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四川省双流中学2016届高三数学3月月考试题 文

四川省双流中学 2016-2017 学年高三(下)3 月月考试题 数学试题(文史类)
本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.考生作答时,须将答案 答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第 I 卷(选择题 共 50 分) 注意事项:必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的.

2 1.设集合 A ? y y ? log 2 x , B ? x | x ? 1 ? 0 ,则 A ? B 等于 ▲

?

?

?

?

A. R

B. (0, ??)

C. (0,1)

D. (?1, 1)

?y ? 2 ? 2.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 3x ? y 的最大值为 ▲ ?x ? y ? 1 ?
A. 12 B. 11 C. 3
?

D. ?1

3. 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45 , 腰和上底均为 1 的等腰梯形, 那么原平面图形的面积是 ▲ A. 2 ?

2

B.

1? 2 2

C.

2? 2 2

D. 1 ? 2

4.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是 ▲ A. 4 B. ? C. ?2 D. ?? 5.设不等式组 ?

?0 ? x ? 2 表示平面区域为 D,在区域 D 内 ?0 ? y ? 2
B.

随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是 ▲

A.

? 4
?
2

4 ?? 4

C.

? 6

D.

? ?2
2

6.已知 ?,? 均为锐角,若 p : sin ? ? sin(? ? ? ) ,

q :? ? ? ?

.则 p 是 q 的



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知平面 ? 外不 . 共线的三点 A,B,C 到 ? 的距离都相等,则正确的结论是 ▲

??? ? ???? ??? ? ???? ? ??? ? ???? AB AC ??? AB AC 1 8.已知非零向量 AB 与 AC 满足 ( ??? ? ? ???? )?BC ? 0 ,且 ??? ? ? ???? ? ,则△ABC AB AC AB AC 2

A.平面 ABC 必平行于 ? C.平面 ABC 必不垂直于 ?

B.平面 ABC 必与 ? 相交 D.存在△ABC 的一条中位线平行于 ? 或在 ? 内

1

为 ▲ A. 等边三角形 形

B.直角三角形

C.等腰非等边三角形

D. 三边均不相等的三角

9.已知 A, B, C 三点在曲线 y= x 上,其横坐标依次为 1, m, 4 (1 ? m ? 4) ,当 ?ABC 的 面积最大时, m 的值为 ▲

3 5 C. D. 3 2 2 10 .已知函数 f ( x) = ax3 + 2bx2 +3cx + 4d (a, b, c, d 为实数,a < 0, c > 0) 是奇函数,当 x ? [0,1] 时, f ( x) 的值域为 [0,1] ,则 c 的最大值是 ▲
A. B. A.

9 4

1 2

B.

2 4

C.

3 2

D.

3 +1 4

第 II 卷(非选择题 共 100 分) 注意事项: 必须使用 0. 5 毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答. 作 图题可先用铅笔绘出,确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷上无效. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.若 (1 ? i)(2 ? i) ? a ? bi ,其中 a, b ? R, i 为虚数单位,则 a ? b ? 12.已知等比数列 {an } , a3 ? ?1, a7 ? ?9 ,则 a5 ? ▲ . ▲ .

13 .若直线 x ? y ? 2 ? 0 被圆 ( x ? a) 2 ? y 2 ? 4 所截得的弦长为 2 2 , 则实数 a 的值为 ▲ .

14.若 ? ? (0, ? ) ,且 cos ? ? sin ? ? ?
x

1 ,则 tan 2? ? 5





15.设函数 f ? x ? ? e , g ? x ? ? ln x ? m .有下列五个命题: ①若对任意 x ??1, 2? ,关于 x 的不等式 f ?x ? ? g ?x ? 恒成立,则 m ? e ;
2 ②若存在 x0 ??1, 2? ,使得不等式 f ?x0 ? ? g ?x0 ? 成立,则 m ? e ? ln 2 ;

③ 若 对 任 意 x1 ??1, 2 ? 及 任 意 x2 ??1, 2 ? , 不 等 式 f ?x1 ? ? g ?x2 ? 恒 成 立 , 则

m?

e ; ?ln 2 2
④若对任意 x1 ??1, 2? ,存在 x2 ??1, 2? ,使得不等式 f ?x1 ? ? g ?x2 ? 成立,则 m ? e ; ⑤若存在 x1 ??1, 2? 及 x2 ??1, 2? ,使得不等式 f ?x1 ? ? g ?x2 ? 成立,则 m ? e . 其中,所有正确结论的序号为 ▲ .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 对应的边长, ?ABC 的面积 S ?

3 ab cos C , 2
2

(I)求角 C 的大小; (II)若 c ? 2 ,求 a ? b 的取值范围.

17. (本小题满分 12 分)如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC ' F 所截而得到的,其中 AB ? BC ? CC ' ? 3, BE ? 1 . (Ⅰ)求证:四边形 AEC ' F 是平形四边形; (Ⅱ)求几何体 ABCDEC ' F 的体积.

18. (本小题满分 12 分) 某公司招聘工作人员,抽取了 100 名应聘者的笔试成绩,按成绩分组: 第 1 组 [75,80) ,第 2 组 [80,85) ,第 3 组 [85,90) ,第 4 组 [90,95) ,第 5 组 [95,100] 得到的频 率分布直方图如图所示. (Ⅰ)若该公司决定在第 3, 4, 5 组中用分层抽样抽取 6 名应 聘者进入第二轮面试,求第 3, 4,5 组每组各抽取多少名应聘者 进入第二轮面试? (Ⅱ)在(Ⅰ)的前提下,该公司决定在这 6 名应聘者中随机 抽取 2 名接受甲考官的面试,求第 4 组中至少有一名应聘者 被甲考官面试的概率. 第 18 题图

19. (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n,

Sn )(n ? N ? ) 均在函数 n

f ( x) ? 3x ? 2 的图像上.

3

(Ⅰ) 、求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 、设 bn ?

3 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an an?1

20. (本小题满分 13 分)已知椭圆 E 的中心在原点 O,焦点在 x 轴上,离心率 e ? 圆 E 的右顶点与上顶点之间的距离为 5 ; (Ⅰ)求椭圆 E 的标准方程;

3 ,椭 3

(-3,4) 且斜率为 k 的直线交椭圆 E 于不同的两点 M,N,在线段 MN 上取异于 (Ⅱ)过定点 P

???? ? ???? ? PM MH M,N 的点 H 满足 ???? ? ???? ,证明:点 H 恒在一条直线上,并求出点 H 所在的直线方程. PN HN

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f x = 2 ln x +

( )

1 2 x - ( a +1) x , a ? R . 2

(1) 若函数 f x 在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行,求实数 a 值;

() ()

(2,) 3 上单调递减,求实数 a 的取值范围; (2) 若函数 f x 在区间
(3) 设 x = m 和 x = n 是函数 f x 的两个极值点,其中 m ? n ,若 a ? 求证: f n - f m ? 2 e + .( e 是自然对数的底数)

()

2e

2 - 1, e

( )

( )

1 e

3 月月考 数学试题(文史类)参数答案 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D B A C B B

7 D

8 A

9 A

10 C
4

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 4 . 12.

?3
15.



13. a ? 4, 或a ? 0 .

14.

?

24 7



①②④



三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解: (I)由余弦定理: S ? 由三角形面积公式: S ?

3 ab cos C. 2

1 ab sin C 2

联立(1) (2)得: tan C ? 3 , 且 0 ? C ? 所以,角 C 的值为

?
2

? ?C ?

?
3

.

? ……………6 分 3
0? A?

(II)因为 A 为三角形内角,所以 由正弦定理得: a ?

2? 3 ,
所以,

4 3 sinA , b ? 4 3 sin B ,……7 分 3 3

a?b ?

4 3 4 3 4 3 4 3 2? sinA ? sinB ? sinA ? sin( ? A) 3 3 3 3 3

? 4sin(A ? ) 6
? A ? (0,

?

………9 分

? 1 2? ) ,? sin( A ? ) ? ( ,1] ,? a ? b ? (2, 4] , 6 2 3
…………12 分

所以 b ? c 的取值范围为 (2, 4]

17. (本小题满分 12 分) 提示(1)略…………6 分 (2)由题意,可补成正方体,如图所示, 易证:四边形 ABEF 与四边形 EFD ' B ' 面积相等, 即 S梯ABEF ? S梯EFD ' B ' 所以,几何体 ABCDEC ' F 的体积 V :

V ? VA? BDFE ? VBCDEC ' F ? VC '? B ' D ' FE ? VBCDEC ' F 1 27 ? V正方体AC ' ? . 2 2
…………12 分 18. (本小题满分 12 分)
5

解: (Ⅰ) 由题设可知,第 3 组的频率为 0.06 ? 5 ? 0.3 ,第 4 组的频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 ,第 5 组 的频率为 0.02 ? 5 ? 0.1 .

????????????? 3 分
2,0第 5 组 的 人 数 为

? 1 0? 0 第 3 组 的 人 数 为 0.3 ?100 ? 30 , 第 4 组 的 人 数 为 0 . 2 0.1?100 ? 10 .

因为第 3, 4, 5 组共有 60 名应聘者,所以利用分层抽样在 60 名应聘者中抽取 6 名,每组抽取 的人数分别为第 3 组:

30 20 10 ? 6 ? 3 ,第 4 组: ? 6 ? 2 ,第 5 组: ? 6 ? 1 . 60 60 60

所以第 3, 4, 5 组分别抽取 3 人, 2 人, 1 人.

????????????? 6 分

(Ⅱ)设第 3 组的 3 位应聘者为 A1 , A2 , A3 ,第 4 组的 2 位应聘者为 B1 , B2 ,第 5 组的 1 位应聘 者为 C . 则从六位应聘者中抽两名有:

( A1, A2 ),( A1, A3 ),( A1, B1 ),( A1, B2 ),( A1, C),( A2 , A3 ),( A2 , B1 ),( A2 , B2 ),( A2 , C),( A3 , B1), ( A3 , B2 ),( A3 , C),( B1, B2 ),( B1, C),( B2 , C) ,共 15 种可能.
其中第 4 组的 2 位为 B1 , B2 至少有一位应聘者入选的有:

????????????? 9 分

( A1, B1 ),( A1, B2 ),( A2 , B1 ),( A2 , B2 ),( A3 , B1 ),( A3 , B2 ),(B1, B2 ),(B1, C),(B2 , C) ,共 9 种可能.
所以第 4 组至少有一名应聘者被甲考官面试的概率为 19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为点 (n,

9 3 ? . 15 5

????????????? 12 分

Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上,所以 Sn =3n2-2n. n
2

当 n=1 时,a1=S1=3×1 -2=1, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n -2n)- ( 3 n ? 1) ? 2(n ? 1) =6n-5.
2

?

2

?

所以,an=6n-5 ( n ? N ) ????????????? 6 分
?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得知 bn ?

1 1 1 3 3 ? ), = = ( a n a n ?1 (6n ? 5)?6(n ? 1) ? 5? 2 6n ? 5 6n ? 1

故 Tn=

?b = 2
i ?1 i

n

1 ? 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? ) ? 7 7 13 6n ? 5 6 n ? 1 ? ? ?

6



1 1 3n (1- )? ( n? N? ) . ????????????? 12 分 2 6n ? 1 6n ? 1
x2 y2 ? ? 1 ,焦点坐标为(c,0), a 2 b2

20. (本小题满分 13 分) 解:解:(1)设椭圆的标准方程为

?c 3 , ? ? 2 2 2 2 2 3 由题知: ? a 结合 a =b +c ,解得:a =3,b =2, ? 2 2 ? a ?b ? 5,
∴ 椭圆 E 的标准方程为

x2 y2 ? ? 1 . ………………………………………4 分 3 2

(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),H(x0,y0), 由已知直线 MN 的方程为 y=kx+3k+4,

?2 x 2 ? 3 y 2 ? 6, 联立方程 ? ? y ? kx ? (3k ? 4),
消去 y ,得 (2 ? 3k 2 ) x 2 ? 6k (3k ? 4) x ? (27 k 2 ? 72k ? 42) ? 0 , 于是 x1+x2= ?

27 k 2 ? 72k ? 42 6k (3k ? 4) , x .① ………………………7 分 1x2= 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

又 P,M,H,N 四点共线,将四点都投影到 x 轴上, 则

PM PN

?

MH HN

可转化为

2 x x ? 3( x1 ? x2 ) x1 ? 3 x0 ? x1 ? ,整理得: x0 ? 1 2 . …10 分 x2 ? 3 x2 ? x0 6 ? ( x1 ? x2 )

将①代入可得 x0 ?

2?

27 k 2 ? 72k ? 42 ? 6k (3k ? 4) ? 3? 2 6k ? 7 2 ? 3k 2 ? 3k 2 , ? ? 6k (3k ? 4) 1 ? 2 k 6? 2 ? 3k 2

…… 12 分

6k ? 7 2k ? 4 ? (3k ? 4) ? , 1 ? 2k 1 ? 2k 消去参数 k 得 x0 ? 2 y0 ? 1 ? 0 ,即 H 点恒在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上. ………13 分
∴ y0 ? kx0 ? (3k ? 4) ? k 21. (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ) ∵ f ?( x) ?

2 x 2 ? (a ? 1) x ? 2 ( x ? 0) , ? x ? (a ? 1) ? x x

∴ f ?(1) ? 0 ? a ? 2 .………………………3 分

(2,) 3 上单调递减 ? f '( x) ? 0 在区间 (2,) 3 上恒成立. (Ⅱ) ∵ 函数 f x 在区间


()

x 2 ? (a ? 1) x ? 2 ? 0 ? x 2 ? (a ? 1) x ? 2 ? 0 上恒成立. …5 分 x
2

设 g ( x) ? x ? (a ? 1) x ? 2 ,则只需 ?

? g (2)=4 ? 2(a+1)+2 ? 0 8 ,解得 : a ? 3 ? g (3) ? 9 ? 3(a ? 1) ? 2 ? 0

7

(或: f ?( x) ?

2 2 ? x ? (a ? 1) ? 0恒成立 ? a ? 1 ? ( ? x) max ) x x
8 .………8 分 3
1 2 1 n ? (a ? 1)n ? 2 ln m ? m 2 ? (a ? 1)m 2 2

∴实数 a 的取值范围 a ?

(Ⅲ)证明: f (n) ? f (m) ? 2 ln n ?

? 2 ln

n 1 n 1 2 ? (n ? m 2 ) ? (m ? n)(n ? m) ? 2 ln ? (n 2 ? m 2 ) , m 2 m 2
2

由已知有 m,n 是方程 x -(a+1)x+2=0 的两个根,所以 mn ? 2 ? 于是, f (n) ? f (m) ? 2 ln
2

m=

2 , n

n2 1 2 4 ? n ? 2 . 2 2 n

…………………………………10 分

由 0<m<n,可得 n >2,解得 n> 2 .∵ a≥ 2e ? ∴ m+n=a+1≥ 2e ? 可解得 0<n≤ 令

2 ?1, e

2 2 ,即 +n≥ 2e ? e n

2 , e

2 (舍去),或 n≥ 2e . e

……………………………………11 分

1 n2 2 =t,则 n =2t,且 t≥e, f (n) ? f (m) ? 2 ln t ? t ? , t 2
=﹣ <0;

令 g(t)=2lnt﹣t+ ,则 g′(t)= ﹣1﹣

故 g(t)=2lnt﹣t+ 在[e,+∞)上单调递减,∴gmax(t)=2﹣e+ ; 故 f(n)﹣f(m)≤2﹣e+ .…………14 分

8


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