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福建省福州一中2014届高三上学期期末考试数学(文)试题 Word版含解析

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福州一中 2013—2014 学年第二学期开学初试卷 高三数学文科 试卷
一.选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个答 案中,只有一项是符合题目要求的)
1. 设 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则复数

3 2 ? i 的实部是 z
C. ?

(

)

A.

3 2

B.

3 2 2

1 2

D.

1 2

3. 已 知 函 数 f ( x) ? mx ? 3(m ?1) x ? m ? 1(m ? 0) 的 单 调 递 减 区 间 是 (0, 4), 则
3 2 2

m =(
A. 3

) B.

1 3

C. 2

D.

1 2

【答案】B

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【解析】

5. 如图 1 是 2013 年某大学自主招生面试环节中,七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计 图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和众数依次为 A. 85,84 C. 86,84 B. 84,85 D. 84,86 图1 ( )

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6. 在△ABC 中,BC=1,∠B=

?
3 3 5

,△ABC 的面积 S= 3 ,则 sinC=





A.

13 13

B.

C.

4 5

D.

2 39 13

? ? ? ? tan x , ? ? x ? 0 7. 若函数 f ( x) ? ? 在 ( ? , ??) 上单调递增,则实数 a 的取值范围 2 2 ? ? a( x ? 1) ? 1, x ? 0
( ) A. (0,1] B. (0,1) C. [1, ??) D. (0, ??)

8. 将函数 y ? sin 2 x 的图像向右平移

? 个单位,再向上平移 1 个单位,所得到函数的图像 4
对 应

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的 解 析 式 为 (

) A. y ? sin(2 x ? 【答案】C 【解析】

?
4

) ?1

B. y ? 2cos x
2

C. y ? 2sin x
2

D. y ? ? cos 2 x

10. 如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在 P 处有一棵树与两墙的距离分别是

am(0 ? a ? 12) 、4m,不考虑树的粗细,现在用 16m 长的篱笆, 借助墙角围成一个矩形的
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共圃 ABCD,设此矩形花圃的面积为 Sm ,S 的最大值为 f ( a ) ,若将这棵树围在花圃中,则 函数 u ? f (a ) 的图象大致是( )

2

的图像是递减的,故选 C. 考点:1.阅读理解清题意.2.二次函数的最值问题.3.含参数的最值的求法. 11. 已知 F1 , F2 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、 右焦点, P 为双曲线右支上一点, a 2 b2


2 2 2 满足 PF2 ? F 1 与圆 x ? y ? a 相切,则该双曲线的离心率为( 1F2 ,直线 PF

A.

3 2

B.

4 3

C.

5 3

D. 2

12. 已知函数 f ( x) 的定义域为 R, 若存在常数 m ? 0 , 对任意 x ? R , 有 f ( x) ≤ m x , 则称 f ( x) 为 F 函数.给出下列函数:① f ( x) ? 0 ; ② f ( x) ? x 2 ; ③ f ( x) ? sin x ? cos x ;

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④ f ( x) ? 有 (

x ; x ? x ?1
2

⑤ f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且满足对一切实数 x1 , x2 均 . 其 中 是

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ 2 x1 ? x2


F













A.①②④

B.②③④

C.①④⑤

D.①②⑤

考点: 1.新定义的问题.2.不等式恒成立问题.3.函数的最值.4.假命题的证明方法.5.特值法 的思想.

二.填空题:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上)
13. 已知 sin x ? ? , x ? ( ?

4 5

?
2

, 0) ,则 tan 2 x =

.

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? x? y?2?0 x? y ? 15. 已知实数 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 5 ? 0 ,则 z ? 的最小值是____________. x ? y?2?0 ?

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16. 对于集合 A ? {a1 , a2 ,?, an } (n∈N*,n≥3),定义集合 S ? {x | x ? ai ? a j ,1 ? i

? j ? n} , 记集合 S 中的元素个数为 S(A). (1) 若集合 A={1, 2, 3, 4}, 则 S(A)=______.
(2)若 a1,a2,…,an 是公差大于零的等差数列,则 S(A)= _____ (用含 n 的代数式表示).

三. 解答题: (本大题共 6 小题,满分 74 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算 步骤)
17. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足: a2 ? a4 ? 14 , S7 ? 70 . (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)设 bn ?

2Sn ? 48 ,数列 {bn } 的最小项是第几项,并求出该项的值. n

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18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0, ? ?

? ?

??

? 的图象与 y 轴的交点为 ? 0,1? , 2?

它在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 x0, 2 和 ? x0 ? 2? , ?2 ? . (I)求 f ? x ? 的解析式及 x0 的值; (II)若锐角 ? 满足 cos ? ? ,求f ? 4? ? 的值.

?

?

1 3

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【答案】 (I) f ( x) ? 2sin( x ?

1 2

?
6

) , x0 ?

2? 4 6 ?7 ? 4 k? ( k ? z ) ; (II) 3 9

19. (本小题满分 12 分) 甲、乙两人玩一种游戏:在装有质地、大小完全相同,编号分别为 1,2,3,4,5 五个球的 口袋中,甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,如果两个编号的和 为偶数算甲赢,否则算乙赢. (Ⅰ)求甲赢且编号和为 6 的事件发生的概率; (Ⅱ)这种游戏规则公平吗?试说明理由. 【答案】 (I)

1 ; (II)不公平.理由参考解析 5
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【解析】 试题分析: (I)因为游戏规则是编号分别为 1,2,3,4,5 五个球的口袋中,甲先摸出一个 球,记下编号,

20. (本小题满分 12 分) 如图四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形, PC ? 平面 ABCD, F 是 DC 的中 点, AE ? 2 EP .(Ⅰ)试判断直线 EF 与平面 PBC 的位置关系,并予以证明; (Ⅱ)若四棱锥 P ? ABCD 体积为 , CD ? 2 2 , PC ? BC ? 2 ,求证:平面

8 3

BDE ? 面PBC .

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21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形 F1B1 F2B2 是一个面积为 8 的正方形. (I)求椭圆 C 的方程;

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(II)已知点 P 的坐标为 P(-4,0), 过 P 点的直线 L 与椭圆 C 相交于 M、N 两点,当线段 MN 的 中点 G 落在正方形内(包含边界)时,求直线 L 的斜率的取值范围.

x2 y 2 3 ?1 3 ?1 ? ? 1; 【答案】 (I) (II) [? , ] 8 4 2 2

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22. (本小题满分 14 分)
2 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x 的图像在点 P(1, f (1)) 处的切线斜率为 10.

(I)求实数 a 的值; (II)判断方程 f ( x) ? 2 x 根的个数,并证明你的结论;

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(III)探究: 是否存在这样的点 A(t , f (t )) ,使得曲线 y ? f ( x) 在该点附近的左、右两部分 分别位于曲线在该点处切线的两侧? 若存在,求出点 A 的坐标;若不存在,说明理由.

部分分别位于曲线在该点处切线的两侧.

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考点:1.函数求导.2.函数与方程的根的关系.3.构建新函数的思想.4.正确理解题意建立函 数解题的思想.5.分类猜想等数学思想.

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