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最新高中人教A版数学选修2-1优秀课件2.3.2双曲线的简单几何性质_图文

第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.2 双曲线的简单几何性质 第1课时 双曲线的简单几何性质 目标了然于胸,让讲台见证您的高瞻远瞩 1.掌握双曲线的简单的几何性质. 2.了解双曲线的渐近线及渐近线的概念,会利用 几何性质求双曲线的标准方程. 新知视界 1.双曲线几何性质 x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2 y2 x2 - =1(a>0,b>0) a2 b2 标准方程 图 形 焦点 焦距 范围 对称性 性 顶点 轴长 质 离心率 渐近线 a、b、 c 关系 F1(- c,0),F2(c,0) F1(0,- c),F2(0, c) |F1F2|= 2c x≥a 或 x≤-a, y∈R y≥a 或 y≤-a,x∈R 关于 x 轴、y 轴和原点对称 (-a,0), (a,0) (0,-a), (0,a) 实轴长=2a,虚轴长=2b c e= (e>1) a x y b ± =0 或 y= ± x a b a x y a ± =0 或 y= ± x b a b c2=a2+b2 思考感悟 椭圆与双曲线的离心率都是 e, 其范围一样吗? 提示:不一样.椭圆离心率 0<e<1,而双曲线 的离心率 e>1. 2.双曲线的渐近线与等轴双曲线 x2 y2 (1)在双曲线 2- 2=1 的各支向外延伸时,与两条 a b x y 直线 ± =0 逐渐接近,我们把这两条直线叫做双曲线 a b b 的渐近线,也可以将两条渐近线方程写为 y=± x. a x2 y2 (2)在方程 2- 2= 1 中,如果 a=b,那么双曲 a b 线的方程为 x2- y2=a2,它的实轴和虚轴的长都等 于 2a,此时渐近线方程为 y=± x,它们互相垂直, 并且平分双曲线实轴与虚轴所成的角,实轴和虚轴 等长的双曲线叫做等轴双曲线. 思考感悟 y2 x2 焦点在 y 轴上的双曲线 2- 2=1 其渐近线方 a b 程是什么? a 提示: 其渐近线方程为 y=± x. b 尝 试 应 用 1.中心在原点,实轴长为 10,虚轴长为 6 的双曲 线的标准方程是 ( x 2 y2 A. - = 1 25 9 x 2 y2 y2 x 2 B. - = 1 或 - = 1 25 9 25 9 x 2 y2 C. - =1 100 36 x 2 y2 y2 x 2 D. - =1 或 - =1 100 36 100 36 ) 答案:B x2 y2 2.双曲线 - =1 的渐近线方程是( 4 9 2 A.y=± x 3 3 C.y=± x 2 4 B.y=± x 9 9 D.y=± x 4 ) 解析:a2=4,b2=9,焦点在 x 轴上, b 3 ∴渐近线方程为 y=± x=± x. a 2 答案:C x2 y2 3.双曲线 - =1 的离心率为( 2 14 A.2 C.3 B.2 2 D.4 ) 解析:∵a2=2,∴a= 2. 又 b2=14,∴c2=a2+b2=16. c ∴c=4.∴e= =2 2. a 答案:B 4.双曲线5y2-4x2=-20的实轴长为________, 虚轴长为________,渐近线方程为________,离心率 为________. 解析:双曲线 5y2-4x2=-20 化为标准方 x2 y2 程为 - =1. 5 4 ∴a= 5,b=2. ∴c=3.焦点在 x 轴上. 答案:2 5 4 2 3 y=± 5x 5 5 5 5.已知双曲线C的离心率为3,求双曲线C的渐近 线方程. c 解:∵e= =3,∴c= 3a.∴ b= c2-a2= 2 2a.若 a x2 y2 双曲线的焦点在 x 轴上, 则标准方程为 2- 2=1(a>0, a b b>0), b 则其渐近线方程为 y=± x= ± 2 2x; a y2 x2 若双曲线的焦点在 y 轴上,则标准方程为 2- 2 a b = 1(a>0, b>0), a 2 则渐近线方程为 y= ± x= ± x. b 4 综上,双曲线 C 的渐近线方程为 2 y= ± 2 2x 或 y= ± x. 4 典例精析 类型一 [例1] 由双曲线的标准方程求几何性质 求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半 轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. [解] y2 x2 把方程化为标准方程 2- 2= 1. 4 3 由此可知,实半轴长 a= 4,虚半轴长 b= 3. c= a2+b2= 42+ 32= 5, 焦点的坐标是 (0,- 5),(0,5). c 5 离心率 e= = . a 4 3 渐近线方程为 x= ± y, 4 4 即 y=± x. 3 [点评] 此题要求学生认识到第二种形式的标准方 程所对应的双曲线性质与课本性质的相同点与不同 点. 迁移体验1 求双曲线x2-y2=λ(λ≠0)的顶点坐标、 实半轴长和虚半轴长. 2 2 x y 解:双曲线 x2-y2=λ 可化为 - =1. λ λ 当 λ>0 时,焦点在 x 轴, 故顶点为(± λ,0),a= λ,b= λ; 当 λ<0 时,焦点在 y 轴, 故顶点为(0,± -λ),a= -λ,b= -λ. 类型二 由双曲线的几何性质求标准方程 [例 2] 求中心在原点, 对称轴为坐标轴, 且满足 下列条件的双曲线方程: 10 (1)双曲线过点 (3,9 2),离心率 e= . 3 (2)双曲线 C 的右焦点为 (2,0),右顶点为( 3,0). (3)与双曲线x2-2y2=2有共同的渐近线, 且经过点(2,-2). (4)过点P(2,-1),渐近线方程是y=±3x. [分析] (1)(2)可用待定系数法求出 a、b、c后求方 程;(3)(4)可以利用渐近线的方程进行假设. [解] 2 10 c 10 2 (1)e = ,得 2= ,设 a2= 9k, 9 a 9

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