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第四章-导热问题的数值解法-1


第四章
主要内容包括

导热问题的数值解法

? 导热问题数值求解的基本思路及内节点离散方程 的建立 ? 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解 ? 非稳态导热问题的数值求解

§ 4-0 引言
1 求解导热问题的三种基本方法:(1) 理论分析法;(2) 求解导热问题的三种基本方法: 理论分析法; 数值计算 法;(3) 实验法 ? 所谓理论分析方法,就是在理论分析的基础上,直接 所谓理论分析方法,就是在理论分析的基础上, 对微分方程在给定的定解条件下进行积分, 对微分方程在给定的定解条件下进行积分,这样获得 的解称之为分析解,或叫理论解; 的解称之为分析解,或叫理论解; ? 数值计算法,把原来在时间和空间连续的物理量的场, 数值计算法,把原来在时间和空间连续的物理量的场, 用有限个离散点上的值的集合来代替, 用有限个离散点上的值的集合来代替,通过求解按一 定方法建立起来的关于这些值的代数方程, 定方法建立起来的关于这些值的代数方程,从而获得 离散点上被求物理量的值,并称之为数值解; 离散点上被求物理量的值,并称之为数值解;

? 实验法。 就是在传热学基本理论的指导下,采用对 实验法。 就是在传热学基本理论的指导下, 所 研究对象的传热过程进行实验求量的方法; 研究对象的传热过程进行实验求量的方法; 2 三种方法的特点 (1) 分析法 ? 能获得所研究问题的精确解,可以为实验和数值计 能获得所研究问题的精确解, 算提供比较依据; 算提供比较依据; ? 局限性很大,对复杂的问题无法求解; 局限性很大,对复杂的问题无法求解; ? 分析解具有普遍性,各种情况的影响清晰可见 分析解具有普遍性,

(2) 数值法:在很大程度上弥补了分析法的缺点。 数值法:在很大程度上弥补了分析法的缺点。

? 适应性强,特别对于复杂问题更显其优越性; 适应性强,特别对于复杂问题更显其优越性; ? 与实验法相比成本低; 与实验法相比成本低; (3) 实验法 是传热学的基本研究方法。 实验法: 是传热学的基本研究方法。 ? 适应性不好; 适应性不好; ? 费用昂贵; 费用昂贵; 常用的数值解法包括: 常用的数值解法包括: ? 有限差分法(finite-difference)、 有限差分法( )、 ? 有限元法(finite-element) 、 有限元法( ) ? ? 边界元法( 边界元法(boundary- element)、 )、 分子动力学模拟( 分子动力学模拟(MD) )

§4-1 导热问题数值求解的基本思想 及内部节点离散方程的建立
1建立控制方程及定解条件 4设立温度场的迭代初值 2确定节点(区域离散化) 3建立节点物理量的代数方程

5求解代数方程

改进初场 否

是否收敛 是 解的分析

物理问题的数值求解过程

2 例题条件

y

h3 t f

t0

h2 t f

h1t f

x

二维矩形域内稳态无内热源, 二维矩形域内稳态无内热源,常物性的导热问题

基本概念:控制容积、网格线、节点、界面线、 3 基本概念:控制容积、网格线、节点、界面线、步长
N
(m,n)

n

?y
y

x

?x

m

M

二维矩形域内稳态无内热源, 二维矩形域内稳态无内热源,常物性的导热问题

建立离散方程的常用方法: 4 建立离散方程的常用方法:

Taylor(泰勒)级数展开法; (1) Taylor(泰勒)级数展开法; 多项式拟合法; (2) 多项式拟合法; (3) 控制容积积分法; 控制容积积分法; 控制容积平衡法(也称为热平衡法 热平衡法) (4) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)

(1) Taylor(泰勒)级数展开法 Taylor(泰勒)

若取上面式右边的前三项,并将式①和式③ 若取上面式右边的前三项,并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分: 移项整理即得二阶导数的中心差分:
? 2t ?x 2 t m +1,n ? 2 t m ,n + t m ?1,n = + o(?x 2 ) ?x 2

m ,n

同理可得: 同理可得:

截断误差 未明确写出的级数余项 的最低阶数为2 中的ΔX的最低阶数为2

? 2t tm,n+1 ? 2tm,n + tm,n?1 = + o(?y 2 ) ?y 2 m,n ?y 2

对于二维稳态导热问题,在直角坐标中, 对于二维稳态导热问题,在直角坐标中,其导热 微分方程为: 微分方程为:

& ? 2t ? 2t Φ v + + =0 2 2 ?x ?y λ
其节点方程为: 其节点方程为:

t i + 1 , j ? 2t i , j + t i ?1 , j

?x

2

+

t i , j + 1 ? 2t i , j + t i , j ?1

?y 2

& Φ v ,i , j + =0 λ

(2) 控制容积平衡法 热平衡法) 控制容积平衡法(热平衡法 热平衡法
基本思想:对每个有限大小的控制容积应用能量守恒, 基本思想:对每个有限大小的控制容积应用能量守恒, 从而获得温度场的代数方程组, 从而获得温度场的代数方程组,它从基本物理现象和 基本定律出发,不必事先建立控制方程, 基本定律出发,不必事先建立控制方程,依据能量守 恒和Fourier导热定律即可。 导热定律即可。 恒和 导热定律即可 能量守恒:流入控制体的总热流量+ 能量守恒:流入控制体的总热流量+控制体内热源生 成热= 流出控制体的总热流量+控制体内能的量 成热= 流出控制体的总热流量+ 即:

Φi + Φ

v

= Φ

o

+ Φτ

单位: 单位: [ W ]

Φ i + Φ v = Φ o + Φ τ ? Φ i + (?Φ o ) + Φ v = Φ τ
即:从所有方向流入控制体的总热流量 + 控制体内热源生成热 = 控制体内能的增量 注意: 注意:上面的公式对内部节点和边界节点均适用

稳态、无内热源时: 稳态、无内热源时: 从所有方向流入控制体的总热流量= 从所有方向流入控制体的总热流量=0

内部节点: 内部节点: Φm?1,n + Φm+1,n + Φm,n?1 + Φm,n+1 = 0
(m,n+1)

?y
(m-1,n) (m, n) (m+1,n)

?y
(m,n-1)

y o

?x

?x

x

Φ上 + Φ下 + Φ左+Φ右 = 0

以二维、稳态、 以二维、稳态、有内热源的导热问题为例 此时: 此时:

Φ上 + Φ下 + Φ左+Φ右 + Φv = 0
注意:各项热流量都以导入元体( 注意:各项热流量都以导入元体(m,n)的方向为正。 )的方向为正。

dt dt Φ 左 = ? λ A = ? λ ?y dx dx
用差分代替微分, 用差分代替微分,有

dt ?t tm ?1,n ? tm,n = = dx ?x ?x



dt ?t = lim ) ?x → 0 ?x dx

节点越多, 越小, 节点越多, ?x 越小,
(m,n+1)

tm ?1,n ? tm ,n ?x
Φ左

dt 越接近 dx 。
dt t m ?1,n ? t m ,n = ? λ?y = λ ?y dx ?x t m +1,n ? t m ,n λ?y ?x

?y
(m-1,n) (m, n)

(m+1,n) Φ 右 =

?y
(m,n-1)

Φ上 Φ下

t m ,n +1 ? t m ,n = λ ?x ?y t m ,n ?1 ? t m ,n = λ ?x ?y

y o

?x

?x

x
二维导热区域为单位厚度

& & Φ 内热源: 内热源: v = Φ ? V = Φ ? ?x?y

由于 即有

Φ上 + Φ下 + Φ左+Φ右 + Φv = 0
λ ?y
t m ?1,n ? t m ,n ?x ?y ?y + λ ?y t m +1,n ? t m ,n ?x + λ ?x t m , n +1 ? t m ,n ?y

+ λ ?x

t m ,n ?1 ? t m ,n

& + Φ ?x ? y = 0

当 ?x = ?y 时: 有 整理得

tm?1,n + tm+1,n + tm ,n+1 + tm ,n?1 ? 4tm ,n +

?x 2

4tm ,n

λ ?x 2 & = tm?1,n + tm+1,n + tm ,n+1 + tm ,n?1 + Φ

& Φ=0

λ

若无内热源, 若无内热源,则由上式

4 t m , n = t m ? 1 , n + t m + 1 , n + t m , n + 1 + t m , n ?1 +
可得: 可得:

?x 2

λ

& Φ

4tm ,n = tm?1,n + tm+1,n + tm ,n+1 + tm ,n?1
说明: 说明:所求节点的温度前的系数等于其他所有 相邻节点温度前的系数之和。 相邻节点温度前的系数之和。这一结论也适用 于边界节点。但不包括热流 或热流密度 或热流密度)前的 于边界节点。但不包括热流(或热流密度 前的 系数。 系数。

4-2 边界节点离散方程的建立及代数 方程的求解
对于第一类边界条件的热传导问题,处理比较简单,因为 对于第一类边界条件的热传导问题,处理比较简单, 已知边界的温度, 已知边界的温度,可将其以数值的形式加入到内节点的离 散方程中,组成封闭的代数方程组,直接求解。 散方程中,组成封闭的代数方程组,直接求解。 而对于第二类边界条件或第三类边界条件的热传导问题, 而对于第二类边界条件或第三类边界条件的热传导问题, 就必须用热平衡的方法,建立边界节点的离散方程, 就必须用热平衡的方法,建立边界节点的离散方程,边界 节点与内节点的离散方程一起组成封闭的代数方程组, 节点与内节点的离散方程一起组成封闭的代数方程组,才 能求解。 能求解。 为了求解方便, 为了求解方便,我们将第二类边界条件及第三类边界条件 合并起来考虑, 合并起来考虑,用qw表示边界上的热流密度或热流密度 表达式。用Φ表示内热源强度。 表达式。 表示内热源强度。

1.边界节点离散方程的建立: 1.边界节点离散方程的建立: 边界节点离散方程的建立
qw

(1) 平直边界上的节点
tm?1,n ? tm ,n + ?yqw λ?y ?x ?x tm ,n+1 ? tm ,n ?x tm ,n?1 ? tm ,n +λ +λ 2 ?y 2 ?y ?x & m ,n ?y = 0 +Φ 2

qw

y x

?x = ?y ?
4tm ,n = 2tm?1,n + 2?x & qw + tm ,n+1 + tm ,n?1 + Φm ,n ?x 2

λ

λ

(2) 外部角点
qw

? y t m ?1 , n ? t m , n ?y + qw λ 2 ?x 2 ?x ? x t m , n ?1 ? t m , n + qw + λ 2 2 ?y ?x ?y & m ,n +Φ ? = 0 2 2
?x = ?y ?

y x

2tm ,n

?x 2 & = t m?1,n + t m ,n?1 + qw + Φm ,n λ 2λ

2 ?x

(3) 内部角点
qw

tm?1,n ? tm ,n ? ?y tm+1,n ? tm ,n ?y ? λ?y + ?λ + qw ? 2 ?x ?x ? 2 ? tm ,n+1 ? tm ,n ? ?x tm ,n?1 ? tm ,n ?x ? + λ?x + ?λ + qw ? 2 ?y ?y ? 2 ? 3?x?y & m ,,n +Φ n =0 4

?x = ?y ?
y x

t m ,n

1 = ( 2 t m ?1,n + 2 t m ,n +1 + t m ,n ?1 + t m +1,n 6 3? x 2 2?x 2 & + Φ+ qw ) 2λ λ

的情况: Qw 的情况:
第二类边界条件: (1) 第二类边界条件:将

qw = const ,带入上面各式即可
, qw = h(t f ? tm ,n )带入上面各式即可

(绝热或对称边界条件)? 绝热或对称边界条件)? (2)第三类边界条件: (2)第三类边界条件:将 第三类边界条件

(3) 辐射边界条件: qw = const 辐射边界条件:

qw = εσ (T f4 ? Tm4,n )

作业: 作业: (1)将
qw = h(t f ? tm ,n ) 带入外部角点的温度离

散方程, 散方程,并化简到最后的形式 (2)(4-6);(4-9) (4-6);(4-



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