位 4 D.向左平移 ? 单位 8



11.已知 cos(x ? A. ?

?
6

)??
B. ?

3 ? ,则 cos x ? cos(x ? ) ? ( 3 3
2 3 3
C. ? 1



2 3 3

D. ? 1

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12.如图所示为函数 f ? x ? ? 2sin ?? x ? ? ? ( ? ? 0,0 ? ? ? ? 的 部分图像,其中 A, B 两点之间的距离为 5 ,那么 f ? ?1? ? ( A. 2 B. 3 C. ? 3 ) A D. ?2 O
?2

y
2

x B

13.设向量 a 、 b 满足: a ? 1 , b ? 2 , a ? ? a ? b ? ? 0 ,则 a 与 b 的夹角是( A. 30? C. 90? B. 60? D. 120?



14.如图,O 为△ ABC 的外心,AB ? 4, AC ? 2, ?BAC 为钝角,M 是 边 BC 的中点,则 AM ? AO 的值( A. 2 3 B.12 C.6 ) D.5
B

A

M
O

C

第 21 题图

15.若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是 ( )

BD 16.如图, 平面四边形 ABCD 中,AB ? AD ? CD ? 1, ? 2 , BD ? CD , 将其沿对角线 BD
折成四面体 A'?BCD ,使平面 A' BD ? 平面 BCD ,若四面体 A'?BCD 顶点在同一个球面上, 则该球的体积为( A. ) B. 3? C.

3 ? 2

2 ? 3

D. 2?

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17. 已知集合A ? ? x x ? a ? 0?, 若1 ? A ,则实数 a 取值范围为( ? ? ? x?a ? A

) D (-1,1]

(??,?1) ? [1,??)

B [-1,1]

C

(??,?1] ? [1,??)

18.已知正项等比数列 ?a n ? 满足: a3 ? a2 ? 2a1 ,若存在两项 a m , a n ,使得 am an ? 4a1 ,则

1 4 ? 的最小值为 m n
A.





3 2

B.

5 3

C.

25 6

D.不存在

19.将 5 名学生分配到甲、乙两个宿舍,每个宿舍至少安排 2 名学生,那么互不相同的安排 方法的种数为 ( A.10 B.20 ) C.30 D.40

20.现有 2 门不同的考试要安排在 5 天之内进行,每天最多进行一门考试,且不能连续两天 有考试,那么不同的考试安排方案种数有 ( )

A.6

B.8

C.12

D.16

21.在各项都为正数的等比数列 {an } 中, a1 ? 3 ,前三项的和为 21,则 a3 ? a4 ? a5 = ( ) A.33 B.72 C.84 D.189

22.若等比数列 {a n } 的前 n 项和 S n ? a ? 3 ? 2 ,则 a 2 ?
n

A.4

B.12

C.24

D.36

23.已知 F1 、 F2 分别是双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点, P 为双曲线上的一点,
).

若 ?F1PF2 ? 90? ,且 ?F1PF2 的三边长成等差数列,则双曲线的离心率是( A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

24.长为 l (l ? 1) 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y ? x 上滑动,则线段 AB 中点 M 到 y 轴
2

距离的最小值是 A.

l 2

B.

l2 2

C.

l 4

D.

l2 4

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25.若圆 C: x ? y ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 关于直线 2ax ? by ? 6 ? 0 对称,则由点 (a, b) 向圆所
2 2

作的切线长的最小值是( A. 2 B. 3 C. 4

) D.6

26.函数 f(x)=tan x +

1 ? ? ,x ? {x | ? ? x ? 0或0 ? x ? } 的大致图象为( tan x 2 2
y y
?
2



y
?

y
?
2

? 2

?
2

?

? 2

?

? 2

?

? 2

?
2

0

x

0

x

0

x

0

x

A

B

C

D

27.设 f ( x) 在区间 (??, ??) 可导,其导数为 f ( x) ,给出下列四组条件(
'



① p:f ( x) 是奇函数, q : f ( x) 是偶函数
'

② p:f ( x) 是以 T 为周期的函数, q : f ( x) 是以 T 为周期的函数
'

③ p:f ( x) 在区间 (??, ??) 上为增函数, q : f ( x) ? 0 在 (??, ??) 恒成立
'

④ p:f ( x) 在 x0 处取得极值, q : f ( x0 ) ? 0
'

A.①②③

B.①②④

C.①③④

D.②③④

? x 2 ? (a ? b) x ? 2, x ? 0 ? 28.若 a 满足 x ? lg x ? 4 , b 满足 x ? 10 ? 4 ,函数 f ( x) ? ? , ?2, x?0 ?
x

则关于 x 的方程 f ( x) ? x 的解的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

29.已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,且满足 f(x+1)+f(x)=3,当 x∈[0,1]时,f(x) =2-x,则 f(-2007.5)的值为( A.0.5 B.1.5 ) C.-1.5 D.1

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30.设 f ( x) 与 g ( x) 是定义在同一区间 [a, b] 上的两个函数,若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在 则称 f ( x) 和 g ( x) 在 [a, b] 上是“关联函数”, 区间 [a, b] 称 x ?[a, b] 上有两个不同的零点, 为“关联区间”.若 f (x) ?x ?3x ? 4 与 g ( x) ? 2 x ? m 在 [0,3] 上是“关联函数”,则 m
2

的取值范围( ) A. (? , ?2]

9 4

B. [?1,0]

C. (??, ?2]

D. (? , ??)

9 4

二.填空题(8 道)
31.为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况,某市卫生部门对本地区 9 月份至 11 月份注射 疫苗的所有养鸡场进行了调查, 根据下图表提供的信息, 可以得出这三个月本地区每月注射 了疫苗的鸡的数量平均为 万只。

32.设抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,其准线与 x 轴的交点为 Q,过点 F 作直线交
2

抛物线 C 于 A、B 两点,若 ?QBF ? 90 ,则|AF|—|BF|=
?

33.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积与其 外接球面积之比为________.
2 2 2 2

2 2

2 2

1
正视图

1
侧视图

1 1
俯视图

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34. ?a ? x ? 1 ?

?

x 的展开式中 x 2 项的系数是 15, 则展开式的所有项系数的和是_______.

?

5

35.设 ?ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,若 A ? 围为_____.

?
3

,a ?

3 ,则 b2 +c 2 的取值范

? y ? x, ? 36.已知 z=2x +y,x,y 满足 ? x ? y ? 2, 且 z 的最大值是最小值的 4 倍,则 a 的值 ? x ? a, ?
是 。 37. 抛掷一枚质地均匀的骰子,所得点数的样本空间为 S ? ?1, 2,3, 4,5, 6? ,令事件

A ? ?2,3,5? ,事件 B ? ?1, 2, 4,5, 6? ,则 P ? A | B ? 的值为



38.记 Sk ? 1k ? 2k ? 3k ? ??? ? nk , 当 k ? 1, 2, 3, ??? 时,观察下列 等式:
S1 ? 1 n 2 ? 1 n , 2 2

S2 ? 1 n3 ? 1 n2 ? 1 n , 3 2 6
S3 ? 1 n 4 ? 1 n 3 ? 1 n 2 , 4 2 4

S4 ? 1 n5 ? 1 n4 ? 1 n3 ? 1 n , 5 2 3 30
S5 ? An 6 ? 1 n 5 ? 5 n 4 ? Bn 2 , ? ? ? 可以推测, A ? B ? 2 12

.

三.解答题(12 道)
39.已知函数 (1)求函数 (2)设 ,求 的最小值和最小正周期; 的内角 的值.
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的对边分别为





,若

40.已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和 S4=14,且 a1,a3,a7 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; 1 * (2)设 Tn 为数列{anan+1}的前 n 项和, Tn≤λ an+1 对?n∈N 恒成立, 若 求实数 λ 的最小值. 41. 形状如图所示的三个游戏盘中(图(1)是正方形,M、N 分别是所在边中点,图(2) 是半径分别为 2 和 4 的两个同心圆,O 为圆心,图(3)是正六边形,点 P 为其中心)各有一 个玻璃小球,依次摇动三个游戏盘后,将它们水平放置,就完成了一局游戏. (I)一局游戏后,这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少? (II) 用随机变量 表示一局游戏后, 小球停在阴影部分的事件数与小球没有停在阴影部分 的事件数之差的绝对值,求随机变量 的分布列及数学期望.

42.PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物, 也称为可入肺颗粒物。 我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值, PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级; 即 在 35 微克/立方米 ~ 75 微克/立方米之间空气质量为二级; 75 微克/立方米以上空气质量 在 为超标. 某试点城市环保局从该市市区 2011 年全年每天的 PM2.5 监测数 据中随机的抽取 15 天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位 为茎,个位为叶) (I)从这 15 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出三天,求恰有 一天空气质量达到一级的概率; (II)从这 15 天的数据中任取三天数据,记 ? 表示抽到 PM2.5 监测 数据超标的天数,求 ? 的分布列; (III)以这 15 天的 PM2.5 日均值来估计一年的空气质量情况,则 一年(按 360 天计算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级.

43.如图,四棱锥 S ? ABCD 的底面是正方形, SD ⊥平面 ABCD , SD ? AD ? a ,点 E 是 SD 上的点,且 DE ? ? a ? 0 ? ? ? 1? . (1)求证:对任意的 ? ? ? 0,1? ,都有 AC⊥BE; (2)若二面角 C-AE-D 的大小为 60 ,求 ? 的值.
?

S E D A B

C

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44.在平面直角坐标系内已知两点 A(?1,0) 、 B(1,0) ,若将动点 P( x, y ) 的横坐标保持不变, ???? ??? ? 纵坐标扩大到原来的 2 倍后得到点 Q( x, 2 y ) ,且满足 AQ ? BQ ? 1 . (Ⅰ)求动点 P 所在曲线 C 的方程;
???? ???? ???? ? ? 2 的直线 l 交曲线 C 于 M 、 N 两点,且 OM ? ON ? OH ? 0 ,又 2 点 H 关于原点 O 的对称点为点 G ,试问 M 、 G 、 N 、 H 四点是否共圆?若共圆,求出圆 心坐标和半径;若不共圆,请说明理由.

(Ⅱ)过点 B 作斜率为 ?

45.本题主要考查抛物线的标准方程、简单的几何性质等基础知识,考查运算求解、推理论 证的能力. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线的顶点在原点,焦点为 F(1,0) .过抛物线 在 x 轴上方的不同两点 A 、B 作抛物线的切线 AC 、BD , x 轴分别交于 C 、D 两点, AC 与 且 y 与 BD 交于点 M ,直线 AD 与直线 BC 交于点 N . A (1)求抛物线的标准方程; (2)求证: MN ? x 轴; (3)若直线 MN 与 x 轴的交点恰为 F(1,0) ,求证:直线 AB 过定点. C M B N D OF x

(第 45 题)

46. 已知 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ? x 2 ? ax ? 3 . (1) 求函数 f ( x) 在 [t , t ? 2](t ? 0) 上的最小值; (2) 对一切 x? (0, ??) , 2 f ( x)≥ g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3) 证明:对一切 x? (0, ??) ,都有 ln x ?

1 2 ? 成立. e x ex

47.已知函数 f ( x) ?

mx x ?n
2

(m, n ? R) 在 x ? 1 处取得极值 2 .

⑴求 f ( x) 的解析式; ⑵设 A 是曲线 y ? f ( x) 上除原点 O 外的任意一点,过 OA 的中点且垂直于 x 轴的直线交曲线 于点 B ,试问:是否存在这样的点 A ,使得曲线在点 B 处的切线与 OA 平行?若存在,求出点

A 的坐标;若不存在,说明理由;
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⑶设函数 g ( x) ? x 2 ? 2ax ? a ,若对于任意 x1 ? R ,总存在 x2 ?[?1,1] ,使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) ,求 实数 a 的取值范围.

48.如图,⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点,过点 A 作⊙O1 的切线交⊙O2 于点 C,过点 B 作两圆 的割线,分别交⊙O1、⊙O2 于点 D、E,DE 与 AC 相交于点 P. (1)求证:AD//EC; (2)若 AD 是⊙O2 的切线,且 PA=6,PC =2,BD =9,求 AD 的长。

1 ? ?x ? 1 ? 2 t, ? x ? cos ? , ? 49.已知直线 ? : ? (t 为参数), 曲线 C1 : ? ? y ? sin ? , ? y ? 3 t. ? 2 ?
(Ⅰ)设 ? 与 C1 相交于 A, B 两点,求 | AB | ; (Ⅱ)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的

( ? 为参数).

3 1 倍,纵坐标压缩为原来的 倍,得到曲 2 2

线 C2 ,设点 P 是曲线 C2 上的一个动点,求它到直线 ? 的距离的最小值.

50.已知函数 f ( x) ? log 2 ( x ? 1 + x ? 2 ? m). (1)当 m ? 5 时,求函数 f ( x) 的定义域; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? 1 的解集是 R ,求 m 的取值范围.

(数学理课标版)
(30 道选择题+20 道压轴题) 【参考答案】 一.选择题(30 道)
1. 【参考答案】C 2. 【参考答案】D
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【点评】:集合问题是高考必考内容之一,题目相对简单.集合的表示法有列举法、描述 法、图示法三种,高考中与集合的运算相结合,不外乎上述几种题型。但以描述法为主,考 查不等式的有关知识居多,有时也与函数结合求定义域或值域,如第 1 题。 3. 【参考答案】C 4. 【参考答案】D 【点评】:3、4 题考查的是复数有关知识。复数主要内容有:复数的四则运算、复数的模、 共轭复数、复平面、复数的概念等,上述两题都囊括了,且比较新颖。 5. 【参考答案】B 6. 【参考答案】A 7. 【参考答案】D 【点评】:上面 5、6、7 题是简易逻辑的内容,简易逻辑内容有:命题的或、且、非;四 种命题;充分、必要条件;全称命题和特称命题。作为高考内容的重要组成部分,也是各省 高考常见题型,特别是对充分、必要条件与全称命题和特称命题的考查。现在各省对简易逻 辑内容的考查,都比较侧重与某一知识点的结合,如第 5、6 题,单独考查相关概念不多见。 8. 【参考答案】B 9.【参考答案】B 【点评】:8,9 题考查的内容是程序框图。程序框图题型一般有两种,一种是根据完整的 程序框图计算输出结果,如题 9;一种是根据题意补全程序框图,如题 8.程序框图一般与函 数知识和数列知识相结合,特别经过多年的高考,越来越新颖、成熟。 10.【参考答案】D 11. 【参考答案】C 12. 【参考答案】A 【点评】:10、11、12 为三角函数类题目。三角函数在高考中一般有两种题型,一是三 角求值题,二是三角函数的性质和图象题,上面两题几乎把要考的知识点都包含进去了,且 题设比较好! 13.【参考答案】B 14.【参考答案】C 【点评】:13、14 是向量这部分内容的代表。向量的数量积是高考命题的一个重要方向, 而 13 题可以作为一个代表;而向量的几何运算是高考命题的另一个重要方向,像 14 题,不 仅考查了该部分知识点,而且背景新颖。 15. 【参考答案】B 16.【参考答案】A 【点评】:15、16 题是空间几何体的内容。三视图和几何体的表面积和体积计算是高考 的重点内容,这其中三视图考查学生的空间想象能力并且与直观图结合进行一些,如 15 题 就是这样;而作为基本几何体,选择题中经常出现球体的有关运算,如表面积、体积等,要 求学生的空间想象能力和公式记忆如 16 题。 17.【参考答案】B

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18. 【参考答案】A 【点评】:不等式也是高考的热点,尤其是均值不等式和一元二次不等式的考查,30 题 两者都兼顾到了。 19.【参考答案】B
2 2 【解析】安排方法可分为 3+2 及 2+3 两类,则共有 C5 ? A2 ? 20 种分法,故选 B.

20. 【参考答案】C 【点评】:19、20 题为排列组合及概率模块,此模块每年会考其中之一,故应特别注意。 21. 【参考答案】C 22. 【参考答案】B 【解析】? ?a n } 为等比数列,?a ? 2 ,又 a2 ? S 2 ? S1 ? 12 ,故选 B. 【点评】:21、22 题为数列模块,新课标全国卷特点是若小题考数列必考两个,去年没 考,今年考的可能性较大。 23.【参考答案】D 【解析】∵直角 ?F1 PF2 的三边成等差数列, ∴可设 | PF1 |? t , | PF2 |? t ? d , | F1F2 |? t ? 2d (t , d ? 0) ,且 | PF1 |2 ? | PF2 |2 ?| F1F2 |2 , 代入得 t 2 ? 2td ? 3d 2 ? 0 ,∴ t ? 3d ,∴ | PF1 |? 3d , | PF2 |? 4d , | F1F2 |? 5d , ∴e ?
| F1 F2 | | PF2 | ? | PF1 |

?

5d 4d ? 3d

? 5 ,故选 D.

24. 【参考答案】D 25. 【参考答案】C 【点评】:23,24,25 为解几内容。新课标背景下双曲线是客观题的必考内容,抛物线、 直线和圆也是常考内容,而椭圆一般放在解答题中考查,相对来说在客观题出现的比较少。 26.【参考答案】A 27.【参考答案】B 28.【参考答案】C 29.【参考答案】B 30. 【参考答案】A 【解析】 f ( x) ? x ? 3x ? 4 为开口向上的抛物线, g ( x) ? 2 x ? m 是斜率 k ? 2 的直线,
2

可先求出 g ( x) ? 2 x ? m 与 f ( x) ? x ? 3x ? 4 相切时的 m 值. 由 f ( x) ? 2 x ? 3 ? 2 得切
2 '

点为 ?

9 ? 5 11 ? , ? ,此时 m ? ? ,因此 f ( x) ? x 2 ? 3x ? 4 的图象与 g ( x) ? 2 x ? m 的图象有两 4 ?2 4 ?

个 交 点 只 需 将 g ( x) ? 2 x ?

9 向 上 平 移 即 可 。 再 考 虑 区 间 [0,3] , 可 得 点 ? 3, 4 ? 为 4 9 f ( x) ? x 2 ? 3x ? 4 图象上最右边的点,此时 m ? ?2 ,所以 m ? (? , ?2]. 4
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【点评】:26-30 题属于函数与导数模块。该模块的内容主要包括分段函数、函数的奇 偶性、函数的图象、函数的零点、指对函数、导数应用及新概念问题,上述 6 题考查的内容 基本涵盖该模块中的知识点,且比较全面。 二.填空题(8 道) 31.【参考答案】90 【点评】:统计的有关知识点是高考常考题型,每年考查的内容都有所变化。本题考查了 条形图,求的是平均数,是对前几年考查统计知识点的一个有益补充。 32.【参考答案】2p 【点评】:新课标中,椭圆通常作为压轴题放在解答题中,因此填空题考查的一般都是双 曲线和抛物线的定义。32 题比较新颖同时难度不是很高,符合高考命题的要求。 33. 【参考答案】

3

?

【点评】:新课标不仅爱考查三视图,也喜好考查球,近两年都考查了球的有关问题。本 题一题两考。 34.【参考答案】 64 【点评】:新课标下,二项式问题只是 2011 年考查过,其他年份都没有考查考查,也许 今年会继续考查。二项式的通项公式和求展开式各项系数和,是必须掌握的知识。 35.【参考答案】 3, 6] ( 【点评】:解三角形是高考的重要组成部分,不在客观题考查,就在解答题中出现,尤其 2010 年和 2011 年高考都作为填空题考查。解三角形所涉及的知识点要掌握,如正弦定理、 余弦定理、三角形的面积公式等。 36. 【参考答案】

1 4

【点评】:线性规划是高考重要内容,也是常考内容。此题考查该知识点增加一点变化, 比较好。 37.【参考答案】

2 5

【点评】:条件概率作为高考新增内容,似乎有成为高考热点的趋势,2011 年就有几个 省份在高考中出现该知识点。 38.【参考答案】 1 4 【点评】:推理与证明作为新课标的新增知识点,高考出现是必要的,此题考查了归纳推 理的应用。当然类比推理的定义也要掌握。 三.解答题(12 道) 39.【参考答案】


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的最小值是

, ; ,则 , ,

最小正周期是



, , ,即 . ,

,由正弦定理,得 由余弦定理,得 由解得

【点评】:高考三角类解答题无非就是两种,(1)三角函数题——考查三角函数的性 质或图像;(2)是解三角形,有点省份也会考解三角形的应用题。 40.【参考答案】解:

(1)设公差为 解得 或

。由已知得 (舍去) 所以 ,故

(2)因为

所以

因为



恒成立。即,

,对

恒成立。



所以实数

的最小值为

【点评】:新课标下对数列的考查要求降低,只对等差、等比数列通项和求和要求掌握。 数列求和的方法具有很强的模型(错位相减型、裂项相消型、倒序相加型),建议熟练掌握, 将恒成立问题转化为最值是常用的方法,需要注意. 41.【参考答案】
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解:(I)“一局游戏后,这三个盘中的小球都停在阴影部分”分别记为事件 A1、A2、A3,由

题意知,A1、A2、A3 互相独立,且 P(A1)

,P(A2)

,P(A3)

, ?3 分

P(A1 A2 A3)= P(A1) P(A2) P(A3)

×

×

(II)一局游戏后,这三个盘中的小球都停在阴影部分的事件数可能是 0,1,2,3, 相应的小球没有停在阴影部分的事件数可能取值为 3,2,1,0,所以 ξ 可能的 取值为 1,3,则

P(ξ =3)= P(A1 A2 A3)+ P(

)=P(A1) P(A2) P(A3)+ P(

)P(

)P(

)

×

× +

×

×



P(ξ =1)=1-
所以分布列为

=



ξ

1

3

P

数学期望 Eξ =1×

+3×

=



42.【参考答案】 解: (Ⅰ)记“从 15 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出三天,恰有一天空气质量达到一 级”为事件 A , P ( A) ?
1 2 C5 ? C10 45 ? . 3 C15 91

(Ⅱ) 依据条件, 服从超几何分布: 其中 N ? 15, M ? 5, n ? 3 , 的可能值为 0,1, 2,3 , ? ?
3 C5k C10?k 其分布列为: P ?? ? k ? ? ? k ? 0,1, 2,3? . 3 C15

?
P

0
24 91

1
45 91

2
20 91

3
2 91 10 2 ? , 15 3

(Ⅲ)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为 P ? 一年中空气质量达到一级或二级的天数为? ,则? ~ B(360, )

2 3

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? E? ? 360 ?

2 ? 240 ,?一年中平均有 240 天的空气质量达到一级或二级 3

【点评】:概率题主要考察茎叶图、抽样方法、直方图、统计案例、概率、随机变量 的分布列以及数学期望等基础知识,试题多考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能 力,数据处理能力和应用意识。 43. 【参考答案】 解: (1)如图建立空间直角坐标系 D ? xyz , 则 A ? a, 0, 0 ? , B ? a, a, 0 ? , C ? 0, a, 0 ? , D ? 0, 0, 0 ? , E ? 0, 0, ? a ? ,
S E D A B

???? ??? ? AC ? ? ?a, a, 0 ? , BE ? ? ?a, ?a, ? a ? , ??? ??? ? ? ∴ AC ? BE ? 0 对任意 ? ? ? 0,1? 都成立,
即 AC⊥BE 恒成立; (2)显然 n1 ? ? 0,1, 0 ? 是平面 ADE 的一个法向量, 设平面 ACE 的一个法向量为 n2 ? ? x, y, z ? , ∵ AC ? ? ?a, a, 0 ? , AE ? ? ? a, 0, ? a ? ,

C

??

?? ?

????

??? ?

?? ???? ? ?n2 ? AC ? 0 ? ?ax ? ay ? 0 ?x? y ?0 ? ∴ ? ?? ??? , ?? ?? ? ? n2 ? AE ? 0 ??ax ? ? az ? 0 ? x ? ? z ? 0 ? ? ?? ? 取 z ? 1,则 x ? y ? ? , n2 ? ? x, y, z ? ? ? ? , ? ,1? ,
∵二面角 C-AE-D 的大小为 60 ,
?

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 ? 1 2 ∴ cos n1 , n2 ? ?? ?? ? , ? , ? ? ? 0,1? ? ? ? ? 2 2 2 n1 n2 1 ? 2?
∴? ?

2 为所求。 2

【点评】 :空间几何体的解答题一般以柱体或锥体为背景,考查线面、面面关系,空间 角和距离等,主要用向量方法来处理。 44.【参考答案】 解: (Ⅰ)设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,则点 Q 的坐标为 ( x, 2 y ) ,
???? ??? ? 依据题意,有 AQ ? ( x ? 1, 2 y ), BQ ? ( x ? 1, 2 y ). ???? ??? ? ? AQ ? BQ ? 1,? x 2 ? 1 ? 2 y 2 ? 1.

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?动点 P 所在曲线 C 的方程是

x2 ? y 2 ? 1. 2
2 2 ,故有 l : y ? ? ( x ? 1). 2 2

(Ⅱ)因直线 l 过点 B ,且斜率为 k ? ?

? x2 2 ? 2 ? y ?1 ? 联立方程组 ? ,消去 y ,得 2 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0. ? y ? ? 2 ( x ? 1) ? ? 2
? x1 ? x2 ? 1 ? x1 ? x2 ? 1 ? ? 设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) ,可得 ? 1 ,于是 ? 2. x1 x2 ? ? ? y1 ? y2 ? ? ? 2 ? 2
???? ???? ???? ???? ? ? 2 又 OM ? ON ? OH ? 0 ,得 OH ? ( ? x1 ? x2 , ? y1 ? y2 ), 即 H ( ?1, ? ) 2

而点 G 与点 H 关于原点对称,于是,可得点 G (1, 若线段 MN 、 GH 的中垂线分别为 l1 和 l2 , kGH ?
l1 : y ? 2 1 ? 2( x ? ), l2 : y ? ? 2 x. 4 2

2 ). 2 2 ,则有 2

? 2 1 ? 2( x ? ) 1 2 ?y ? 联立方程组 ? ). 4 2 ,解得 l1 和 l2 的交点为 O1 ( , ? 8 8 ? y ? ? 2x ?
9 3 2 2 3 11 ) ? , 因此,可算得 | O1 H |? ( ) 2 ? ( 8 8 8

1 2 2 3 11 | O1 M |? ( x1 ? )2 ? ( y1 ? ) ? . 8 8 8

1 2 3 11 所以 M 、 G 、 N 、 H 四点共圆,且圆心坐标为 O1 ( , ? ), 半径为 . 8 8 8 45. 【参考答案】 解: (1)设抛物线的标准方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,

由题意,得

p ? 1 ,即 p ? 2 . 2

所以抛物线的标准方程为 y 2 ? 4 x .??3 分 (2)设 A( x1,1 ) , B( x2, 2 ) ,且 y1 ? 0 , y2 ? 0 . y y

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由 y2 ? 4x ( y ? 0 ) ,得 y ? 2 x ,所以 y ? ? 1 . x 所以切线 AC 的方程为 y ? y1 ? 1 ( x ? x1 ) ,即 y ? y1 ? 2 ( x ? x1 ) . y1 x1 整理,得 yy1 ? 2( x ? x1 ) , 且 C 点坐标为 (? x1, . 0) 同理得切线 BD 的方程为 yy2 ? 2( x ? x2 ) ,② 且 D 点坐标为 (? x2, . 0) 由①②消去 y ,得 xM ? 又直线 AD 的方程为 y ? 直线 BC 的方程为 y ?
x1 y2 ? x2 y1 . y1 ? y2 y1 ( x ? x2 ) ,③ x1 ? x2



y2 ( x ? x1 ) . x1 ? x2 x1 y2 ? x2 y1 . y1 ? y2



由③④消去 y ,得 xN ?

所以 xM ? xN ,即 MN ? x 轴. (3)由题意,设 M (1, 0 ) ,代入(1)中的①②,得 y0 y1 ? 2(1 ? x1 ) , y0 y2 ? 2(1 ? x2 ) . y 所以 A( x1,1 ), ( x2,2 ) 都满足方程 y0 y ? 2(1 ? x) . y B y 所以直线 AB 的方程为 y0 y ? 2(1 ? x) . 故直线 AB 过定点 (?1, . 0) 【点评】 :新课标高考中, 解析几何大题多考椭圆和抛物线, 常和向量等结合考查其轨迹、 标准方程、简单的几何性质等基础知识,同时考查了学生运算求解、推理论证的能力. 46. 【参考答案】 [解析]: (1)

1 1 当 当 0 f '( x) ? ln x ? 1 , x ? (, ) , f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, x ? ( , ??) , f '( x) ? 0 , e e

f ( x) 单调递增.

1 ① 0 ? t ? t ? 2 ? ,t 无解; e
② 0?t ? ③

1 1 1 1 ? t ? 2 ,即 0 ? t ? 时, f ( x)min ? f ( ) ? ? ; e e e e

1 1 ? t ? t ? 2 ,即 t ? 时, f ( x) 在 [t , t ? 2] 上单调递增, f ( x)min ? f (t ) ? t ln t ; e e

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所以 f ( x)min

1 ? 1 ?? e , 0 ? t ? e ? . ?? ?t ln t,t ? 1 ? e ?

(2)

2x ln x ? ? x2 ? ax ? 3 ,则 a ? 2ln x ? x ?
设 h( x) ? 2ln x ? x ? ( x ? 0) ,则 h '( x ) ?

3 , x

3 x

( x ? 3)(x ? 1) , x ? (0,1) , h '( x) ? 0 , h( x ) 单 x2

调递减, x? (1, ??) , h '( x) ? 0 , h( x ) 单调递增,所以 h( x) min ? h(1) ? 4 . 因为对一切 x? (0, ??) , 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,所以 a ? h( x)min ? 4 . (3) 问题等价于证明 x ln x ?

x 2 ? ( x ? (0, ??)) ,由⑴可知 f ( x) ? x ln x( x ? (0, ??)) 的 ex e

1 1 最小值是 ? ,当且仅当 x ? 时取到. e e
设 m( x) ?

x 2 1? x 1 则 'x 易得 m( x)max ? m(1) ? ? , 当且仅当 x ? 1 时 ? ( x ? (0, ??)) , m( ) ? x , x e e e e 1 2 ? 成立. e x ex

取到,从而对一切 x? (0, ??) ,都有 ln x ? 47. 【参考答案】 解: ⑴∵ f ( x) ?
mx x ?n
2

,∴ f ?( x) ?

m( x ? n) ? mx ? 2 x ( x ? n)
2 2

2

?

mn ? mx ( x ? n)
2

2

2

.又 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值 2 .

? m( n?1) ? 0 4x ? ? f ?(1) ? 0 2 ∴? ,即 ? (1? n) ,解得 n ? 1 , m ? 4 ,经检验满足题意,∴ f ( x) ? 2 . m ?2 x ?1 ? f (1) ? 2 ?1? n ?
⑵由⑴知 f ?( x) ?
4 ? 4x
2 2 2

( x ? 1)

.假设存在满足条件的点 A ,且 A( x0 ,
2

4 x0
2 x0

?1

) ,则 kOA ?
2

4
2 x0

?1

,

又 f ?(

x0

)? x 0 2

x0 2 4 ? 4( 2 )
2 2

[( 2 ) ? 1]

?

16(4 ? x0 ) ( x0 ? 4)
2 2

.则由 kOA ? f ?(

x0 2

) ,得

4
2 x0

?1

?

16(4 ? x0 )
2 ( x0

? 4)

2

4 2 ,∴ 5 x0 ? 4 x0 ,∵

x0 ? 0 ,
2 ∴ x0 ?

4 5

, 得 x0 ? ?
8 5 9

2 5 5

.故存在满足条件的点 A ,此时点 A 的坐标为 (

2 5 8 5 5

,

9

) 或

(?

2 5 5

,?

).
?4( x ? 1)( x ? 1) ( x ? 1)
2 2

⑶解法 1 : f ?( x) ?

,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1 或 x ? 1 .

当 x 变化时, f ?( x) 、 f ( x) 的变化情况如下表:
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x
f ?( x)

(??, ?1)
?

?1
0
极小值

(?1,1)

1
0
极大值

(1, ??)
?

?
单调递增

f ( x)

单调递减

单调递减

∴ f ( x) 在 x ? ?1 处取得极小值 f (?1) ? ?2 ,在 x ? 1 处取得极大值 f (1) ? 2 . 又 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,∴ f ( x) 的最小值为 f (?1) ? ?2 . ∵对于任意的 x1 ? R ,总存在 x2 ?[?1,1] ,使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) ,∴当 x ?[?1,1] 时, g ( x) 最小值 不大于 ?2 .又 g ( x) ? x 2 ? 2ax ? a ? ( x ? a)2 ? a ? a 2 . ∴当 a ? ?1 时, g ( x) 的最小值为 g (?1) ? 1 ? 3a ,由 1 ? 3a ? ?2 ,得 a ? ?1 ; 当 a ? 1 时, g ( x) 最小值为 g (1) ? 1 ? a ,由 1 ? a ? ?2 ,得 a ? 3 ; 当 ?1 ? a ? 1 时, g ( x) 的最小值为 g (a) ? a ? a 2 .由 a ? a 2 ? ?2 ,即 a2 ? a ? 2 ? 0 ,解得 a ? ?1 或 a ? 2 .又 ?1 ? a ? 1 ,∴此时 a 不存在. 综上, a 的取值范围是 (??, ?1] ? [3, ??) . 解法 2 :同解法 1 得 f ( x) 的最小值为 ?2 . ∵对于任意的 x1 ? R ,总存在 x2 ?[?1,1] ,使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) ,∴当 x ?[?1,1] 时, g ( x) ? ?2 有 解,即 x2 ? 2ax ? a ? 2 ? 0 在 [?1,1] 上有解.设 h( x) ? x 2 ? 2ax ? a ? 2 ,则

? ? ? 4a 2 ? 4( a ? 2) ? 4( a ? 1)( a ? 2) ? 0 ? ? ?1 ? a ? 1 得 a ?? , ? ? h(?1) ? 3a ? 3 ? 0 ? h(1) ? ? a ? 3 ? 0 ?
或 h(?1)h(1) ? (3a ? 3)(?a ? 3) ? 0 ,得 a ? ?1 或 a ? 3 . ∴ a ? ?1 或 a ? 3 时 , x2 ? 2ax ? a ? 2 ? 0 在 [?1,1] 上 有 解 , 故 a 的 取 值 范 围 是

(??, ?1] ? [3, ??) .
解法 3 :同解法 1 得 f ( x) 的最小值为 ?2 . ∵ 对 于 任 意 的 x1 ? R , 总 存 在 x2 ?[?1,1] , 使 得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) , ∴ 当 x ?[? 1 , 1 ] 时 , g ( x) ? x 2 ? 2ax ? a ? ?2 有 解 , 即 (2 x ? 1)a ? x 2 ? 2 在 [?1,1] 上 有 解 . 令 2x ? 1 ? t , 则

x2 ?

t ? 2t ? 1 4

2

,∴ at ?

t ? 2t ? 9 4

2

, t ?[?3,1] .
9 t 1 1 9 t 9 4

∴当 t ?[?3,0) 时, a ? (t ? 2 ? ) ? ? [(?t ) ? (? )] ? ?1 ;当 t ? 0 时,得 0 ?
4 2 4

1

,不成立,∴

a 不存在;
当 t ? (0,1) 时, a ? (t ? 2 ? ) .令 ? (t ) ? t ? 2 ? , t ? (0,1] ,∵ t ? (0,1] 时, ? ?( x) ? 1 ?
4 t t 1 9 9 9 t
2

?0,

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∴ ? (t ) 在 (0,1] 上为减函数,∴ ? (t ) ? ? (1) ? 12 ,∴ a ? ? 12 ? 3 .
4 1

综上, a 的取值范围是 (??, ?1] ? [3, ??) . 【点评】:导数题常放在高考解答题的最后一题,主要考查导数的几何意义、导数的求法 以及导数在研究函数的性质和证明不等式等方面的应用, 考查等价转化、 分类讨论等数学思 想方法以及分析问题与解决问题的能力. 48. 【参考答案】 (1)证明:连接 AB , Q AC 是 e O1 的切线,??BAC ? ?D . 又 Q ?BAC ? ?E,??D ? ?E.? AD / / EC. (2) Q PA 是 e O1 的切线, PD 是 e O2 的割线,

? PA2 ? PBgPD.? 62 ? PBg( PB ? 9) .? PB ? 3 .又 e O2 中由相交弦定理,
得 PAgPC ? BPgPE ,? PE ? 4 . Q AD 是 e O2 的切线, DE 是 e O2 的割线,

? AD2 ? DBgDE ? 9 ?16. ? AD ? 12.
【点评】:几何证明选讲主要考查圆内接四边行、圆的切线性质、圆周角与弦切角等性 质、相似三角形、弧与弦的关系、试题分两问,难度不大,图形比较简单,可以考作辅助线, 但非常简单。 49. 【参考答案】 解.(I) ? 的普通方程为 y ? 联立方程组 则 | AB |? 1 .

3 ( x ? 1), C1 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 1.

? y ? 3 ( x ? 1), 1 3 ? 解得 ? 与 C1 的交点为 A(1,0) , B ( ,? ), ? 2 2 2 2 ? x ? y ? 1, ?

? ?x? ? (II) C2 的参数方程为 ? ?y ? ? ?
从而点 P 到直线 ? 的距离是

1 cos ? , 1 3 2 sin ? ) , (? 为参数).故点 P 的坐标是 ( cos ? , 3 2 2 sin ? . 2

d?

|

3 3 cos ? ? sin ? ? 3 | 3 ? 2 2 ? [ 2 sin(? ? ) ? 2] , 2 4 4

由此当 sin(? ?

?
4

) ? ?1 时, d 取得最小值,且最小值为

6 ( 2 ? 1) . 4

【点评】:坐标系与参数方程就坐标系而言, 主要考查极坐标系与直角坐标系的坐标和 方程的互化,在 极坐标系下的点与线,线与圆的位置关系;就参数方程而言,主要考查参
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数方程与普通方程的互化,圆、椭圆、直线参数的几何意义,直线的参数方程在直线与圆锥 曲线的位置关系中,弦长、割线长等的计算问题。坐标系与参数方程轮换考或结合起来考。 50. 【参考答案】 解:

??2 x ? 1, x ? ?1 ? (1)由题意 x ? 1 + x ? 2 ? 5 ? 0 ,令 g ( x) ? x ? 1 + x ? 2 ? ? 3, ?1 ? x ? 2 ? 2 x ? 1, x ? 2 ? 解得 x ? 3 或 x ? ?2 ,?函数的定义域为 ? x | x ? 3或x ? ?2?
(2) Q f ( x) ? 1 ,? log 2 ( x ? 1 + x ? 2 ? m) ? 1 ? log 2 2 ,即 x ? 1 + x ? 2 ? m ? 2 . 由题意,不等式 x ? 1 + x ? 2 ? m ? 2 的解集是 R , 则 m ? x ? 1 + x ? 2 ? 2 在 R 上恒 成立. 而 x ? 1 + x ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 1 ,故 m ? 1 . 【点评】:不等式选讲近三年主要考查的是解绝对值不等式,但随着参与新课标全国卷 的省份的增加,也会考查比较法、综合法和分析法等不等式方法,但柯西不等式、排序 不等式等还不会在新课标全国卷里考。

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