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选修4-4《坐标系及参数方程》复习讲义

选修 4-4《坐标系与参数方程》复习讲义
广东高考考试大纲说明的具体要求:
1.坐标系: ① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置 的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化. ④ 能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较 这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2.参数方程: ① 了解参数方程,了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. (一)基础知识梳理: 1.极坐标系的概念:在平面内取一个定点O,叫做极点;自极点O引一条射线Ox叫做极轴;再选定一 个长度单位、 一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向), 这样就建立了一个极坐标系。 2.点 M 的极坐标:设 M 是平面内一点,极点O与点 M 的距离 OM 叫做点 M 的极径,记为 ? ;以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的∠XOM 叫做点 M 的极角,记为 ? 。有序数对 ( ? ,? ) 叫做点 M 的极坐标,记 为 M ( ? ,? ) . 极坐标 ( ? ,? ) 与 ( ? ,? ? 2k? )(k ? Z) 表示同一个点。极点 O 的坐标为 (0,? )(? ? R ) . 3.若 ? ? 0 ,则 ? ? ? 0 ,规定点 (? ? , ? ) 与点 ( ? ,? ) 关于极点对称, 即 (? ? , ? ) 与 ( ? , ? ? ? ) 表示同一点。 如果规定 ? ? 0,0 ? ? ? 2? ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标 ( ? ,? ) 表示;同时,极坐标

( ? ,? ) 表示的点也是唯一确定的。
4.极坐标与直角坐标的互化:

? 2 ? x 2 ? y 2 , x ? ?cos? , y ? ?sin? , tan? ?

y ( x ? 0) x

5。圆的极坐标方程:在极坐标系中,以极点为圆心,r 为半径的圆的极坐标方程是

? ? r; 在极坐标系中,以 C(a,0) (a>0)为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? 2acos? ; 在极坐标系中,以 C(a , ? ) (a>0)为圆心,a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? 2asin? ;
2

6.在极坐标系中, ? ? ? ( ? ? 0) 表示以极点为起点的一条射线; ? ? ? ( ? ? R ) 表示过极点的一条直线. 在极坐标系中,过点 A(a ,0)(a ? 0) ,且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程是 ?cos? ? a . 7.参数方程的概念:在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y 都是某个变数 t 的函数 ?x ? f ( t ), 并且对于 t 的每一个允许值,由这个方程所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,那么这个 ? ? y ? g ( t ), 方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 x,y 的变数 t 叫做参变数,简称参数。相对于参数方程 而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 8.圆 ( x ? a ) ? ( y ? b) ? r 的参数方程可表示为 ?
2 2 2

?x ? a ? rcos? , (?为参数) . ? y ? b ? rsin? .

椭圆

x 2 y2 x ? acos? , ? 2 ? 1 (a>b>0)的参数方程可表示为 ? (?为参数) . ? 2 a b ? y ? bsin? .
2

抛物线 y ? 2px 的参数方程可表示为 ?

?x ? 2pt 2 , ? y ? 2pt.

( t为参数) .

? x ? x o ? tcos? , 经过点 M O ( x o , y o ) ,倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程可表示为 ? (t 为参数) 。 ? y ? y o ? ts in? . 9.在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中, 必须使 x,y 的取值范围保持一致.

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(二)典型例题分析:
例 1.在极坐标系中,过圆 ? ? 4cos? 的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 .

例 2. 设M、N分别是曲线 ? ? 2sin ? ? 0 和 ? s in(? ?

?
4

)?

2 上的动点,则M、N的最小距离是 2

? x ? 2 cos? ( ? 为参数) ,则圆 C 的普通方程为_____ ? y ? 2 ? 2 sin ? _____, 以原点 O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 则圆 C 的圆心极坐标为______________.
例 3. 在直角坐标系中圆 C 的参数方程为 ?

例 4. ⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程分别为 ? ? 4cos?,? ? ?4sin ? .(Ⅰ)把⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程化 为直角坐标方程;(Ⅱ)求经过⊙O1,⊙O2 交点的直线的直角坐标方程.

例 5. 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 P(x,y ) 是椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上的一个动点, 求 S ? x ? y 的最大值. 3

(三)基础训练: ? x ? cos ? ? 1. 1.曲线 C: ? ( ? 为参数)的普通方程为 ( ? y ? sin ? ? 1
(A)(x-1) +(y+1) =1 2 2 (C) (x+1) +(y-1) =1
2 2

)
2

(B) (x+1) +(y+1) =1 2 2 (D) (x-1) +(y-1) =1

2

?x ? t 2 2.点 P(1,0) 到曲线 ? (其中参数 t ? R )上的点的最短距离为( ? y ? 2t (A)0 (B)1 (C) 2 (D)2
3.在极坐标系中,圆心在 ( 2 ,? ) 且过极点的圆的方程为( A. ? ? 2 2 cos? B. ? ? ?2 2 cos?



) D. ? ? ?2 2 sin ?

C. ? ? 2 2 sin ?

4.极坐标方程ρ cos2θ =1所表示的曲线是( ) ? A.两条相交直线 ? B.圆? ? C.椭圆 ? D.双曲线?



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5.设 a, b ? R, a ? 2b ? 6, 则a ? b 的最小值是
2 2





A. ? 2 2

B. ?

5 3 3

C.-3

D. ?

7 2

6.在极坐标系中,直线l的方程为ρsinθ=3,则点(2,

? )到直线l的距离为 6



7. 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? 的参数方程为 ?

?x ? t ? 3 (参数t ? R) ,圆 C ?y ? 3 ? t


? x ? 2 cos? (参数? ? ?0, 2? ?) ,则圆 C 的圆心坐标为 ? y ? 2 sin ? ? 2
.

圆心到直线 l 的距离为

8. 已知曲线 C1 , C 2 的极坐标方程分别为 ? cos? ? 3, ? ? 4 cos?( ? ? 0,0 ? ? ? 交点的极坐标为__ 9.若直线 3x+4y+m=0 与圆 ? 是 . ___.

?
2

) , 则曲线 C1 与 C 2

? x ? 1 ? cos? ( ? 为参数)没有公共点,则实数 m 的取值范围 ? y ? ?2 ? sin ?

10.在极坐标系中,已知点 A (1,

3? ? )和 B (2, ) ,则 A 、 B 两点间的距离是 4 4



11.在极坐标系中,直线 ? ?

AB ?

π ( ? ? R )与圆 ? ? 4cos? ? 4 3 sin ? 交于 A 、 B 两点,则 3

. .

12.在极坐标系中,圆ρ =cosθ 与直线ρ cosθ =1 的位置关系是

13.在极坐标系中,圆 ? ? 2 上的点到直线 ? cos? ? 3 sin ? ? 6 的距离的最小值是 ___ __ 14.在极坐标系中,过点 ? 2 2, 是 .

?

?



? ?

??

? 作圆 ? ? 4sin ? 的切线,则切线的极坐标方程 4?

15. 在极坐标系中,已知直线过点(1,0) ,且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为 则直线的极坐标方程为_________________________.
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? , 3

16. )已知圆 C 的参数方程为 ? 是 .

? x ? cos? ? 1, ( ? 为参数), 则点 P?4, 4? 与圆 C 上的点的最远距离 ? y ? sin ?

17.参数方程 ?

? x ? 2 cos? ( ? 是参数)表示的曲线的普通方程是___________. ? y ? 2 ? cos 2?

1 ? x?t? , ? ? t 18.双曲线 ? ( t为参数) 的离心率是____________. 1 ?y ? t ? . ? t ?

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选修 4-4《坐标系与参数方程》复习讲义
参考答案
(二)典型例题分析:
例 1. ? cos? ? 2 . 例 2.

2 ?1 .

例 3. x 2 ? ( y ? 2)2 ? 4 , (2, ) . 2
2 2 2 2

?

例 4.解:(Ⅰ)⊙O1 和⊙O2 的直角坐标方程分别为 ( x ? 2) ? y ? 4 和 x ? ( y ? 2) ? 4 ; (Ⅱ)经过⊙O1,⊙O2 交点的直线的直角坐标方程是 x+y=0

例 5.解: 因椭圆

? x ? 3 cos ? x2 ? (?为参数) ? y 2 ? 1 的参数方程为 ? 3 ? ? y ? sin ?

故可设动点 P 的坐标为 ( 3 cos ? ,sin ?) ,其中 0 ? ? ? 2? . 因此 S ? x ? y ? 3 cos ? ? sin ? ? 2( 所以。当 ? ?

?

3 1 ? cos ? ? sin ? ) ? 2sin(? ? ) 2 2 3

6 (三)基础训练:
1.C. 6. 2 . 10. 5 . 2.B.

是, S 取最大值 2 3. B. 4. D. 5.C. 8. ? 2 3 ,

7. (0,2) , 2 2 . 11. 8 . 12. 相切 . 16. 6 .

? ?

??

? . 6?

9. (??,0) ? (10, ??) . 14. ? cos ? ? 2 . 18. 2 .

13. __ 1 _ .

3 15. ? sin( ? ? ) ? . 3 2

?

x2 ? 3 ( | x |? 2 ). 17. y ? ? 2

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