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逻辑代数基础-第2讲_图文

数字电子技术
教 师:罗刘敏

Digital Electronics Technology

数字电子技术 Digital Electronics Technology
第2章 逻辑代数基础
§2.1 概述 §2.2 逻辑代数中的三种基本运算 §2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式 §2.4 逻辑代数的基本定理 §2.5 逻辑函数及其表示方法 §2.6 逻辑函数的化简法 §2.7具有无关项的逻辑函数及其化简

2.1 概述
基本概念

逻辑: 事物的因果关系
逻辑运算的数学基础: 逻辑代数 在二值逻辑中的变量取值: 0或1

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2.2 三种基本的逻辑运算
1. 与逻辑(AND)
当决定某一事件的全部条件都具备时,该事件才会发 生,这样的因果关系称为与逻辑。 设定逻辑变量并状态赋值: 逻辑变量:A和B,对应两个开 关的状态。1-闭合,0-断开; 逻辑函数:Y,对应灯的状态, 描述逻辑关系的 图表称为真值表 1-灯亮,0-灯灭。 串联开关电路功能表 与逻辑的真值表 A B Y 开关A 开关B 灯Y 0 0 0 断开 断开 灭 断开 闭合 灭 0 1 0 闭合 断开 灭 1 0 0 闭合 闭合 亮 1 1 1 与逻辑表达式

Y=A· B (逻辑乘)
A
B Y

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2.2 三种基本的逻辑运算
1. 与逻辑(AND)
当决定某一事件的全部条件都具备时,该事件才会发 生,这样的因果关系称为与逻辑。 与逻辑的真值表 A B Y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 与逻辑运算 与逻辑表达式 Y=A· B (逻辑乘)
A B Y

0 0=0

0 1=0

1 0=0

1 1=1

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2.2 三种基本的逻辑运算
2. 或逻辑(OR)
当决定某一事件的所有条件中,只要有一个具备,该 事件就会发生,这样的因果关系叫做或逻辑。 或逻辑的真值表 A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 并联开关电路功能表
开关A 断开 断开 闭合 闭合 开关B 断开 闭合 断开 闭合 灯Y 灭
亮 亮

或逻辑符号

或逻辑表达式

A B

Y

Y=A+B (逻辑加)


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2.2 三种基本的逻辑运算
2. 或逻辑(OR)
当决定某一事件的所有条件中,只要有一个具备,该 事件就会发生,这样的因果关系叫做或逻辑。 或逻辑的真值表 A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 或逻辑表达式 或逻辑符号

A B

Y

或逻辑运算

Y=A+B (逻辑加)

0+0=0; 0+1=1; 1+0=1; 1+1=1
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2.2 三种基本的逻辑运算
3. 非逻辑(NOT)
当某一条件具备了,事情不会发生;而此条件不具备 时,事情反而发生。这种逻辑关系称为非逻辑或逻辑非。 非逻辑的真值表 A Y 0 1 1 0 非逻辑表达式 Y=A=A’ (逻辑非) 0=1 1=0 非逻辑符号

电路功能表 开关A 断开 闭合 灯Y 亮 灭

A

Y

非逻辑运算

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2.2 三种基本的逻辑运算
4. 复合逻辑
?

与非 X 0 0 1 1
X Y X Y &

F ? X? Y

?

或非 X 0 0 1 1

F ? X?Y

真值表
Y 0 1 0 1 F 1 1 1 0
F F

真值表 Y 0 1 0 1 F 1 0 0 0
F
≥1 F

X Y
X Y

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2.2 三种基本的逻辑运算
?

异或 F ? A ? B ? A ? B'? A'?B 真值表 X Y F

?

Y’+X·Y 同或 F=X ⊙Y=X’·
真值表 Y 0 1 0 1 F 1 0 0 1
A B

X 0 0 1 1

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

A B

=1

F

=

F

?

与或非 F ? ( A ? B ? C ? D)'

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2.2 三种基本的逻辑运算
1 、 与非 Y=A B
X Y

A 0 0 1 F 1

B 0 1 0 1

Y 1 1 1 0

3 、 同或 Y= AB+A B =A⊙B

A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

Y 1 0 0 1

2 、 或非 Y=A+ B
X Y F

A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

Y 1 0 0 0

4 、 异或 Y= AB+AB =A B

A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

Y 0 1 1 0

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2.2 三种基本的逻辑运算
逻辑符号对照

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2.2 三种基本的逻辑运算
与非 或非 与或非

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2.2 三种基本的逻辑运算
同或 异或

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2.3 逻辑代数基本与常用公式
一、 基本公式(P24)
序号 公 式 序号 公 式 规 律

1
2

A? 0=0
A ? 1=A

10
11

A+0=A
A+1=1

01律
01律

3
4 5 6 7 8 9

1’=0;

0’=1(公理)
A ? A= A A ?A’=0 A ?B=B ?A

12
13 14 15 16

(A’)’=A
A+A=A A+A’=1 A+B=B+A

还原律
重叠律 互补律 交换律

A ?(B ?C) = (A ?B) ?C A ?(B+C)=A ? B + A ? C (A ?B)’=A’+B’

A+(B+C) = A+B) +C 结合律 德 ?( 摩根( De. Morgan)定理 17 A+(B?C) =(A+B)? (A+C) 分配律 18 (A+B)’=A’?B’ 反演律

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2.3 逻辑代数基本与常用公式
一、 基本公式(P24) 1.常量之间的关系(常量:0 和 1 )

与: 0 · 0 = 0 或: 1 + 1 = 1

非: 0 ? 1

0 ·1 = 0 1 ·1 = 1

1+0=1 0+0=0

1? 0

2.变量和常量的关系(变量:A、B、C…)

1 = A 或: A + 0 = A 非: A ? A ? 0 与: A · A· 0=0

A+1=1
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A? A ?1

2.3 逻辑代数基本与常用公式
一、 基本公式(P24)
3.与普通代数相似的定理 交换律 A? B ? B? A 结合律

A? B ? B? A

( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ) ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C )
A( B ? C ) ? AB ? AC

分配律

A ? BC ? ( A ? B) ( A ? C )
[例 2. 3. 1] 证明公式 [解] 方法一:公式法

A ? BC ? ( A ? B)( A ? C )

右式 ? ( A ? B)( A ? C ) ? A ? A ? A ? C ? A ? B ? B ? C ? A ? AC ? AB ? BC ? A ? BC ? 左式
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证明公式 A ? BC ? ( A ? B)( A ? C ) 方法二:真值表法(将变量的各种取值代入等式 两边,进行计算并填入表中)
A B 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 C B ? C A ? BC A ? B A ? C ( A ? B)( A ? C ) 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
相等
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2.3 逻辑代数基本与常用公式
4.逻辑代数的一些特殊定理
同一律 德 摩根定理 还原律

A· A=A
A? B ? A ? B A?A
摩根定理
A

A+A=A
A ? B ? A? B

[例 2. 3. 2] 证明:德 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1
A? B A ? B

B A ? B A? B A ? B A? B

0 0 0 1

1 1 1 0

1 1 0 0

1 0 1 0

1 1 1 0

0 1 1 1

1 0 0 0
相等

1 0 0 0

相等
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2.3 逻辑代数基本与常用公式
一、 基本公式(P24)
序号 公 式 序号 公 式 规 律

1
2

A? 0=0
A ? 1=A

10
11

A+0=A
A+1=1

01律
01律

3
4 5 6 7 8 9

1’=0;

0’=1(公理)
A ? A= A A ?A’=0 A ?B=B ?A

12
13 14 15 16

(A’)’=A
A+A=A A+A’=1 A+B=B+A

还原律
重叠律 互补律 交换律

A ?(B ?C) = (A ?B) ?C A ?(B+C)=A ? B + A ? C (A ?B)’=A’+B’

A+(B+C) = A+B) +C 结合律 德 ?( 摩根( De. Morgan)定理 17 A+(B?C) =(A+B)? (A+C) 分配律 18 (A+B)’=A’?B’ 反演律

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2.3 逻辑代数基本与常用公式
二、 常用公式(P25)
序号 21 22 23 24 25 公 式 规 律 吸收律 吸收律

A+AB=A A+A’ B=A+B AB+AB’=A A(A+B)= A AB+A’ C+BC=AB+A’C AB+A’ C+BCD=AB+A’C

吸收律

26

A(AB)’=AB’;A’(AB)’=A’

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2.3 逻辑代数基本与常用公式
1.常用公式的证明与推广
公式21: A+AB=A
(1) 列真值表证明 A B A+AB 0=0 0 0 0+0· 0 1 0+0· 1=0 1 0 1+1· 0=1 1 1 1+1· 1=1 A 0 0 1 1

公式22:A+A’B = A+B 证明:
A ? A ' B ? ( A ? A)( A ? B) ? A ? B

推广: A+ABC = A+BC

AB+ABC = AB+C
A+AB = A+ B AB+ABC = AB+C = A+B+C
在两个乘积项相加时,如果一项取反后是另 一项的因子,则此因子是多余的,可以消去。

(2) 利用基本公式证明

A+AB=A(1+B)=A· 1=A 推广

A ? A(

)? A

在两个乘积项相加时,若其中一项以另一项 为因子,则该项是多余的,可以删去 Digital Electronics Technology

2.3 逻辑代数基本与常用公式
公式23: AB ? AB ' ? A( B ? B) ? A

公式24: A (A ? B) ? A ? AB ? A

在两个乘积项相加时,若他们分 别包含B和B’两个因子而其他因子 相同,则两项定能合并,且可将B 和 B’ 两个因子消去。 变量 A 和包含 A的和相乘时,其结果 等于A,即可以将和消掉。

公式25: AB ? A ' C ? BC ? AB ? A ' C
证明: AB ? AC ? BC ? AB ? AC

左 ? AB ? AC ? ( A ? A) BC A ? AB? A

? AB ? AC ? ABC ? ABC ? AB ? AC
推论

AB ? AC ? BCD ? AB ? AC

若两个乘积项中分别包含A和A’两个因子,而这两个乘机项的其余因子组成第三个乘机项 时,则第三个乘机项是多余的,可以消去。 Digital Electronics Technology

2.3 逻辑代数基本与常用公式
二、 常用公式(P25)
序号 21 22 23 24 25 公 式 规 律 吸收律 吸收律

A+AB=A A+A’ B=A+B AB+AB’=A A(A+B)= A AB+A’ C+BC=AB+A’C AB+A’ C+BCD=AB+A’C

吸收律

26

A(AB)’=AB’;A’(AB)’=A’

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2.关于异或运算的一些公式 异或 A ? B ? AB ? AB 同或 A⊙B ? AB ? A B

A ? B = A⊙B A⊙B ? A ? B

A? B ? B ? A ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ) A ? ( B ? C ) ? AB ? AC (4) 常量和变量的异或运算 A ? 1 ? A A ? 0 ? A A? A ? 0 A? A ? 1 (5) 因果互换律 A?C ? B 则有 如果 A ? B ? C B?C ? A
(1) 交换律 (2) 结合律 (3) 分配律
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2.4 逻辑代数的基本定理
2.4.1 代入定理 ------在任何一个包含A的逻辑等式中,若以另外一个 逻辑式代入式中A的位置,则等式依然成立。

应用举例:

A+BC

= (A+B)(A+C)

A+B(CD) = (A+B)(A+CD)= (A+B)(A+C)(A+D)
应用举例:

( A ? B)? ? A? ? B?以B ? C代入B
( A ? B ? C )? ? A? ? ( BC )? ? A? ? B? ? C?
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2.4 逻辑代数的基本定理
2.4.2 反演定理 Y ? Y ? -------对任一逻辑式
变换顺序 先括号, 然后乘,最后加

? ? ?,? ? ?,0 ? 1,1 ? 0, 原变量 ? 反变量 反变量 ? 原变量
不属于单个变量的 上的反号保留不变

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2.4 逻辑代数的基本定理 2.4.2 反演定理
应用举例:

已知 Y1 ? A( B ? C ) ? CD

运算顺序: 括号 与 或



Y1 ? ( A ? BC ) ( C ? D )
Y2 ? AB ? C ? D ? C 不属于单个变量上 的反号应保留不变

Y2 ? ( A ? B) ? C ? D ? C
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2.4 逻辑代数的基本定理
2.4.3 对偶定理 ------若两逻辑式相等,则它们的对偶式也相等。

-------对任一逻辑式
将 Y 中“. ”换成“+”,“+”换成“.” “0” 换成“1”,“1”换成“0”

Y

D

( 对偶式 )

例如 Y1 ? A( B ? C ) ? CD

Y =(A ? BC ) (C ? D)
D 1

Y2 ? AB ? C ? D ? C

Y2 ? (A ? B) C ? D ? C
D

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运算顺序:

2.4 逻辑代数的基本定理
对偶规则的应用:证明等式成立

0 ·0 = 0
A? A ? 0

1+1=1
A? A ? 1

注意:在运用反演规则和对偶规则时,必须按照逻辑运算 的优先顺序进行:先算括号,接着与运算,然后或运算,最后非 运算,否则容易出错。

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