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高一数学必修一、必修二期末考试试卷

高一数学必修一、必修二期末考试试卷
一、 时量:115 分钟 选择题: (本大题共 8 小题,每小题 3 分)
α // β ? ? ? m // β m ?α?
m ?α? ? ? m, n 异面 n?β ? m // n ? ? ? n // β m // β ?

1.已知不同直线 m 、 n 和不同平面 α 、 β ,给出下列命题: ① ②





α ⊥ β? ?? m ⊥ β m // α ?

其中错误的命题有( )个 A.0 B.1 C.2 2.直线 l 过点 A(3,0) 和点 B (0, 2) ,则直线 l 的方程是( ) A. 2 x + 3 y ? 6 = 0 B. 3x + 2 y ? 6 = 0 D. 3x + 2 y ? 1 = 0 C. 2 x + 3 y ? 1 = 0 3.两条平行线 l1 : 4 x ? 3 y + 2 = 0 与 l2 : 4 x ? 3 y ? 1 = 0 之间的距离是( A.3 B.

D.3



3 1 C. D.1 5 5 4.直线 l 的方程为 Ax + By + C = 0 ,当 A > 0 , B < 0 , C > 0 时,直线 l 必经过(



A.第一、二、三象限 C.第一、三、四象限

B.第二、三、四象限 D.第一、二、四象限 )

5. O1 : x 2 + y 2 ? 4 x ? 6 y + 12 = 0 与 O2 : x 2 + y 2 ? 8 x ? 6 y + 16 = 0 的位置关系是( A.相交 B.外离 C.内含 6.长方体的长、宽、高分别为 5、4、3,则它的外接球表面积为(
25 125 2 π B.50 π C. π 2 3 7.点 P(7, ?4) 关于直线 l : 6 x ? 5 y ? 1 = 0 的对称点 Q 的坐标是( B. (2,3) C. (?5, 6) A. (5,6)

D.内切 ) D.
50 π 3

A.

) D. (?2,3)

8.已知 C : x 2 + y 2 ? 4 x ? 2 y ? 15 = 0 上有四个不同的点到直线 l : y = k ( x ? 7) + 6 的距离等于
5 ,则 k 的取值范围是(

) B. (?2, +∞)
1 D. (?∞, ) U (2, +∞) 2

A. (?∞, 2)
1 C. ( , 2) 2

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二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 3 分) 9.如图的空间直角坐标系中,正方体棱长为 2,
| PQ |= 3 | PR | , 则点 R 的空间直角坐标为

.

10. 过 点 (5, 2) 且 在 x 轴 上 的 截 距 是 在 y 轴 上 的 截 距 的 2 倍 的 直 线 方 程 是 . .

11.过三点 (?2, 0), (6, 0), (0, ?6) 的圆的方程是

12.棱长为 a 的正方体中,把相邻面的中心连结起来,以这些线段为棱的八面体 的体积为 13. 为 .
O2 : x 2 + y 2 ? 4 x ? 4 y ? 2 = 0 的 公 共 弦 长

O1 : x 2 + y 2 + 2 x + 8 y ? 8 = 0 与

.

14.曲线 y = 2 + 3 + 2 x ? x 2 与直线 y = k ( x ? 1) + 5 有两个不同交点时,实数 k 的取值 范围是 .

15.将半径都为 2 的 4 个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体 的高的最小值为 .

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高一数学期末考试答卷
第一卷
一、选择题: 题号 答案 二、填空题: 9. 11. 13. 15. 三、解答题(本大题共 7 小题,第 16、18、19、20 题每小题 8 分,第 17、21 题每小题 9 分,第 22 题 5 分) 16. 在四面体 ABCD 中, 已知棱 AC 的长为 2 , 其余各棱长都为 1, 求二面角 B ? AC ? D 的 大小. 10. 12. 14.

1

2

3

4

5

6

7

8

请各监考老师注意:一定按装订点装订、订牢

班 级

姓 名

学 号

考室号

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座位号
17. (1)过点 P(2, 4) 向圆 O : x + y = 4 作切线,求切线的方程;
2 2

(2)点 P 在圆 x 2 + y 2 + 4 x ? 6 y + 12 = 0 上,点 Q 在直线 4 x + 3 y = 21 上,求 | PQ | 的最小 值.

18.在四面体 ABCD 中, CB = CD , AD ⊥ BD ,且 E 、 F 分别是 AB 、 BD 的中点. 求证: 1)直线 EF // 面 ACD ; 2)面 EFC ⊥ 面 BCD . ( (

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第二卷
19.已知圆 C : ( x ? 2) 2 + ( y ? 3) 2 = 25 ,直线 l : (4λ + 2) x + (3 ? 5λ ) y ? 2λ ? 12 = 0 . (1)求证:直线 l 与圆 C 恒相交; (2)求直线 l 被圆 C 截得的弦长最短时 λ 的值以及最短弦长.

20.如图,在五面体 ABCDEF 中, FA ⊥ 平面 ABCD , AD // BC // FE , AB ⊥ AD , M 为 EC

的中点, AF = AB = BC = FE =

1 AD . 2

(1)求异面直线 BF 与 DE 所成角的大小; (2)证明:平面 AMD ⊥ 平面 CDE ; (3)求 MD 与平面 ABCD 所成角的正弦值.

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21. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 C1 : ( x + 3) 2 + ( y ? 1) 2 = 4 和圆 C2 : ( x ? 4) 2 + ( y ? 5) 2 = 4 . (1)若直线 l 过点 A(4, 0) ,且被圆 C1 截得的弦长为 2 3 ,求直线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2 ,它们分 别与圆 C1 和圆 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等, 试求所有满足条件的点 P 的坐标.

22.已知 a > 0 , b > 0 且 a + 3b = 2ab ,求 a + b ? a 2 + b 2 的最大值.

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高一数学期末考试参考答案
一、选择题: 题号 答案 二、填空题: 4 4 9. ( , 2, ) 3 3
12.

1 D

2 A

3 B

4 A

5 D

6 B

7 C

8 C

10. 2 x ? 5 y = 0 或 x + 2 y ? 9 = 0 ;

11. x 2 + y 2 ? 4 x + 4 y ? 12 = 0 ;
15. 8 + 4 6. 3

a3 5 3 3 5 13. 2 5 14. ( , ] U [? , ? ) ; 6 2 2 2 2 三、解答题 16.略解:90 ° 17. 1) x = 2 或 3x ? 4 y + 10 = 0 ; 2) | PQ | 的最小值为 3. ( (
18.证略 19. 1)直线 l 过定点 (3, 2) ,而 (3, 2) 在圆 C 内部,故 l 与圆 C 恒相交; (

(2)弦长最短时,弦心距最长,设 P (3, 2) ,则当 l ⊥ CP 时,弦长最短,此时 ? 得 λ = 5 ,弦长最短 2 23 .
20. 1) ; 2) (3) ( 60° ( 略; MD =

4λ + 2 =1 3 ? 5λ

3 6 1 6 ED = AF , 到面 ABCD 的距离是 AF , sin θ = M 故 . 2 2 2 6 21. 1)直线 l : y = 0 或 7 x + 24 y ? 28 = 0 ; ( 1 ( 2 )设 P (a, b) , l1 : y ? b = k ( x ? a) , l2 : y ? b = ? ( x ? a)(k ≠ 0) ,因为两圆半径相等,故 k 1 | 5 + (4 ? a) ? b | |1 ? k (?3 ? a) ? b | k = 整 理 得 |1 + 3k + ak ? b |=| 5k + 4 ? a ? bk | , 故 2 1 1+ k 1+ 2 k 1 + 3k + ak ? b = 5k + 4 ? a ? bk 或 1 + 3k + ak ? b = ?5k ? 4 + a + bk ,即 (a + b ? 2) k = b ? a + 3 或

?a + b ? 2 = 0 ?a ? b + 8 = 0 (a ? b + 8)k = a + b ? 5 ,因为 k 的取值有无穷多个,故 ? 或? ,得 ?b ? a + 3 = 0 ?a + b ? 5 = 0 5 1 3 13 P ( , ? ) 或 P2 (? , ) . 1 2 2 2 2 3 1 2 + 2 = 1 ? 直线 x + y = 1 过点 P( 3 , 1 ) , 22. a + 3b = 2ab ? a b a b 2 2

如图可知 a + b ? a 2 + b 2 即为 Rt ?AOB 的内切圆直径,由直观易 知, 当内切圆恰与动直线 AB 相切于定点 P 时, 内切圆直径最大设 所 示 圆 圆 心 (r , r ) , 则 r = (r ?
r 2 ? ( 3 + 1)r + 1 = 0 ,取较小根 r = 3 2 1 ) + (r ? ) 2 2 2



3 +1? 2 3 (较大根是 ?AOB 的旁切圆半径) ,故所求 2

最大值 3 + 1 ? 2 3
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