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浙江省台州市书生中学2017-2018学年高二下学期起始考数学试题(解析版)

台州市书生中学 2016 学年第二学期 起始考高二数学试卷
一、选择题(本大题共 18 小题,每小题 3 分,共 54 分.每小题列出的四个备选 项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)
1.函数 A. 【答案】A 【解析】 由题设可得 ,应选答案 A。 },则 A B=( ) D. B. 的定义域是( C. ) D. R

2.设集合 A={1,2,3,4,5},B={y|y=2x, A. {1,2,3,4,5} 【答案】C 【解析】 , B. {1,2,3,4,5,6,8,10}

C. {2,4}

,所以 )

,故选 C.

3.已知数列{an}是等比数列,若 a2=2,a3=﹣4,则 a5 等于( A. 8 B. ﹣8 C. 16 D. ﹣16

【答案】D 【解析】 设 是等比数列的公比为 , ,由 ,得 ,则

, 故选 D. 4.已知 A. B.

,且 是钝角,则
C. D.

等于

【答案】C 【解析】 试题分析: , ,

考点:同角三角函数的基本关系.

5.设 ∈R,则 a=1 是直线 A. 充分不必要条件 要条件 【答案】A 【解析】 由两直线垂直等价于 线

与直线 C. 充分必要条件

垂直的 ( ) D. 既不充分也不必

B. 必要不充分条件

,即



,所以

是直线

与直

垂直的是充分不必要条件,故选 A. 等于( )

6.若正方形 ABCD 的边长为 1,则 A. B. 1 C. D. 2

【答案】B 【解析】 试 题 分 析 : 由 向 量 的 三 角 , 又 B. 考点:1.向量的三角开法则;2.向量的数量积. 7.函数 y=sin(2x+ )的图象可由函数 y=sin2x 的图象经过平移而得到,这一平移过程可以 是( ) B. 向右平移 个单位 D. 向右平移 个单位 ,则 .故本题答案选 形 法 则 , 则

A. 向左平移 个单位 C. 向左平移 个单位 【答案】A 【解析】 函数

的图象通过向左平移 而得到函数 的图象,故选 A.

,就是函数

8.双曲线

的离心率是

A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】 因为 ,所以 ,故离心率 ,应选答案 D。 )

9.在空间中, 设 m, n 为两条不同直线, α, β为两个不同平面, 则下列命题正确的是 ( A. 若 m∥α且α∥β,则 m∥β B. 若α⊥β,m? α,n? β,则 m⊥n C. 若 m⊥α且α∥β,则 m⊥β D. 若 m 不垂直于α,且 n? α,则 m 必不垂直于 n 【答案】C 【解析】 因为 为两条不同直线, 为两个不同平面,在 中,若 且 ,则 或

,故 错 且

误;在 中,若

,则 与 相交、平行或异面,故 错误;在 中,若 ,故 正确;在 中,若 不垂直于 ,且

,则由线面垂直的判定定理得 可能垂直于 ,故 错误, 故选 C.

,则 有

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定,属 于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断,常采用画图(尤其是画长 方体) 、现实实物判断法(如墙角、桌面等) 、排除筛选法等;另外,若原命题不太容易判断 真假,可以考虑它的逆否命题,判断它的逆否命题真假,原命题与逆否命题等价. 10.已知 A. -26 【答案】A 【解析】 , 构造函数 , ,故选 A. 11.已知 , , , 则 为奇函数, B. -18 C. -10 且 D. -8 那么 等于( )

,则使不等式

一定成立的条件是

A. 【答案】D 【解析】 因为若

B.

C.

D.

,则

,已知不等式不成立,所以

,应选答案 D。

12.在正三棱锥 A. 【答案】C 【解析】 取 中点为 ,连 B.

中,异面直线
C. D.



所成角的大小为

,由题设可知 ,答案 C 是正确的,应选答案 C。 )

,所以



平面

13.直线 xcosθ+ysinθ=1 与圆 x2+y2=1 的位置关系是( A. 相切 【答案】A 【解析】 圆 的圆心 ,半径 ,∴直线 ,圆心 与圆 B. 相交 C. 相离 D. 以上都有可能

到直线

的距离

的位置关系是相切,故选 A.

14.已知平面向量 A. 2 B.

满足 C. D.

且向量 与向量

的夹角为 ,则 =(



【答案】B 【解析】 因 为 且 向 量 ,即有 ,即 ,可得 与 向 量 的 夹 角 为 ,即 ,故选 B. ) , 所 以 ,即为 ,又

15.若正四棱锥的侧棱长为 , 侧面与底面所成的角是 45°, 则该正四棱锥的体积是 ( A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

过棱锥顶点 作 ,则 长为 , 则 解得 , 为侧面

平面 与底面 , 棱锥的体积

,则 为

的中点, 为正方形

的中心,连结

所成角的平面角,即 , 在 中,

,设正四棱锥的底面 , ,故选 B.

16.已知实数 , 满足 A. B. C.


D.

的最小值是

【答案】B 【解析】

画出不等式组

表示的区域如图,结合图形可知动直线

经过点

时,

动直线

在 轴上的截距最小,

,应选答案 B。

点睛:本题旨在考查线性规划的有关知识在解决线性约束条件下,求关于动直线的目标函数 的最值问题。求解这类问题时充分利用题设条件,先画出不等式组表示的区域如图,再平行 移动动直线,借助动直线的几何意义,数形结合确定所求目标函数的最小值,从而使得问题 获解。 17.设函数 范围是( A. 【答案】C 【解析】 当 即 时, ;当 当 且 时, 时, ,故 ,不合题设。故 且 时, ,则当 时, 且 ,令 时, ,因为 , 则原不等式可化为 ,所以 ,则原不等式可化为 。综上 。 ,不合题设;当 ,则原不等式可化为 ,应选答案 C。 ;当 ,即 且 ,则 , ) B. C. D. 若不等式 对任意 x>0 恒成立,则实数 m 的取值

点睛:本题求解时,充分利用题设条件,对函数解析式中的参数进行分类整合,对答案中的 选择项进行分析推断,从而排出不题设的选择支,获得正确的答案,使得问题 简捷获解。 18.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=1,BC= ,点 M 在棱 CC1 上,且 MD1⊥MA,则当△ MAD1 的面积最小时,棱 CC1 的长为( )

A. 【答案】A 【解析】

B.

C. 2

D.

如图所示,建立空间直角坐标系, ,

,设



,即



,当且仅当

时取等号,所以

,故选 A. 【方法点晴】 本题主要考查空间向量垂直的坐标表示以及立体几何中的最值问题, 属于难题. 解决立体几何中的最值问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是转化为点到直线距离、 到平面的距离以及平面几何的有关结论来解决, 非常巧妙; 二是将立体几何中最值问题转化 为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数 单调性法以及均值不等式法, 本题就是用的这种思路, 利用均值不等式法求三角形面积最值 的.

二、填空题(本大题共 4 小题,每空 3 分,共 15 分)
19.设函数 【答案】 【解析】 (1). 0 ,则 _______,方程 的解为_______。

(2). x=-2 或 x=4

, 当 或 时, ,故答案为 ,解得 或 ;当 . 时, ,解得 或

方程 (舍去) ,



【思路点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解方程,属于中档题.对于分段函 数解析式的考查是命题的动向之一,这类问题的特点是综合性强,对抽象思维能力要求高, 因此解决这类题一定要层次清出,思路清晰.本题解答分两个层次:首先求出 而得到 的值;解方程 , 时,也是分两种情况讨论,从而得到结果. ,若 ,则实数 t 的值是__________ 的值,进

20.已知向量 【答案】-4 【解析】 因为

,由

,可得

,解得

,故答案为

.

21.已知 F1,F2 是双曲线 C:

(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线与 的左、右 .

两支分别交于 A,B 两点.若 |AB|: |BF2 |: |AF2|=3:4 : 5,则双曲线的离心率为 【答案】 【解析】 试题分析:由 得 .由 ,所以 考点:双曲线离心率. 【思路点睛】由 得 求得 得 ,从而可求 ,令 ,由题意可知 ,令 知, ,解得 ,则由 为直角三角形,即 ,故 .

,则

,根据双曲线的定义可 为直角三角形,再利用勾股定理可

,进而可求得双曲线的离心率.

22.已知△ABC 中的内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 a=1,C﹣B= ,则 c﹣b 的取 值范围是______. 【答案】

【解析】 , ,由正弦定理得 , ,由 , ,得 ,







,故答案为

.

三、解答题(本大题共 4 小题,共 31 分)
23.已知函数 (Ⅰ)求 的值; 的最小正周期; 的最小值. , .

(Ⅱ)求函数 (Ⅲ)求函数

【答案】 (Ⅰ)1(Ⅱ) (Ⅲ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)直接利用条件求得 的值; (Ⅱ)利用两角和的正弦公式化简函数的解析

式,可得函数 f(x)的最小正周期; (Ⅲ)由条件利用两角和的余弦公式、诱导公式化简函 数的解析式,再利用余弦函数的值域求得 g(x)取得最小值 试题解析: (Ⅰ)由题意得 (Ⅱ)因为 所以函数 (Ⅲ)因为 , 所以当 时,函数 的最小值为 . , 的最小正周期为 ; = ;

考点:两角和与差的正弦函数;三角函数的最值 24.如图,在四面体 A-BCD 中,AD 平面 BCD,BC CD,CD=2,AD=4.M 是 AD 的中点,P 是 BM 的

中点,点 Q 在线段 AC 上,且 AQ=3QC. (I)证明:PQ//平面 BCD; (II)若异面直线 PQ 与 CD 所成的角为 ,二面角 C-BM-D 的大小为 ,求 cos 的值。 【答案】 (Ⅰ)见解析; (Ⅱ) 【解析】 .

试题分析: (1)连

并延长交

于 ,连

过 作



于 ,由三角形中位线定理 , 由此能证明 平面 的值. 平

以及全等三角形的性质可得 面 ; (2)过 作 ,即为二面角 于 ,作

, 结合条件 于 ,连

推导出 ,可证明

,可得

的平面角,由直角三角形的性质可求出

试题解析: (1)证明:如图,连 AP 并延长交 BD 于 E,连 CE, 过 M 作 MN∥BD 交 AP 于 N,则 AN=NE,NP=PE. 故 AP=3PE,从而 PQ∥CE. 因 PQ? 平面 BCD,CE? 平面 BCD, 故 PQ∥平面 BCD. (2)解:过 C 作 CF⊥BD 于 F,作 CR⊥BM 于 R,连 FR. 因 AD⊥平面 BCD,故平面 ABD⊥平面 BCD, 故 CF⊥平面 ABD,因此 CF⊥BM,从而 BM⊥平面 RCF, 所以∠CRF=θ即为二面角 C﹣BM﹣D 的平面角. 因 PQ∥CE,故∠DCE=45°,因此 CE 即为∠BCD 的角平分线. 由 (1)知 DE=2MN=2EB,故 DC=2BC, 从而 BC=1, .

由题意知 BC⊥平面 ACD,故 BC⊥CM. 由题意知 所以 = ,故 ,从而 . .

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、二面角及其平面角,属于难题.证明线面 平行的常用方法: ①利用线面平行的判定定理, 使用这个定理的关键是设法在平面内找到一 条与已知直线平行的直线,可利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或 者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质,即两平面平行, 在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题(1)是就是利用方法①证明的. 25.已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 ,过椭圆 C 上一点 P(2,1)作 x 轴的垂线,垂足为 Q.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 Q 的直线 l 交椭圆 C 于点 A,B,且 3 【答案】 (Ⅰ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ) 设椭圆 的方程为 解出求出 , 由题意得 , , ,设直线方程为 ; (Ⅱ)y=± (x﹣2). + = ,求直线 l 的方程.

、 的值即可得出椭圆的方程; (Ⅱ)由题意得点 , 将 直 线

, 代 入 椭 圆 方 程 得 到

,利用向量的坐标运算性质、一元二次方程的根与系数的关系列方程即 可得出 的值,从而可求得直线方程.

试题解析: (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为

+

=1(a>b>0) ,

由题意得 =



+

=1,a2=b2+c2. = =1.

解得 a2=6,b2=c2=3,则椭圆 C: (Ⅱ)由题意得点 Q(2,0) ,

设直线方程为 x=ty+2(t≠0) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 由3 =(x1﹣2,y1) , + =(x2﹣2,y2) ,

= ,得 3y1+y2=0, ,得到 =﹣ (*)

y1+y2=﹣2y1,y1y2=﹣3

将直线 x=ty+2(t≠0) ,代入椭圆方程得到(2+t2)y2+4ty﹣2=0, ∴y1+y2= ,y1y2= ,代入(*)式,解得:t2= ,

∴直线 l 的方程为:y=±

(x﹣2) .

【方法点晴】 本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和平面向量的线 性运算,属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤;①作判断:根据条件判断椭圆的 焦点在 轴上,还是在 轴上,还是两个坐标轴都有可能;②设方程:根据上述判断设方程 或 ;③找关系:根据已知条件,建立关于 、 、 的

方程组;④得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求. 26.设 ( )若 ( )即 ,函数 在 为 . 上单调递增,求 的取值范围. 在 或 上的最大值,求 . 的最小值.

【答案】(1) (2) 【解析】 .

试题分析: (Ⅰ)分类讨论当 a=0 时,当 a>0 时,当 a<0 时,运用单调性,判断求解; (Ⅱ) 对 a 讨论,分 a≥0 时,a<0,再分 a≤-2 时,-2<a≤2- ,a>2- ,运用单调性,求得

最大值;再由分段函数的单调性,求得最小值 试题解析: (Ⅰ)考虑函数 ①当 ②当 故 所以 在 在 时,在 时,在 上, 上, ,即 或 在 . ; 上单调递增, 的图像,可知 ,显然 在 上单调递增; ,

上单调递增的充要条件是 上单调递增的充要条件是 或 时,

(Ⅱ)利用(Ⅰ) ,当 则 当 时, ;





,得



故当

时,

综上, 于是 的最小值为

, .

考点:函数的最值及其几何意义;函数单调性的判断与证明


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