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赏析几道创新型高考题


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数学通讯 —— 2 O 1 5年 第 7 、 8期 ( 上半 月)  

?复 习参 考 ?  

赏析几道创新 型高考题 
丁小强  
( 甘 肃省 甘 谷 县第 二 中学 , 7 4 1 2 0 0 )  

新课 程 高考对 学 生 的创 新 意识 和创 新 能 力 的  要 求有 所提 高 , 创 新 型试 题 已 经 成 为 近 几 年 高 考 
的热 点 , 这 类试 题 一般 新 颖 独 特 , 结构精巧 , 考查 

称性 ;  

( B ) 选项中, 函数 - 厂 (  )一  。 的图象 关于 Y轴  对称 , 与 a≠ o矛 盾 ;   ( C) 选项中, 函数 / ’ (  ) = = = t a n   z的图象 也没 有 
对 称性 ;   ?  

学 生综 合运 用 数学 知 识 解 决 问 题 的 能 力. 本 文 赏  析几 道创新 型高 考试 题 , 旨在 探 索 题 型规 律  揭 示 
解 题方 法 , 供 读者 参考 .  

( D) 选项中, 函数 厂 (  )一 C O S ( O r +1 )的 图象 

例 1  ( 2 0 1 4年 福 建理 科 卷 第 1 5题 )若 集 合 
{ a , b , f , d }一 { 1 , 2 , 3 , 4 } , 且 下列 四个 关 系 : ① n一  

是 由函数 g ( J c )一 C O S 童的图象 向左平 移 一个单 位  后得 到 的 , 又 函数 g ( z ) 一C O S   的图象 关 于直线 


1 ; ②6 ≠1 ; ③f一 2 ; ④ ≠ 4 有 且 只有一个 是 正确 
的, 则 符 合 条 件 的 有序 数 组 ( “ , b , c ,  )的 个 数 

.  
— —

0对 称 , 所 以函数 _ 厂 ( z )一 c O s ( x+ 1 )的 图象关 

于直 线  一一1 对称, 即满 足 C O S   z— c o s ( 一2 一z ) ,  
此 时 a— 1 .  
所 以选 ( D) .  

分析  若 ① 正确 , 则 ② 也 正确 , 所 以只有 ①  正确 是不 可能 的 ;  

点评  本 题 给出 了“ 准偶 函数 ” 这 一 新定 义 ,  

若 只有 ② 正 确 , ① ③④ 都 不 正 确 , 则 符 合 条 
件 的有序 数组 为 ( 2 , 3 , 1 , 4 ) , ( 3 , 2 , 1 , 4 ) ;   若 只有 ③ 正 确 , ①②④ 都 不 正 确 , 则 符 合 条 
件 的有序 数组 为 ( 3 , 1 , 2 , 4 ) ;  

实 质在 于 考 查 函 数 的 图 象 和 性 质.一 般 地 , 若 
厂 ( z )= L 厂 ( 2 a —z) 对定 义域 内的任意 z恒成 立 , 则  函数  厂 (  ) 的 图象 关 于直线  一  对称 , 反 之亦然 .   对 于新 定义创 新 型试题 , 首 先 要认 真 理 解 题 意 , 合  理 利用 定义求 解 , 抓住 问题 的实质 是关 键.   例3  ( 2 0 1 4 年 四川 I 理 科卷 第 1 5 题) 以 A表 示 

若 只有 ④ 正 确 , ①② ③ 都 不 正 确 , 则 符 合 条 
件 的有 序 数 组 为 ( 2 , 1 , 4 , 3 ) ,( 3 , 1 , 4 , 2 ) ,( 4 , . 1 ,  
3, 2 ) .  

值 域 为 R的函数 组成 的集合 , B表示具 有 如下性 质 
的 函数 ( z ) 组 成 的集合 : 对 于 函数  (   ’ ) , 存 在 一 

综上 , 符 合条 件 的有序 数组 的个数 是 6 .   点评  本题 是 以元素 与集合 的关系 为切人 点  设 计 的计 数 问题 , 考查 学 生 进行 合 情 推 理 的能 力 ,   比较 巧妙 , 对 题干 中关键 词 “ 有且 只有 ”的 准确 理  解 是解 题 的突破 口, 确定 好 分类 计 数 的标 准 以后 ,  
应 注意 做到 不重 不漏 .   例 2 ( 2 0 1 . 4年 山 东 文 科 卷 第 9题 ) 对 于 函数 

个 正数 M , 使 得 函数  ( z )的值 域包 含 于 区 间 [ 一 
M, M] . 例 如, 当  】 ( z )一 z 。 ,   2 ( z )一 s i n   z时 ,  

(  )E   A,  (   , )E   B . 现 有如 下命 题 :  
① 设 函数 f (  ) 的定义 域为 D, 则“ - 厂 ( z )E   A”  
的充 要条 件是“ V   b   E   R, 了n   E   D, f ( a )一 b ” ;  

_ 厂 (  ) , 若存 在常 数 n≠ o , 使 得  取定 义 域 内 的每 
  - . 个值 , 都有 f (   ) 一/ ( 2 a —z ) , 则称 厂 (  ) 为准偶  函数 . 下列 函数 中是 准偶 函数 的是 
( A) _ 厂 (  )一  ̄ / i.  
( C)   厂 (  )一 t a n  .  

② 函数 f( x ) E   B的充 要条 件是 / ’ (  ) 有 最大  值 和最小 值 ;   ③ 若 函数 _ 厂 ( z ) , g (  ) 的定义 域相 同 , 且 - 厂 (  )  
∈ A, g (  )E   B, 则 - 厂 (  ) +g (  )   B;  

(  

)  

( B )   厂 (  )一 z   .  
( D) - 厂 (  )一 C O S ( X+ 1 ) .  


④ 若 函数 . , ( L z )一 a l n ( x+ 2 ) + -
—  

l  

(   > 

解  因为 , ’ ( z )一  ( 2 a 一3 c ) , 所 以函数 f ( 3 c )  
的图象关 于 直线  — a对 称.  


2 , a   E   R) 有 最 大值 , 则 - 厂 (  )E   B .  

其 中 的真命题 有 
的序号 )  

. ( 写 出所 有 真 命 题 

( A) 选项中, 函数 . , ’ (  )一  ̄ /   的 图象 没 有 对 

?

复 习参 考 ?  

数 学通 讯 — — 2 O 1 5年 第 7 、 8期 ( 上 半 月)  

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解  若  (  )∈ 。 A, 则_ 厂 ( z )的值 域 为 R, 于  是, 对V   b ∈ R, 一定 j   6 1 , ∈ D, 使得, ( n ) 一b : ① 正 
确;  

则 此 三点共 线 , 故可 得 
一  

① 

取 函数 厂 (  )=   , . 2 2∈ ( 一2 , 2 ) , 其 值 域 为 

( 1 )依 题 意 ,  一  

, ① 式 即 二 
√a b 一 

一  一 

( 一2 , 2 ) , 于是 , 存在 M = 2 , 使 得  (  )的值 域 包 
含 于[ 一M , M- 1 一[ 一2 , 2 ] , 但 此时 _ 厂 (  ) 没 有最 大  值 和最小 值 , 所 以 ② 不 正确 ; ’  
对于 ③ , 设  ( z ) , g( z )的 定 义 域 为 D, 且 
—  


又 因 为 。> 0 , b> 0  化 简 得 
4a  

、 / a b— b  


故可 以选 择 _ 厂 (  ): √ i( z> 0 )( 填 形 式 为 
?  

f( z )∈ A, g (  )∈ B. 若厂 (  ) +g (  )∈ B, 则存  在? 个正 数 M , 使得 函数 g( z ) 和厂 (  ) +g (  ) 的  值 域包 含于 区 间[ 一M , M] , 注意到 f ( s c )一 I - f ( x)   +g ( x ) ] 一g ( J c ) , 所 以函数 厂 (  )的值 域包 含 于 区 

^ J b  

f ( J c )一 是  

的 函数均 可 , 其中   > 0 )  
十  

( 2 )依 题 意 , c— a 

o ,  

  ?

式 即 



 
一  

一 

间[ 一2 M, 2 M] , 从 而 可得 厂 ( z )∈ B, 这与 厂(  )∈  
A 矛 盾. 所以- 厂 ( z ) - 4 - g ( o c )   B, 故 ③ 正确 ;  
对于 ④, - 厂 (  )一 a l n (  ̄ r+ 2 )+ 
Z   T



、 

Y - N 为 n> o , b> o  化 简 得 
“  

: 

t  



扫 

(   > 
 1  

盟 故 可 以选 择  ( z )一   ( z> o )( 填形 式 为 


2 ) , 当a >0 或 a< 0时 , 函数 厂 ( z ) 都没 有最 大  (  )一 k : r的函数 均 可 , 其 中 是> O ) .  
点评  本 题 定 义 了新 概念 M , ( n , 6 ) , 主要 考  查 函数 与 方程 、 直线方程 、 几何平均数 、 调 和 平 均 

值, 要 使得 函数 f ( x )有最 大值 , 只有 n: 0 , 此 时 

厂 (   ) 一  
厶 

> 一 2 ) , g z - ,  ̄厂 (   ) ∈[ 一 专 ,  
厶 

告] , 所以存在正数M 一 寺, 使得 , (   ) ∈[ 一M,  
M- 1 , 所 以 ④ 正确.  

数 等 知识 点 , 考 查 学 生 的理 解 能力 和运 用 所 学 知 
识 灵 活解 题 的能力 .  

例5 ( 2 0 1 4 年 安徽 文科 卷 第 1 5题 ) 若 直线 Z   与 曲线 c满 足下列 两个 条件 : ( i ) 直线 £ 在点 P(  。 ,  


故填 ①③④ .  

点评  本题 是一道 新 概念题 , 考 查 函数最 值 、  
充 分必要 条 件 等基 础 知识 , 考 查 学 生 的 逻 辑 思 维  能 力和处 理新 问题 的能 力 . 解 题 的关 键 是 准 确 理 

)处与 曲线 C相 切 ; ( i i )曲线 C在 P 附近位 于直 

线z 的两侧 , 则称 直线 z 在 点 P 处“ 切过 ”曲线 C .  
下列命 题 正 确 的 是  ( 写 出 所 有 正 确 

解集 合 A, B的含 义 , 选 取满 足题 设 的特殊 函数 , 结 
合 函数性 质 进行 分析 和论证 .  

命题 的编 号 ) .  
① 直线 z : y一 0在 点 P( 0 , . 0 )处 “ 切 过”曲线 
C:   : z。 .  

例4 ( 2 0 1 4年湖 北理 科卷 第 1 4 题) 设 , ( z )  
是 定 义在 ( O , +o o ) 上 的 函数 , 且- 厂 (  ) >0 , 对 任 意 

② 直线 z : z一一 1 在 点 P( 一1 , 0 ) 处“ 切过 ” 曲 
线 C: y一 ‘ (  + 1 )   .   ③ 直线 z : y — z在 点 P( 0 , 0 )处 “ 切 过 ”曲 线 
C: y= . S I ’ I 1   z.   、  

d >0 , b >0 , 若 经过点 ( 口 , , ( 口 ) ) , ( 6 , 一厂( 6 ) ) 的直 
线 与 z轴 的交点 为 ( C , O ) , 则 称 C为 a, b关 于 函数 

厂(  )的平 均 数 , 记 为 Ms ( a , 6 ) . 例如 , 当  ( z )一 
1 ( z> 0 ) 时, 可 得 Ms ( n , 6 )一 f 一下 a   t   b 即 Ms < ( a,  


④ 直线 z :   — z在 点 P( 0 , O )处“ 切 过”曲线 
C:   t a n   z.   ‘  

6 )为  b的算 术平 均数 .   ( 1 )当 . 厂 (  ) 一  ( z> O ) 时, Ms ( n , 6 )  

⑤ 直线 £ :  一. 3 2 —1 在 点 P( 1 , O ) 处“ 切 过”曲  线 C: y— l n z .   解  对 于 ① , 因为 . y   一3 z  . Y     l : 。 一0 , 所 以 

为a , b的几 何平均 数 ;  
( 2 )当 厂 (  ) 一
— —

?  
( z> O ) 时, Ms ( 口 , 6 )  
 

z :  一0 是 曲线 C:   — 。 在 点 P( 0 , O )处 的切线 ,  
为口 , b的调 和平 均数 
“ T

.  

画 图可知 曲线 C在 点 P 附 近位 于直线 z 的两侧 , ① 
正确 ;  

( 以上 两 空 各 只 需 写 出一 个 符 合 要 求 的 函 数 
即可 )  

对于 ② , 因为  一 2 ( z+ 1 ) ,   『 一一 l 一0 , 所  以 z : z 一一 1不 是 曲 线 C: y   一 ( z+ 1 ) 。在 点 

解   设 A( n, 厂 ( n ) ) , B( 6, 一 f( b ) ) , C( c , 0 ) ,  

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数 学 通 讯 —— 2 O 1 5年 第 7 、 8期 ( 上半月)  

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P( 一1 , O )处 的切线 , ② 错误 ;  

.  

对于 ③,   一C O S, 2 7   j ,  l 一。 一 1 , 所 以 曲线 C   在点 P( 0 , O ) 处 的 切线 为 l :  —  , 画图可知 曲线 C   在 点 P附 近位 于直线 z 的两侧 , ③ 正确;  
1  

角为孕.  
解  设 非零 向量 a 、 b的夹角 为 , 依题 意 知 , s  
有 以下 三种情 况 :  

对于 ④ ,   一   1   ,   l   一 。一 】 , 所 以 曲线 C  
U  ?  

S l —a ? a +a ? a +b ? b +b ? b +b ? b =2   1   a   l 。  
+3   l   b   l 。 ,  

在 点 P( O , 0 ) 处 的切线 为 z :  —  , 画图可 知 曲线 C   在点 P附 近位 于直线 z 的两 侧 , ④ 正确 ;  
1   ‘  

S 2 一a ? a +a ? b +b ? a +b ? b +b ? b —I   a     l

对于⑤ ,   一   ,   l   :  一 1 , 所 以 曲线 C在点 
. 

+2 } b I  +2   I   b I   C O S   0 ,   S 3 ‘ 一a ? b +a ? b +b ? a +b ? a +b ? b —I   b     I +4   I   a   l   1   b   l   C O S   0 .  
因为 S 1 一S 2 一S 2 一S 3一 a 。 +b 。 一2 a? b一  

P( 1 , 0 ) 处切线 为 :  —   一1 , 又由h (  )一   一1  
1  


l n x ( x> O ) 可得 h   ( z )一 1 一   , 所 以E h (  ) ] n 1 I  
= = : h ( 1 ) =0 , 故 一1 ≥t n x, 所 以 曲线 C在点 P( 1 ,  

( a —b ) 。一 I   a —b    ≥ 0 I , 所以 S   一S 。 .  
( 1 )由 S最多 有 3个 不 同的值 , ① 不正 确 ;  

0 )附近位 于 直线 Z 的下侧 , ⑤ 错误 .  

( 2 ) 若a _ l _ b , 则a ? b一0 , S   。   一S 3 一l   b    , I  
与} a } 无关, ② 正确;  

故 填 ①③ ④.   点评  本 题结合 导 数 的几 何 意义定 义 了新概 
念“ 切 过” , 主要 考 查 导 数 的 几 何 意 义 、 导数运算、  

( 3 )若 a∥ b ,由 S   i  一 S  一 1   b    + l   4   l   a I   I   b   I   C O S   0 , 知s   i   与l   b   l 有关, ③ 不正确 ;   ( 4 ) 若l   b   l >4   l   a   I , 由S   :S 。一 I   b   I 。 +   4   i   a   I   l   b   I   C O S  0 ,   则  s   i   >  1 6   l   a   l   一   l 6   l   a   l  l   C O S   0 I 一1 6   I   a   I   ( 1 一I   C O S   0 I ) >0 , ④ 正 
确;  

函数 的 图象 、 直线方程 等知识 , 考 查 数 形 结 合 思 
想、 函数 与方程 思想 , 考 查 学生 的 阅读 理 解 能力 以 

及运算 求解 能 力. 探 究 结 论 型 多 选 题 是 近 几 年 高 
考 的热点 问题 , 涉及 的知 识 面 一般 比较 广 , 有 一定 
的深度 , 值 得注 意.   例 6 ( 2 0 1 4 年安 徽理科 卷 第 1 5 题) 已知两个  不相 等 的非零 向量 a 、 b , 两 组 向量 X 1 、 X z 、 x 。 、 x   、 X 5 f '  
y   、 y z 、 y 。 、 y t 、 y s 均由2 个a , 3 个b 排 列而 成 , 记 S—  x 1 ?y 1 +x 2 ? y 2 +x 3 ? Y 3 +x 4 ? Y 4 +x 5 ? Y 5 , S … 表 

( 5 )若 f   b   f 一 2 『 a   f ,则 S 。一 f   b   f  +   4 【 a   I     l b   I   C O S   0 —4   J   a   I 。 +8   I   a   I   C O S   0 —4     l I t l     l ( 1 +  
2 c o s  ) .  

由S   i   一S 3 —8     l a    , l 即4   l   a   I   ( 1 十2 c o s   ) 一  

8 } a { 2 , 所 以 C O S   0 一   1 , 0 一号≠  . ⑤不 正 确 .  
所 以正确 命题 的编 号是 ② ④.   点 评  本 题 以 向量 的数量 积 为 背景 , 结 合计 

示 S所 有 可 能取 值 中 的最 小 值 , 则 下 列 命 题 中正  确 的是 ’   ( 写 出所 有正确 命 题 的编号 ) .   ① S有 5个 不 同的值 ;  

②若 a   j -b , 则s …与l   a ! 无关;  

数 原理 等知识 来设 计 , 构思精巧 , 综合性强, 颇 有 
新 意.  

③ 若 a∥ b , 则s … 与‘   l b   l 无关 ;   ④若1   b   l >4   I   a   1 , 则s …>0 ;  

⑤若f   b   f 一2 } a   f ,   S   一8   f   a   f 。 , 则a 与b 的夹 

( 收稿 日期 : 2 0 1 5 —0 3 —2 8 )  


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